Файл: Г.М. Гринфельд лекции по курсу дискретные системы автоматического управления.doc

Рис.5. Обобщенная структурная схема импульсной системы

(ИЭ – импульсный элемент; НЧ – непрерывная часть)

Рис.6. Амплитудно-импульсная модуляция Рис.2. Широтно-импульсная

в импульсной системе модуляция

Рис.8.Частотно-импульсная модуляция

1.4. Простейший импульсный элемент. Формирующий элемент. Фиксатор.

Поскольку форма импульсов на выходе ИЭ может быть самой разнообразной (прямоугольной, треугольной, кусочно-экспоненциальной), для единства подхода к исследованию импульсных САУ используют следующий эффективный метод их математического описания: ИЭ, формирующий на выходе последовательность импульсов определенной формы, заменяется последовательно соединенным идеализированным элементом, генерирующим модулированные - функции (простейшим импульсным элементом – ПИЭ иликвантователем), иформирующим элементом (ФЭ), преобразующим последовательность- функций в последовательность импульсов заданной формы (рис. 9). У модулированной- функции, как и у немодулированной, амплитуда стремится к бесконечности, а длительность – к нулю, при этом площадь импульса, сформированного ПИЭ в момент, равна , то есть:

.

Рис.9. Детализированная структурная схема

импульсной системы

Обозначим передаточную функцию ФЭ как , а функцию времени, описывающую импульсы на его выходе, как. Тогда, учитывая, что выходной сигнал ФЭ представляет собой реакцию на- функцию, т.е. является функцией веса ФЭ, можно записать:

(6)

где - оператор преобразования Лапласа;S(p)- изображениеS(t).

Ниже приведены примеры определения передаточных функций ФЭ для двух различных форм импульсов на выходе ИЭ.

Пример 1. Необходимо определить передаточную функцию ФЭ, выходные импульсы кото­рого имеют прямоугольную форму и скважность (рис. 10). Такой импульс можно описать следующим образом:

,

где - несмещенная и запаздывающая на один интервал квантования (один такт квантования) единичные ступенчатые функции.

Используя свойство линейности преобразования Лапласа, имеем:

. (7)

Рис.10. Форма импульса

на выходе фиксатора

ФЭ с передаточной функцией (7) называется экстраполятором нулевого порядкаили фиксатором.

Амплитудно-частотная характеристика фиксатора:

(8)

Графики амплитудно-частотной и фазо-частотнойхарактеристик приведены на рис11.

ФЭ, генерирующий импульсы указанной формы, наиболее часто используется в дискретных САУ. Так, цифро-аналоговые преобразователи, обеспечивающие фиксацию выходного аналогового сигнала на уровне, определенном текущим значением входного цифрового кода, описывается передаточной функцией (7).

Пример 2. Необходимо определить передаточную функцию ФЭ, выходные импульсы которого имеют синусоидальную форму (рис. 12), описываемую следующим образом:

В отличие от предыдущего примера функцию S(t)невозможно представить в виде суммы элементарных слагаемых с известными изображениями.

Рис.11. Амплитудно-частотная и

фазо-частотная характеристики фиксатора

Поэтому для определения непосредственно используется формула преобразования Лапласа:

.

Если непрерывная часть системы линейна и имеет передаточную функцию , то ФЭ можно отнести к непрерывной части и ввести в рассмотрениеприведенную непрерывную часть (ПНЧ), имеющую передаточную функцию:

. (9)

Рис.12. Форма импульса на выходе ФЭ

(пример 2)

При таком подходе дискретность, присущая САУ, определяется исключительно наличием ПИЭ, математическое описание которого не зависит от формы импульса. Выходной сигнал ПНЧ, на вход которой поступают модулированные - функции, представляет собойнепрерывный сигнал, равный сумме смещенных функции веса ПНЧ:

. (10)

2. Основы теории z-преобразования

2.1. Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование.

С учетом (5) можно определить изображение по Лапласу входной величины ПИЭ:

.

Поскольку при всехt, отличных от, окончательно имеем

, (11)

где D{…} – символдискретного преобразования ЛапласаилиD-преобразования. Следовательно, непрерывное преобразование Лапласа (L-преобразование) модулированной последовательности- функций равно дискретному преобразованию Лапласа (D-преобразованию) соответствующей решетчатой функции:

.

Наличие экспоненциальных членов в D-изображениях и связанная с этим необходимость оперировать трансцендентными уравнениями и передаточными функциями несколько усложняет использованиеD- преобразования.

Если в (11) заменить наz, то получим формулу так называемогоZ-преобразованиядля дискретных значений сигнала:

(12)

где комплексные переменные pиzсвязаны между собой следующим образом:

(13)

Следует отметить, что согласно (12) Z-изображение представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Если возможно, то необходимо преобразовывать его в компактную форму.

Рассмотрим несколько примеров определения Z-изображений для различных типов сигналов.

Пример 3. Необходимо найти Z-изображение выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – экспоненциальная функция .