Файл: с-р гс11.doc

Итак, производные элементарных функций:

Название	Функция	Производная
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем	f(x) = xn	n · xn − 1
Синус	f(x) = sin x	cos x
Косинус	f(x) = cos x	− sin x (минус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
Натуральный логарифм	f(x) = ln x	1/x
Произвольный логарифм	f(x) = loga x	1/(x · ln a)
Показательная функция	f(x) = ex	ex (ничего не изменилось)

Правила дифференцирования

1. Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается: константы можно выносить за знак производной.

(C · f)’ = C · f ’.

2. Производная суммы и разности: (f + g)’ = f ’ + g ’ (f − g)’ = f ’ − g ’

3. Производная произведения: (f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

4. Производная частного:

5. Производная сложной функции: f ’(t(x)) = f ’(t) · t ’

Задание.

Вычислить производные функций:

f(x) = 2x³ g(x) = x⁴ + 2x² − 3.

f(x) = x² + sin x; f(x) = x³ · cos x;

g(x) = (x² + 7x − 7) · e^x

Самостоятельная работа №31

для специальности 101101 «Гостиничный сервис»

Тема самостоятельной работы: «Составить справочную таблицу: Производные и первообразные элементарных функций »

---

Цель работы: проверить умение студента использовать теоретические знания при выполнении самостоятельной работы.

Срок выполнения: 2 часа

Форма контроля: составление наглядного материала в форме таблиц

Критерии оценки: «5» - предоставлена таблица в срок, выполнена аккуратно, материал систематизирован.

«4» - выполнена аккуратно, материал систематизирован.

«3» - материал систематизирован.

«2»- таблица не предоставлена.

Содержание:

1. Выбрать необходимые формулы (см рекомендованную учебную литературу и школьные учебники).

2. Рассортировать формулы по столбцам: /первообразная/функция/производная/.

3. Выполнить работу на бумажном носителе.

4. Представить результат.

Самостоятельная работа №32

для специальности 101101 «Гостиничный сервис»

Тема самостоятельной работы: «Исследование функций с помощью производной»

Цель работы: проверить умение студента использовать теоретические знания при выполнении самостоятельной работы

Срок выполнения: 4 часов

Форма контроля: письменная контрольная работа.

Критерии оценки: «5» - за 9 верно выполненных заданий уровня А и 2 верно выполненных задания уровня В , «4» - за 8 верно выполненных заданий уровня А и 1 верно выполненное задание уровня В, «3» - за 7 верно выполненных заданий уровня А «2» - верно выполнены менее 7 заданий.

Содержание:

Уровень А.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции

f(x)=(x -1)² (x -3)³ параллельной прямой у=5-24х. .

2. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2x²-2x³+5, параллельной прямой у=3-10х.

3. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

4. Найдите производную функции :

5. Найдите производную функции:

6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) e^х+1.

7. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x²+x-1,5 в точке с абсциссой х ₀ = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.

---

	х2-3х
8. Найдите точки максимума и минимума функции f(x)=e.
	х2-х
9. Найдите точки максимумов функции f(x)=x(1/e).

Уровень Б.

1. Найдите производную функции:

а) f(x) = e ^-5х;  б) f(x) = log₃ (2x²-3x+1).

2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х ₀ , если f(x)=e^-х, х₀ = 1.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e^2х.

Самостоятельная работа №33

для специальности 101101 «Гостиничный сервис»

Тема самостоятельной работы: «Прикладные задачи»

Цель работы: проверить умение студента использовать теоретические знания при выполнении самостоятельной работы

Срок выполнения: 4 часа

Форма контроля: письменная контрольная работа.

Критерии оценки: «5» - за 5 верно выполненных задания, «4» - за 4 верно выполненных задания, «3» - за 3 верно выполненных задания.

Содержание: “Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение” Ф.Энгельс.

---

Вариант 1

1. В чем сущность физического смысла у^/?

А. Скорость.  Б. Ускорение. В. Угловой коэффициент. Г. Не знаю.

2. Точка движется по закону S(t)=2t³-3t. Чему равна скорость в момент t ₀ =1с?

А. 15. Б. 12. В. 9. Г. 3.

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=gt²/2. Назовите формулу ускорения.

А. 2gt/2. Б. 2gt. В. gt. Г. g.

4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=t³/3-2t²+3t+1. В какие моменты времени ее скорость будет равна 0?

А. 1 и 3. Б. 1 и 4. В. 2. Г. 2 и 0.

5. Скорость тела определяется по формуле V(t)=5t³+t². Чему равно ускорение тела в момент времени t ₀ =1с?

А. 17. Б. 32. В. 30. Г. 16.

Вариант 2

1. В чем сущность физического смысла у^//?

А. Скорость.  Б. Ускорение. В. Угловой коэффициент. Г. Не знаю.

2.Точка движется по закону S(t)=2t³-3t. Чему равно ускорение в момент t ₀ =1с?

А. 15. Б. 12. В. 9. Г. 3.

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=gt²/2. Назовите формулу скорости.

А. 2gt/2. Б. 2gt. В. gt. Г. g.

4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=t³/3-2t²+3t+1. В какие моменты времени ее ускорение будет равна 0?

А. 1 и 3. Б. 1 и 4. В. 2. Г. 2 и 0.

5. Скорость тела определяется по формуле V(t)=15t²+ 2t. Чему равно ускорение тела в момент времени t ₀ =1с?

А. 17. Б. 32. В. 30. Г. 16.

Самостоятельная работа №34

для специальности 101101 «Гостиничный сервис»

Тема самостоятельной работы: «Свойства первообразной »

Цель работы: проверить умение студента использовать теоретические знания при выполнении самостоятельной работы

Срок выполнения: 2 часа

Форма контроля: письменная контрольная работа.

Критерии оценки: «5» - за 5 верно выполненных заданий, «4» - за 4 верно выполненных задания, «3» - за 3 верно выполненных задания.

Содержание:

Повторить теорию:

Правила нахождения первообразных .

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x).

Тогда:

1.  F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2.   а F ( x ) – первообразная для а f ( x );

3.  – первообразная для а f ( kx + b ).

---

Задания:

1. Выяснить, является ли функция F (x) = х ³ – 3х + 1 первообразной для функции  f(x) = 3(х ² – 1).

2. Найти все первообразные функции f(x) :  f(x) = х ⁴ + 3х ² + 5

3.  Найти все первообразные функции f(x) :  f(x) = sin(3x – 2)

4. Найти все первообразные функции f(x) :  

5. Для функции f(x) = 4 – х ² найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

:

Самостоятельная работа №35

для специальности 101101 «Гостиничный сервис»

Тема самостоятельной работы: «Нильс Хенрик Абель (1802-1829) »

Цель работы: проверить умение студента использовать дополнительную литературу при выполнении самостоятельной работы

Срок выполнения: 2 часа

Форма контроля: доклад/презентация

Критерии оценки: «5» - за выступление перед студентами, с демонстрацией презентации(5 п), «4» - сдача презентации без демонстрации (5п), «3» - сдача презентации без демонстрации (менее 5п),

Содержание:

Подготовить презентацию по теме «Нильс Хенрик Абель (1802-1829)».

Работа должна включать в себя:

1. Исторические сведения о личности Нильса Хенрика Абеля

2. Научные достижения Абеля

3. Достижения Абеля в математике

4. Примеры, иллюстрации.

5. Список используемых источников (литература, сайты)

Самостоятельная работа №36

для специальности 101101 «Гостиничный сервис»

Тема самостоятельной работы: «Составить справочную таблицу: Площади плоских фигур »

Цель работы: проверить умение студента использовать теоретические знания при выполнении самостоятельной работы

Срок выполнения: 2 часа

Форма контроля: составление наглядного материала в форме таблиц

Критерии оценки: «5» - предоставлена таблица в срок, выполнена аккуратно, материал верен и систематизирован.

«4» - выполнена аккуратно, материал верен и систематизирован.

«3» - материал верен и систематизирован.

«2»- таблица не предоставлена.

Содержание:

1. Выбрать необходимые формулы (см рекомендованную учебную литературу и школьные учебники).

2. Рассортировать данные по столбцам: /название фигуры/чертёж/формула/.

3. Выполнить работу на бумажном носителе.

---