Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

4. Отношение строгого порядка. Это отношение определяется следующими свойствами: антирефлексивность, несимметричность, транзитивность.

Примеры: отношение “больше” или “меньше” на множестве чисел; отношение строгого порядка на множествах; отношение “произойти раньше” или “произойти позже” на множестве состояний динамической системы и т.п.

Оба отношения - нестрогого порядка и строгого порядка - определяют некоторый порядок расположения элементов множества. Множество, на котором определено отношение порядка, называют упорядоченным. Множество совершенно ( линейно, просто) упорядочено, если для любых двух его элементов имеет место xГy или yГx (Г - отношение порядка). В общем случае может оказаться, что для некоторых пар (x,y) ни одно из соотношений x<y и y<x не имеет места (такие элементы называют несравнимыми). Тогда говорят, что множество частично упорядочено. Примером частичного порядка является отношение нестрогого включения на множестве подмножеств некоторого множества. Среди всех подмножеств одного и того же множества имеются такие, что ни одно из соотношений XY и YX для них не имеет места.

5. Отношение доминирования. Это отношение определяется следующими свойствами: антирефлексивность, несимметричность.

Например: на множестве спортивных команд отношение “выиграть матч”.

1.5. Конечные и бесконечные множества. Мощность множества

Множества бывают конечные и бесконечные, счетные и несчетные. В конечном множестве число элементов конечно. Бесконечное множество содержит бесконечное число элементов.

Для сравнения множеств между собой вводят понятие мощности множества. Для конечных множеств понятие мощности соответствует числу элементов множества. Бесконечные множества можно сравнивать по мощности путем установления взаимнооднозначного соответствия между элементами одного и другого множества.

Два множества M и N, называются эквивалентными по мощности (обозначение MN), если между их элементами можно установить биекцию.

Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Рассмотрим несколько примеров счетных множеств.

1. Множество всех целых чисел. Установим биекцию между множеством всех целых чисел и множеством всех натуральных чисел. Для этого расположим элементы этих множеств друг под другом попарно следующим образом

Этим самым биекция установлена, значит эквивалентность этих множеств доказана.

2. Множество всех рациональных чисел. Каждое рациональное число записывается однозначно в виде несократимой дроби: =p/q, q>0. Назовем сумму +q высотой рационального числа α. Число дробей с данной высотой конечно. Например, высоту 1 имеет только число 0/1. Высоту 2 - числа 1/1 и -1/1. высоту 3 - числа 2/1, 1/2, -2/1 и -1/2 и т.д. Будем нумеровать все рациональные числа по возрастанию высоты. При этом всякое рациональное число получит некоторый номер, т.е. будет установлена биекция между всеми натуральными и всеми рациональными числами.

Среди всех бесконечных множеств существуют такие, которые не являются счетными - это несчетные множества. Между счетным множеством и несчетным множеством биекцию провести нельзя, в последнем всегда элементов “больше”. Покажем, что множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Пусть множество P=[0,1] счетно, т.е. все точки этого отрезка можно последовательно пронумеровать: x₁,x₂,..., x_n,... Разделим отрезок [0,1] на три равных отрезка. Тогда по крайней мере один из отрезков не содержит точки x₁. Точка x₁ может принадлежать либо одному отрезку либо двум, если она лежит на их границе. Отрезок A₁, который не содержит точки x₁, снова разделим на три равных отрезка. По крайней мере один из них A₂ не содержит точки x₂. Отрезок A₂ который не содержит x₂, снова разделим на три равных отрезка и т.д. В результате получим последовательность вложенных один в другой отрезков A₁,A₂,..., A_n. Пусть x_k - точка, которая принадлежит всем этим отрезкам. Тогда, с одной стороны, x_k[0,1] и в силу счетности точек отрезка входит в последовательность x₁,x₂,..., x_n,... С другой стороны, точка x_k не может совпасть ни с одной из точек этой последовательности, поскольку отрезки A₁, A_2… так построены, что ни одна из точек счетного множества x₁,x₂,..., x_n,... им не принадлежит. Из этого следует, что принятое допущение о том, что множество P=[0,1]счетное неверно, т.е. множество несчетно.

Несчетные множества тоже можно сравнивать между собой путем построения биекции. Если биекцию удается построить, то этим самым доказывается эквивалентность множеств.

Рассмотрим примеры. Множества точек на любых двух отрезках эквивалентны между собой. На рис.4 показано, как можно установить биекцию между двумя различными отрезками ab и cd.

Рис.4. Построение биекции между элементами множеств ab и cd

Множество точек в интервале 0,1 эквивалентно множеству всех точек на прямой. Биекцию можно установить, например, с помощью функции

, -<x<, 0<y<1

Из приведенных примеров следует, что множество точек любого отрезка эквивалентно множеству точек бесконечной прямой; любые отрезки эквивалентны между собой.

Нетрудно установить из приведенных примеров, что всякое бесконечное множество (счетное и несчетное) эквивалентно своему истинному подмножеству (бесконечному).

Например, натуральных чисел оказывается “столько же” сколько и всех целых, сколько всех четных, нечетных, рациональных и т.д. На любом отрезке можно выделить часть его, а затем построить биекцию между отрезком и его частью, т.е. часть оказывается эквивалентной целому. Это свойство характерно для любого бесконечного множества. Мощность бесконечного множества точек на прямой называется мощностью континуума.

Пусть M - некоторое множество и пусть 2^m - множество - степень M. Тогда 2^m имеет мощность большую, чем мощность исходного множества M. Если рассмотреть множество-степень счетного множества, то оказывается, что его мощность равна мощности континуума. Для любого множества мощности континуума можно рассмотреть его множество-степень и мощность этого нового множества будет больше мощности континуума. Затем можно рассмотреть опять множество-степень этого нового множества и опять его мощность будет больше. Таким образом, не существует верхней границы мощности множеств, подобно тому как не существует “самого большого” числа.

МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ТЕОРИИ СИСТЕМ.

ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Рассмотрим линейное n - мерное пространство U_n. Пусть задано правило, которое ставит в соответствии произвольному вектору X пространства U_n определенный вектор Y того же пространства. В этом случае вектор X называется прообразом, а вектор Y - образом вектора X. Это правило называется преобразованием пространства U_n или оператором, заданном в пространстве U_n.

Преобразования (операторы) будем условно обозначать буквами А,В,С,... Например можно написать, что:

(1) АХ=Y

Равенство (1) читается так: преобразование (оператор) А, примененное к вектору Х, ставит ему в соответствие вектор Y.

Преобразование (оператор) называется линейным преобразованием (линейным оператором), если выполнено условие:

(2) A(Х+Y)=АХ+АY

(3) А(ℷХ)=ℷ(АХ), где ℷ- произвольное число

таким образом, линейное преобразование переводит сумму векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число в произведение образа того вектора на это же число.

ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРСТРАНСТВО.

Пусть Х n - мерное линейное пространство и у=Ах -линейное преобразование на пространстве Х. Пусть X₁∈X является некоторым подпространством Х, обладающим однако, тем свойством, что если х∈Х₁, то и у=Ах∈Х₁. Подпространство Х1, обладающее подобными свойством, называют инвариантным относительно линейного преобразования у=Ах.

Особенно интересны одномерные инвариантные пространства, представляющие собой прямые в пространстве Х, проходящем через начало координат.

Если х - произвольная точка пространства Х α - вещественная переменная, меняющаяся от -∞ до +∞, то dx будет представлять собой одномерное подпространство Х, проходящее через х(при α =0), как показано на рисунке 2.

x₂

3

dx

2 x₁

Такое одномерное подпространство будем обозначать R₁. Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R₁ найдутся такие, которые инвариантны относительно у=Ах, т.е. для любого x∈R₁, имеет место у=Ах∈R₁.

Обозначим через ℷ отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т.е. можно записать у=ℷх, таким образом если R₁ -инвариантное пространство, то для х∈R₁ имеет место равенство:

(4) Ах=ℷх

Вектор х≠0, удовлетворяющий соотношению (4) называют собственным вектором матрицы А, а число ℷ - собственным значением матрицы А.

Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (4) в ином виде, введя тождественное преобразование х=Iх. При этом получим:

(5) (А-ℷI)х=0

Соотношение (5) представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая может быть записана в явном виде как:

(a₁₁-ℷ)x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=0;