Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

Индекс играет роль времени (дискретное время), а смысл всех остальных векторов и матриц тот же. Дискретные системы могут возникать как при дискретной аппроксимации непрерывных систем, так и в других случаях. Например,может означать номер итерации в итерационном процессе или время в дискретных процессах, связанных с цифровым управлением.

Открытая дискретная система принимает вид:

(13)

а ее решение также выписывается в явной форме:

. (14)

Пример. Модель стационарной линейной системы в пространстве состояний.

Рассмотрим систему дифференциальных первого порядка и алгебраических уравнений

описывающую поведение некоторого динамического объекта с одним входом и двумя выходамиВводя соответствующие обозначения и используя матричную запись, можно убедиться, что система описывается четверкой числовых матриц:

, ,

, .

Передаточные функции (матрицы) в пространстве состояний

Определим передаточные функции в терминах пространства состояний.

Проведем некоторые формальные преобразования уравнений в пространстве состояний. Как и в случае описания систем в терминах «вход-выход» расмотрим оператор дифференцирования по времени

Будем относиться к как к комплексной переменной и рассматривать различные функции от нее. Таким функциям впоследствии придадим содержательный смысл. Например, если

то .

Тогда, подставив в (10) (при) и формально разрешая первое из уравнений (10) относительно, получаем выражение

Тогда для выхода получаем выражение

Определение. Матричная функция комплексной переменной

(15)

называется передаточной функцией от управления к выходу, а аналогичная функция

(16)

называется передаточной функцией от возмущения к выходу. Рассмотрим эти функции подробнее.

Утверждение. Элементами матриц иявляются дробно-рациональные функции от переменной, которые имеют общий знаменатель

. (17)

Справедливость последнего утверждения следует из правила Фробениуса об обращении матриц. Полином называетсяхарактеристическим полиномом системы, т.к. в дальнейшем будет показано, что от значения его корней зависят такие важные свойства системы, как устойчивость и др.

С учетом (17) выражения для и, аналогично,можно представить в виде

и,

где ипредставляют собой матрицы, элементы которых являются полиномами от.

Определение. Нули (т.е. значения корней) характеристического полиноманазываютсяполюсами передаточных функций :

Таким образом, полюса совпадают с собственными числами матрицы которые, как известно из соответствующего определения, являются корнями ее характеристического полинома.

Т.е. полюса передаточной функции – это множество точек, где она не определена.

Возвратимся к выражению для выхода системы .

На языке передаточных функций выход системы как функцию от управления и внешних входов можно записать в следующем виде:

(18)

Строгое обоснование перехода от записи (9) системы в пространстве состояний к форме (18) в терминах передаточных функций может быть сделано с помощью преобразования Лапласа. Опуская это обоснование, будем рассматривать (18) просто как другую форму записи дифференциальных уравнений (9).

Представление системы в форме передаточных функций может быть и исходным. Иногда оно возникает более естественно, чем описание в пространстве состояний. Как в этом случае можно перейти к описанию системы в пространстве состояний?

Рассмотрим для простоты ситуацию, когда наблюдаемые внешние возмущения и ошибки измерения выхода (помехи) отсутствуют:

. (19)

В этой записи под передаточной функцией будем понимать матрицу, элементы которой есть дробно-рациональные функции от, т.е. функцияпредставима в виде

где элементы матрицыявляются полиномами от. Полином- общий знаменатель элементов матрицы- будем называть характеристическим полиномом системы, а его корни – полюсами передаточной функции (системы). Такое определение характеристического полинома и полюсов системы не вполне точно, поскольку могут возникнуть неприятности, например, с сокращением неустойчивых полюсов (это будет рассмотрено позже).

Более строгое определение дается следующим образом. Формально умножив обе части (19) на , получим

. (20)

Рассматривая теперь как оператор дифференцирования, приходим теперь к системе дифференциальных уравнений высокого порядка относительно. На элементыестественно накладывать дополнительное условие реализуемости: степень полинома в числителе не превосходит степени полинома в знаменателе. Такие передаточные функции называют реализуемыми, или правильными. Тогда, вводя «искусственные» переменные – состояния, можно привести (20) к виду, аналогичному (9).

Иными словами, от записи системы с помощью реализуемой передаточной функции можно перейти к эквивалентному описанию в пространстве состояний. Такой переход принято называть реализацией передаточной функции в пространстве состояний. При этом используют запись

или что означает, что системаэквивалентна системе

и при этом .

Переход от к-реализации может быть осуществлен разными способами, и таких реализаций много. Среди них существуют такие , в которых размерность матрицы, т.е. размерность вектора состоянийминимальна. Их называютминимальными реализациями.

Вообще говоря, для широкогоряда практических задач запись систем с помощью передаточных функций очень удобна. Продемонстрируем это на простом примере. Пусть имеется несколько объектов соответствующих размерностей, соединенных последовательно, так что выход каждого служит входомследующего, причем каждый объект имеет свою передаточную функцию: