Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

В каких случаях возможны упрощения в описании систем и какими они могут быть?

Вообще говоря, для однозначного определения системы надо изучить ее внутренне содержание и внешнее ее поведение, т.е. нечто такое, что видит исследователь, наблюдая систему со стороны.

Для изучения внутреннего содержания системы требуется аналитическое исследование, например, знание физических или химических законов и математических выражений, описывающих поведение системы в рамках этих законов.

Для изучения внешнего поведения системы (а этого бывает достаточно не только для изучения системы, но и для управления ее функционированием), необходимо некоторое упорядочение входных и выходных последовательностей, выявление зависимостей входов от выходов. В этом случае достаточно уже не восьмерки факторов для описания системы, а пятерки:

. (2)

Какое же описание системы «внешнее» или «внутреннее» предпочтительнее? И связаны ли эти описания между собой? Если предположить, что они равноценны, то есть между ними существует взаимно однозначное соответствие, то тройка оставшихся факторов однозначно определяется по известным элементам из описания (2). Проблему построения системы (1) по факторам (2) называют проблемой реализации. Вообще говоря, такая задача имеет бесконечное число решений. Это интуитивно понятно: по-видимому, можно построить бесконечное множество различных моделей реального процесса, вопрос в том, насколько хороша будет та или иная модель.

Исследователи подмечают «податливость» природы математическому описанию. На практике приемлемость модели понимают скорее не в плане ее истинности, а скорее в плане полезности.

Пример.

Рассмотрим задачу синтеза регулятора в контуре обратной связи для некоторого известного объекта.

Рис.6.

Система управления с обратной связью

Для такой задачи принципиальным является то, какие отклики, т.е. какие сигналы формирует регулятор по совокупности поступающих ему на вход сигналов, несущих информацию о поведении объекта регулирования. В этом смысле для описания системы можно ограничиться только описанием «вход-выход» (2).

Вопрос состоит в том, а сколько существует возможных структур регулятора, т.е. сколько возможных регуляторов для достижения фиксированной цели регулирования. Другими словами, сколько и каких систем (1), характеризующих «внутреннюю сторону» регулятора обеспечивают решение задачи регулирования.

Т.е. если две динамические системы имеют одинаковые реакции на постоянные сигналы или сигналы из определенного частотного диапазона, то это еще не означает, что эти системы имеют одинаковые структуры, определяемые переходной функцией и функцией выхода.

Основные формы представления систем

Описание систем (1), (2) является слишком абстрактным и обобщенным. Обычно для изучения систем и управления используют формы записи, максимально использующие априорные знания о системе с учетом решаемой задачи.

Опреаторная форма представления систем

. (3)

Здесь -l-мерный входной сигнал из множества U, m-мерный выходной сигнал из множества Y.

- оператор, или отображение, который ставит в соответствие каждому сигналу u на входе определенный сигнал y на выходе.

При этом, если подразумевается, что (3) – «внутреннее» описание системы, то оператор некоторым известным образом формализует на каком-либо математическом языке принадлежность всех элементов системы к восьмерке (1).

Если же нужно сделать «внешнее» описание системы, оператор дает формализацию типа (2). Т.е. операторная форма определения системы может применяться для описания как внешней, так и внутренней природы системы.

Описание систем в терминах «вход-выход»

Наиболее распространенным для рассмотрения в теории и на практике является такой класс динамических систем, как линейные стационарные системы.

Для формального описания поведения таких систем используются: в непрерывном случае – различные структуры обыкновенных дифференциальных уравнений, в дискретном случае – разностные уравнения.

Процесс получения дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, основан на использовании четырех основных формализованных элементарных звеньев:

1. Усилительное звено ;

2. суммирующее звено ;

3. интегрирующее звено ;

4. дифференцирующее звено.

Непрерывные модели типа «вход-выход» основаны на использовании дифференциальных уравнений, включающих только входные и выходные сигналы.

Главным достоинством таких моделей является то, что они оперируют с содержательными переменными. Это всегда величины или сигналы, имеющие конкретное (физическое, механическое, электротехническое, химическое и пр. выражение и непосредственно измеряемые либо наблюдаемые. В процессе разработки, преобразования или использования соответствующие модели всегда доступны для содержательного анализа и проверки адекватности.

В результате применения указанных четырех звеньев (зачастую с различными упрощающими предположениями) возникают уравнения, которые применительно к самому общему случаю можно записать в виде:

. (4)

Здесь - вектор выходных величин (сигналов) системы;- вектор входных величин (сигналов) системы;- вещественные матрицы размераmxm, - вещественные матрицы размераmXs.

Причинность, физическая реализуемость систем

При этом предполагается, что входной и выходной сигналы дифференцируемы необходимое число раз, порядок дифференцирования выходного сигнала не ниже, чем входного сигнала. Первое предположение связано с необходимостью применять соответствующий математический аппарат, а второе – с так называемойфизической реализуемостью, или причинностью (казуальностью) системы. Критерий физической реализуемости сводится к утверждению того, что в реальном мире действует так называемый принцип причинности, т.е. следствие не может опережать во времени причину. Систему называют причинно обусловленной, если значение выходного сигнала в произвольный момент времени зависит от значений входных сигналов в более ранние моменты времени до текущего момента времени включительно.

Связь этого принципа с порядком производных в формуле (4) не столь очевидна, как это имеет место в разностных уравнениях, являющихся аналогом (4) в системах с дискретным временем, или, как их называют, дискретных системах.

, гдеn – дискретное время.

Для непрерывного случая: в соответствии с общепринятой методикой решения обыкновенных дифференциальных уравнений выходной сигнал состоит из двух аддитивных (т.е. складываемых) составляющих: вынужденной , обусловленной только входным воздействием, и свободной , обусловленной только наличием ненулевых начальных условий.

Вынужденная составляющая ищется как частное решение уравнения (4) при нулевых начальных условиях. Свободная составляющая уравнения (4) удовлетворяет, как известно, однородному уравнению (с нулевым входным воздействием):

. (5)

Это уравнение получается из (4) при .

Уравнение (5), вообще говоря, имеет неограниченное число решений. Единственное из них определяется заданием так называемых начальных условий, сводящихся к прохождению полного решения через вполне определенную точку. Совокупность начальных условий в общем случае представляет собой матрицу:

, (6)

содержащую значения всех компонент вектора и всех производных довключительно в фиксированный момент времени.

Для краткости (6) можно переписать в виде:

. В верхнем индексе в скобках указан порядок производной.

Передаточная функция

Приведем уравнение (4) к операторной форме путем применения преобразования Лапласа.

Для этого заменим в уравнении (4) символ дифференцирования на комплексное .

Для вынужденной составляющей при условиииз уравнения (4) получаем операторное уравнение:

, (7)

где - полиномиальные матрицы вида:

.

Формулу

можно считать краткой записью формулы:

.

Здесь утверждается, что сигнал есть результат обратного преобразования Лапласа такого изображения, которое является решением алгебраического уравнения (7), в правой части которого стоит преобразование Лапласа от входного сигнала, и все это – при нулевых начальных условиях.