Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

В этой главе исследуется важнейшее понятие теории систем - понятие устойчивости. Приводятся различные критерии устойчивости как алгебраические, так и графические.

Для нелинейных нестационарных систем имеется множество определений устойчивости: устойчивость точки равновесия и устойчивость движения; устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость; устойчивость «в малом» и «в большом»; устойчивость по начальным условиям и по возмущению.

Для линейных стационарных систем все эти определении совпадают, и мы будем говорить просто об устойчивости.

Устойчивость линейных непрерывных систем

Начнем с простейшей ситуации — открытой невозмущенной системы в пространстве состояний.

Невозмущенные системы

Линейная непрерывная система

, (5.1)

где - матрица , не зависящая от , называется устойчивой, если при для любого .

Теорема 5.1. Для устойчивости системы (5.1) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы лежали в левой полуплоскости:

. (5.2)

При этом для всякого существует такое, что

Отметим, что матрица; удовлетворяющая условиям (5.2), в дальнейшем называется гурвицевой или устойчивой. Соответственно, собственное значение с отрицательной вещественной частью также будем называть устойчивым. Если устойчива, то величина называется степенью устойчивости (матрицы или соответствующей системы). По сути, это минимальное из расстояний от собственных значений устойчивой матрицы до мнимой оси.

Доказательство. Необходимость. Пусть условие (5.2) не выполнено, т.е. найдется некоторое собственное значение матрицы , например, такое, что

Если вещественно, то возьмем в качестве начального условия _, где - вещественный вектор и . Тогда решение с таким начальным условием имеет вид , и потому при .

Если — комплексное число , то найдется и сопряженное собственное значение . Причем, если — собственный вектор, отвечающий , то — собственный вектор, отвечающий . При этом .

Возьмем где , тогда oстается в том же двумерном подпространстве: где описываются дифференциальными уравнениями

Обозначая , легко получаем , т.е. при при . и .

Достаточность. В силу важности теоремы дадим несколько доказательств достаточности; каждое использует технику, которая неоднократно будет применяться в дальнейшем. При этом в ряде случаев доказательство не будет исчерпывающе строгим — для нас важна главным образом идея, заложенная в нем.

Вспомогательные определения и свойства.

Для любой матрицы размерности существует невырожденная матрица той же размерности , такая, что

, где

При этом называют преобразованием подобия.

Если все собственные числа квадратной матрицы различны, то она приводится преобразованием подобия к диагональному виду.
Если при этом , то эта матрица приводится к диагональному виду вещественным ортогональным преобразованием подобия и и все ее собственные числа вещественны.
Если для квадратной матрицы размерности найдется вектор размерности

такой, что векторы линейно независимы, то ее можно привести с помощью некоторого невырожденного преобразования подобия к канонической форме Фробениуса:

Характеристический полином этой матрицы можно выразить через элементы последней строки: .

Для квадратных матриц введено понятие нормы. Функция называется матричной нормой, если для любых матриц выполнены аксиомы:

.
.
для любого вещественного .
.
.

Мы будем пользоваться т.н. спектральной нормой матриц (хотя существуют и другие):

. Здесь -эрмитово-сопряженная матрица, т.е. транспонированная и с комплексно-сопряженными элементами.

Доказательство достаточности 1 (оценка матричной экспоненты). Пусть матрица А диагонализируема, т.е. ее можно путем элементарных преобразований привести к диагональному виду. Это возможно, например, если все ее собственные значения различны), т. е. существует такая невырожденная матрица Т, что

В этом случае имеем

что и доказывает оценку (5.3) для устойчивой матрицы (в этом случае причем можно взять , а константа выписывается явно: