Файл: Учебное пособие-20007.docx

Далее будем изучать понятие оптимального (наиболее предпочтительного, рационального) решения в многокритериальныхконфликтах, описываемых теоретико-игровыми моделями.

Но что такое «наиболее предпочтительное» решение, а тем более, «оптимальное» решение. Опять мы сталкиваемся со сложной задачей, формальные методы решения которой весьма ограничены. Далее мы введем понятие «принципа оптимальности» - правила, определяющего выбор 2оптимального» решения. Но этих принципов оптимальности можно изобрести в достаточно большом количестве. Задача исследователя операций (ИО) – сформулировать правила, принципы выбора решения, приводящие к формулировке соответствующего принципа оптимальности, предоставив решение о выборе конкретного принципа оптимальности. Далее ИО определяет множество оптимальных выборов, соответствующего этому принципу, а ЛПР выбирает из этого множества конкретное решение, которое его устраивает и за которое он полностью отвечает.

Введем необходимые для дальнейшего изложения понятия из теории игр.

Игроком (лицом, стороной или коалицией) называется субъект, отстаивающий в игре свою совокупность интересов. Если данную совокупность интересов отстаивает несколько участников игры, то они рассматриваются как один игрок.

Игроки, имеющие противоположные по отношению друг к другу интересы, называются противниками.

Схематически игра может быть записана в виде:

Г= <I,>, где

I – множество игроков {1,…..n}или (,…,)

- управление i- го игрока ,

- множество выборов ,

Х=- множество исходов,

- функция выигрыша ,

- информационное множество , описывающее информацию, на основании которой игроки выбирают свои стратегии,-множество стратегий .

Принцип Оптимальности

Принцип оптимальности – это понятие определяющее

решение игры.

Решением игры является множество ,или, если мы изучаем конфликт с точки зрения выделенного игрока(оперирующая сторона).

Пример 1. Задача оптимизации

В этом случае I= {1}- изучается поведение единственного игрока, максимизирующего свою функцию выигрыша.

Пусть, например,

Из необходимого условия оптимальности

=-2(-1)=0

получим

, то есть

Пусть теперь функция выигрыша имеет вид:

то есть прежнюю функцию мы «срезали» прямой.

. (см. рис. 1)

В этом случае, очевидно, при

Итак ,формализация принципа оптимальности и соответствующего оптимального решения в задаче оптимизации не вызывает принципиальных затруднений. Чисто технические трудности могут возникнуть при многомерных множествах и громоздкой конструкции функции.

Замечание. Везде далее будет использовано обозначение Argmax- множество точектаких,что

Тогда в рассматриваемом выше примере имеем:

= Argmax

М1

Х1

0,50

1,50

Рис.1

Пример2.Многокритериальная задача.

В этомслучае имеем одного игрока

I={1}, но m функций , которые он желает максимизировать

Как показано в лекции №4 для многокритериальной задачи принцип оптимальности и понятие оптимального решения определяются следующимобразом. Сначала из неформальных соображений конструируется свертка критериев:

F(), а затем как в предыдущем примереопределяем= Argmax.

Пример. 3. Антагонистическая игра.

Антагонистическая игра-взаимодействие двух игроков с противоположными интересами.

Итак, пусть

В этой игре , принципом оптимальности может служить выбор игроками седловой точки

которая по определению удовлетворяет условию

Седловая точка удовлетворяет принципу устойчивости (равновесия интересов).Если один из игроков выбрал свое управление , соответствующее седловой точке, то противнику не целесообразно отклоняться от неё.

Например, для матричной игры

не трудно проверить, что элемент =3-наименьший во второй строке и наибольший в третьем столбце, то есть=3соответствует седловой точке в этой игре.

Если в антагонистической игрене существуетседловаяточка, то используются так называемые смешанные стратегии-вероятностные меры, заданные на исходных множествах управлений. В смешанных стратегияхседловаяточка всегда существует , но их использование требует осторожности- осредненный выигрыш может быть не плохим , а конкретная реализация неудовлетворительной.

Пример.4. Максимально гарантированный результат(МГР)

Пусть

-управление игрока, а-неконтролируемые им факторы.

Тогда игрок гарантированно может рассчитывать на получение результата

Управление , удовлетворяющее условию

называется гарантирующим и может служить в качестве оптимального решения.

Пусть -управление партнера и игрок 1 знаетего принципоптимальности, чтопозволяет ему оценить его «отклик» на свое управление , то есть знать, что игрок 2 выберет.

Например, если мы знаем , то

= Argmax

Тогда МГР игрока1 оценивается величиной

Отметим, что в следствие получаем неравенство.

Пример.5. Бескоалиционная игра n лиц.

Эта игра общего вида

Г=

В этой модели, как и в рассматриваемой ранее модели многокритериальной задачи, решение принимается при наличии нескольких критериев. Однако эти задачи принципиально различны. В постановке многокритериальной задачи отражена нерешительность» ЛПР в оценке им критериев. Поэтому ИО может предоставить выбор ЛПР любого решения, оптимального по Парето. Выбор решения вне этого множества явно не рационален.

В случае модели конфликтной ситуации критерии «разнесены» по разным субъектам. Поэтому Парето-оптимальный выбор может быть не реализован из-за желания какого-то игрока или коалиции игроков «урвать от жизни все» - выбрать решение, увеличивающее его (их) выигрыш за счет остальных игроков.

Самым распространенным принципом оптимальности для этой игры является ситуация равновесия по Нэшу

, удовлетворяющаяусловиям

Здесь

Ситуация равновесия обладает свойством устойчивости: ни одному из игроков не выгодно отклоняться от неё, если все остальные партнеры её придерживаются.

Ситуация - называется ситуацией сильного равновесия, если от неё не выгодно отклоняться любой коалиции