Файл: Учебное пособие-20007.docx

Замечание 1.

Во всех формулах (3)-(5) предполагается, что максимум и минимум достигается (это имеет место когда, например, - конечные множества). В общем случае максимум заменяется на супремум (sup), а минимум на инфинум (inf).

Пример 1. Если (антагонистическая игра)

, (игрок 1 не имеет информации о выборе противника),

то МГР игрока 1 (см. (4)) принимает вид

В случае

(игрок 1 знает выбор игрока 2) имеем

Напомним, что всегда

Замечание 2.

В предположении, что игрок 1 знает все параметры игрока 2, то есть знает множество и функцию- рациональный ответ игрока 2 оценивается следующим образом:

В этом случае, множество - множество всех эквивалентных для игрока 2 стратегий, доставляющих максимум его функции выигрыша при фиксированной стратегииигрока 1.

Замечание 3.

Если игрок 2 доброжелателен по отношению к игроку 1, то есть среди эквивалентных для игрока 2 выборов из множества он делает лучший (с точки зрения игрока 1) выбор, то МРГ игрока 1 оценивается величиной

(6)

Конечно доброжелательность исключается при антагонистическом конфликте ().

Если же , то в случае доброжелательности игрока 2 игрок 1 получает дополнительный выигрыш.

Пример 2.

Пусть

,

Имеем

Тогда

С другой стороны из условия доброжелательности получаем:

Иерархическая игра (игра Гермейера)

Иерархическая игра определяется следующими правилами (предполагается, что игрок 1 – начальник, игрок 2 – подчиненный):

1. Игрок 1 знает все параметры модели игрока 2, то есть множество и функцию выигрыша.

2. Игрок 1 делает свой ход первым, то есть выбирает стратегию и сообщает информацию о ней игроку 2.

3. Игрок 2 при известной ему стратегии выбирает, то есть максимизирует свой критерий.

4. При наличии неопределенных факторов (в данном случае – неоднозначного выбора 2-го игрока из множества ) игрок 1 действует исходя из ОП МГР (4), а в случае доброжелательности игрока 2 в соответствии с (6).

На основании этих предположений в зависимости от информации о выборах 2-го игрока, которую игрок 1 имеет или ожидает иметь, формулируются разные игры. Рассмотрим их.

1. Игра . В этой игре: , то есть ни один из игроков заранее не знает о выборе другого. Здесь игрок 1 выбираети сообщает об этом игроку 2, а он в свою очередь выбирает(множество точек, которое доставляет максимум функции)

Тогда в этой игре МГР 1-го игрока:

- оптимальное управление (стратегия), определяемая условием:

В случае доброжелательности игрока 2 МГР игрока 1 равен

,

а оптимальная стратегия определяется из условия

Можно «стимулировать» доброжелательность, используя побочный платеж . В этом случае, функция выигрыша игрока 2 примет вид:

Аналогичный прием можно использовать в играх и (смотри далее).

2. Игра . В этой игре , то есть игрок 1 перед выбором своей стратегии будет знать выбор игрока 2. Таким образом, стратегия 1-го игрока выглядитследующим образом:

3. Игра . В этой игре , то есть игрок 2 перед выборомзнает. Стратегия 2-го игрока:

Однако первый игрок знает правило поведения 2-го () и поэтому его стратегия будет такой:

Замечание 5.

В играх и оптимальный выигрыш 1-го игрока определяется формулой (4). Таким образом, решение игр и сводится к вариационным и более сложным задачам. Однако далее мы конструктивно определим решение этих игр на исходном множестве управлений.

Замечание 6.

Можно рассматривать игры ,,.... Но оказывается, что ситуация 4 сводится к ситуации 2, ситуация 5 сводится к ситуации 3, а ситуация 6 сводится к ситуации 4 и т.д., то есть;

Из этого следует, что просчет вариантов действий в глубину не следует делать больше трех, дальше все повторяется.

Экономическая интерпретация иерархических игр г1, г2и г3

Игра . Эта игра моделирует процесс управления ценами на произведенную продукцию и затрачиваемые ресурсы:

где x – ресурс,

p(x) – продукция,

- цена на продукцию,

- цена на ресурс.

Пусть фиксирована.

Найти такую, чтобыло выгодно игроку 2.Из необходимого условия экстремума имеем:

Если , то

,

Игра . Эта игра моделирует процесс управления штрафами, поощрениями.

Опять пусть

«+» - премия, «-» - штраф, налог.

Тогда стимулирование выбора можно, например, произвести следующим образом (для определенности- штраф)

Игра . Эта игра моделирует процесс выдачи ресурсов, кредитования под обоснованную программу их использования

Пусть игрок 1 стимулирует реализацию ситуации . Тогда он должен стимулировать игрока 2 выбрать программуиспользования выделяемого ресурса:

где - произвольная функция.

Игроку 1 важно только, что выделяемый ресурс используется игроком 2 следующим образом. Поэтому оптимальная стратегия игрока 1 имеет вид

Как уже

Решение игр и сводится к вариационным и более сложным задачам. Однако далее мы конструктивно определим решение этих игр на исходном множестве управлений.

Игра Г₂.

В этой игре , т.е. игрок 1 до выбора

имеет информацию о .

Поэтому стратегии игрока 1 – функции

Для игрока 2 имеем

Вспомогательные конструкции.