Файл: Учебное пособие-20007.docx

(При получаем ситуацию, эффективную по Парето).

Как мы покажем далее, равуновесные ситуации далеко не всегда Парето-оптимальны.

Далее будем анализировать игры двух лиц и соответственно использовать запись .

Определение: Стратегия называетсяабсолютно оптимальной, если для любыхимеет место равенство:

Для любого х₂первый игрок, используя такую стратегию, максимизирует свой выигрыш.

Определим x₂= х₂^а - оптимальный ответ второго игрока из условия:

M₂(x₁^а(x₂),x₂) =M₂(x₁^а(x₂^а),x₂^а)

Симметрично определяется абсолютно оптимальная стратегия второго игрока.

Тогда ситуация равновесия в исходной игре определяется из условия

x₁^a(x₂^а) = x₂^a(x₁^a)

Замечание.

Прием построения абсолютно оптимальных стратегий и нахождения их пересечений для определения ситуаций равновесия носит общий характер.

Исследуем свойства ситуаций равновесия по Нэшу в следующих биматричных играх.

Покупатель -продавец.

Стратегии:

продавец = {честно взвесил или обманул}={1,2}

покупатель = {поверил или проверил}={1,2}

Эта игра имеет вид:

Покупатель

Верить проверить

Честно взвесить 0,0 0, -1/2

Продавец

Обмануть 1,-1 -1,1

Выигрыши игроков соответственно определяются следующим образом.

(0,0) – в данном случае продавец честно взвесил товар, а покупатель ему верит, не проверяя.

(1,-1) – в данном случае продавец обманул покупателя, а покупатель не поверил ему.

(0,-1/2) – покупатель честно взвесил товар, но покупатель ему не поверил и решил проверить.

(-1,1) – продавец обманул покупателя, а тот решил проверить продавца.

Для этой игры построим абсолютно оптимальные стратегии:

х₂^а = 2

х₁^а = 1

Итак, имеем:

х₁^а(x₂) :

х₂^а(x₁) :

Следовательно, абсолютно оптимальные стратегии не пересекаются, ситуации равновесия не существует, так как хотя бы одному игроку выгодно отклониться.

Действительно:

(0,0) – выгодно отклониться продавцу,

(1,-1) – покупателю,

(0,-1/2) – покупателю,

(-1,1) – продавцу.

Таким образом, ситуации равновесия не всегда существуют.

Семейный спор.

Рассмотрим биматричную игру вида:

Жена

Футбол балет

Футбол 2,1 0,0Муж

Балет 0,0 1,2

Матрицы выигрышей имеют следующий смысл:

(2,1) – в данном случае в выигрыше оказывается муж, так как он идет на футбол, причем вместе с женой.

(0,0) – в данном случае ни один из них не оказывается в выигрыше, так как муж не пошел женой на балет, а она не пошла с ним на футбол. То есть не провели вечер вместе, хотя планировали именно так.

(0,0) – опять оба не в выигрыше.

(1,2) – в данном случае в выигрыше оказывается жена, так как они пошли на балет вместе.

Для этой игры абсолютно оптимальные стратегии имеют вид:

жена:

х₂^а = 2

муж:

х₁^а= 1

Эти стратегии пересекаются в двух точках;

То есть в данном случае существует две ситуации равновесия: (1,2) и (2,1). Вопрос в том, кто берет на себя инициативу установления равновесия. Этот вопрос решается только обсуждениями в динамике или учитывая, кто в семье главный.

Итак, ситуация равновесия не всегда может быть рациональным принципом оптимальности для бескоалиционной игры, так как партнерам нужно договориться, какую ситуацию выбрать.

По крайней мере, партнерам оказывается выгодным обмен информацией «кто куда собирается пойти». В любом случае мы выходим за рамки модели бескоалиционной игры. Далее будет показано, как обмен информацией влияет на принятие решений.

Реклама

Пусть две фирмы выпускают однотипный товар. Объем рынка как показал маркетинг – 10 ед. товара.

Управление игроков(фирм) – {рекламировать , не рекламировать} ={1,2}

Реклама обходиться в 1 ед. товара.

Биматричная игра имеет вид:

2 Фирма

реклама не реклама

реклама 4,4 9, 0

1 Фирма

не реклама 0,9 5,5

Элементы матриц выигрышей имеют следующий смысл:

(4,4) – обе фирмы потратятся на рекламу и тогда поровну распределится объем рынка, их продукцию будут покупать, так как она разрекламирована, фирмы получат выигрыш M₁= M₂ = 4.

(9,0) – если 1-я фирма потратит деньги на рекламу, а вторая не будет этого делать, тогда в выигрыше будет 1-я фирма, так как ее товар все будут покупать: ее выигрыш M₁= 9, а вторая фирма ничего не получитM₂ = 0.

(0,9) – наоборот, первая фирма не рекламирует свой товар, а вторая – рекламирует, тогда вторая фирма будет в выигрыше, займет весь оставшийся объем рынка M₂ = 9, а первая ничего не получитM₁= 0.

(5,5) – обе фирмы ничего не рекламируют и в результате делят объем рынка пополам M₁= M₂ = 5.

В этой игре ситуация равновесна – точка (4,4), когда товар обеих фирм хорошо разрекламирован (ситуация равновесия по Нэшу).

Однако, есть точка (5,5) – это Паретовская точка (т.е. обе фирмы могут получить больше на одинаковое количество). Эта ситуация возможна тогда, когда никто не будет друг друга обманывать, а для этого необходимы дополнительные переговоры.

Итак, ситуация равновесия в этом примере существует и единственна, но она не устраивает обоих игроков.

Роль информированности. Формализация информированности в виде стратегии

Напомним основные понятия теории игр.

Пусть задана игра: , далее будем использовать запись.

Здесь - множества управлений,

, где- управление .

- функция выигрыша игрокаi, i=1,2

Пусть

- информационное множество игрока i

- информация, доступная игроку i

Стратегия – функция, зависящая от информации:

- множество стратегий игрока i

Например:- игрок 1 перед выборомбудет знать выбор, т.е. в этом случае:;

- множество функций.

Ход игрока i -- выбор стратегии и сообщение информации о своем выборе партнерам (сообщение может быть «пустым»):

Роль информированности

Покажем на примерах как наличие информации влияет на выбор решения и соответственно на ожидаемый результат.

Пример 1: Информация о выборе партнера

Рассмотрим антагонистическую игру: .

Пусть первый игрок не имеет информации о выборе второго игрока х₂ до своего выбора управления х₁.

Тогда его оптимальный ( максимально гарантированный результат – МГР) равен:

Пусть теперь первый игрок будет иметь информацию о выборе вторым игроком.

Тогда игрок 1 может использовать абсолютно оптимальную стратегию , такую чтопри любых.

В этом случае оптимальный (МГР) результат игрока1 равен:

Всегда верно неравенство: ,

.

Приведем пример когда :

Пусть функция выигрыша первого игрока имеет вид: ,, i=1,2