Файл: финансовая математика.doc

Величина процентного платежа ( плата за кредит )

I = 5,9126 - 5,0 = 0,9126 млн. руб.

Пример. Кредит в 1 млн. руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определите ставку процента при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

Решение. Из формулы (15) имеем:

r = 0,11+0,16+ 0,11× 0,16 = 0,2876;

S = 1,0 ( 1 + 0,2876 )² = 1,658 млн. руб.

Задачи

4.1. Кредит 500 тыс. руб. выдается с 20.06.98г. по 15.09.98г. При выдаче кредита считается, что индекс цен к моменту его погашения составит 1,3. Определите брутто-ставку и погашаемую сумму.

Ответ: R = 134% ; S _R = 658 194 руб.

4.2. Кредит в размере 5 млн руб. выдается на 3 года. Реальная доходность операции должна составлять 3 % годовых по сложной ставке. Расчетный уровень инфляции составляет 10% в год. Вычислите брутто-ставку и погашаемую сумму. Ответ: R = 13,3 % ; S_кR = 7 272 098 руб.

4.3. В банк помещен вклад в сумме 100 тыс. руб. под 100 % годовых сроком на 5 лет. Ожидаемый в течение этого периода темп инфляции h = =50 % в год. Определите реальную сумму, которую будет иметь клиент по истечении пяти лет: а) с учетом инфляции; б) без учета инфляции.

4.4. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 11% реальная доходность оказалась 6 %.

4. Финансовые ренты

1. Обычная годовая рента

Финансовые операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примером могут служить погашение займа, арендная плата и т.д. Такие последовательности платежей называют потоком платежей.

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t_0, а заканчивается в момент t_n . Выплаты R_k (k = 1,2,..,n) происходят в моменты t_k . Обычно полагают t₀ = 0 (рис. 1).

Финансовой рентой называется последовательность периодических выплат R_k , R _k > 0 , осуществляемых через равные промежутки времени.

Выплаты R_k называют членами ренты. Если все выплаты одинаковы, т.е. R_k = R , то рента называется постоянной.

Пусть d - период ренты, а n - число выплат, тогда произведение периода на число выплат nd представляет собой календарный срок ренты. Если выплата производится в конце каждого периода (рис. 1), то рента называется обычной, а если в начале периода, то приведенной (рис. 2).

Выбирая базовую единицу времени, зададим процентную ставку ренты (сложную). Найдем наращенную сумму S обычной годовой ренты, состоящей из n выплат, т.е. сумму всех членов потока платежей с начисленными на них процентами к концу срока. Для этого рассмотрим конкретную задачу. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (рис. 3).

Наращенная сумма S состоит из n слагаемых. Именно

S = R + R( 1 + i ) + R( 1 + i )² + ...+ R( 1 + i )^n-1

Справа стоит сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем 1 + i. По формуле суммы геометрической прогрессии получим

(16)

Выражение обозначается символомs(n;i) и называется коэффициентом наращения обычной ренты. Формулу (16) можно переписать в виде

S = R × s(n; i)

Современной стоимостью ренты A называется сумма всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты. Из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты находим современное значение ренты А:

S = A( 1 + i )ⁿ или A = S( 1 + i )^-n .

Таким образом,

. (17)

Выражение обозначается символомa(n;i) и называется дисконтирующим множителем обычной ренты или коэффициентом приведения ренты. Таким образом, современное значение ренты

A = R × a(n; i) .

Пример. Найдите текущее и наращенное значение ренты с выплатами по 320 тыс. руб. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 24 % годовых.

Решение. Эффективная ставка за месяц равна 24 %:12 = 2 % Текущее значение вычисляется по формуле (17):

A = 320 = 6052, 4619 тыс. руб.

Наращенное значение вычисляется по формуле (14):

S = = 9734,9952 тыс. руб.

Пример. Фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 100 тыс. руб. под 20 % годовых с последующей их капитализацией, т.е. прибавлением к уже накопленной сумме. Найдите сумму инвестиционного фонда.

Решение. Здесь рассматривается обычная годовая рента с ежегодными платежами R = 100 тыс. руб. в течение n = 5 лет. Процентная ставка i = 20%. Из формулы (16) находим:

S = 100 = 744,160 тыс. руб.

5.2. Приведенная рента

Различие между обычной рентой и приведенной заключается в том, что все выплаты R у приведенной ренты смещены влево на один период относительно выплат обычной ренты (сравним рис. 4а и 4б).

Рис. 4

Легко понять, что на каждый член приведенной ренты начисляется процентов на один период больше, чем в обычной ренте.

Отсюда наращенная сумма приведенной ренты S_P больше в (1 + i ) раз наращенной суммы обычной ренты :

S_P = S (1 + i ) и s^P(n; i) = s(n; i) (1 + i ).

Точно такой же зависимостью связаны современные стоимости обычной ренты А и приведенной ренты А_P :

А_P =А (1 + i ), а^P(n; i) = a(n; i) (1 + i ) . (18)

Пример. Кредит в сумме 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными выплатами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i=3 % в месяц. Найдите сумму ежемесячного взноса R при платеже:

а) постнумерандо (обычная рента),

б) пренумерандо (приведенная рента).

Решение. а) R × a(12;0,03) = 5 млн руб.

Коэффициент приведения a(12; 0,03) = = 9,95400 .

Отсюда R = 5млн руб._/ 9,95400 = 502311 руб.

б) Аналогично предыдущему : R × a(12;0,03) = 5 млн руб. Из формулы (18):

а^P(12;0,03) = a(12;0,03)  (1+ i ) = 9,954 × 1,03 = 10,25262 ;

R= 5 млн руб._/10,25262 = 487680 руб.

3. Отложенная рента

Если срок ренты начинается в некоторый момент в будущем, то такая рента называется отложенной или отсроченной. Отложенную ренту будем считать обычной. Длина временного интервала от настоящего момента до начала ренты называется периодом отсрочки. Так период отсрочки ренты с выплатами по полугодиям и первой выплатой через два года равен 1,5 годам (рис. 5).