Файл: лекция № 12.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 12

з теми: «Загальний метод розв'язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.»

Модуль кзн-02. Пр.О.04.03 Диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Загальний метод розв'язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Мета:

• Дидактична: розглянути загальний метод розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, навчитись розв'язувати як однорідні, так і неоднорідні лінійні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: лінійні оператори – поняття та властивості; диференціювання складних функцій, повторне диференціювання; лінійна залежність, незалежність векторів лінійного простору.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Загальний метод розв'язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 12.

Тема: «Загальний метод розв'язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.»

План лекції № 12.

1. Загальний метод розв'язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.

2. Приклади.

Загальні властивості лінійних однорідних диференціальних рівнянь n-го порядку

---

Властивості лінійного диференціального оператора

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

, (5.1)

де ,i =1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок y=y(x), який задовольняє початковим умовам

.

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок при конкретних початкових умовах є частинним. Якщо при стоїть, то точки, в яких=0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним

. (5.2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

. (5.3)

Властивості оператора L :

1. L (ky)=k L (y), k = const;

2. L ()=L () + L ();

3. L , де – деякі числа.

Використовуючи оператор L диференціальні рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді

L (y) = f (x),

L (y) = 0 .

Означення 5.1. Функція y=y(x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L(y) f(x) (для диференціального рівняння (5.2) ).

---

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції

(5.4)

при певних обмеженнях на функції та.

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку

Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння

. (5.5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.

Означення 5.2. Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x), v(x) дійсні функції, , будемо називати комплексною функцією від дійсної змінноїх (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).

Приклад 5.1. Показати справедливість формул

, . (5.6)

Розв'язання. Формули (5.6) доводяться шляхом розкладу відповідних експонент в ряд, наприклад.

.

Похідна n-го порядку від z(x) дорівнює

. (5.7)

Приведемо формули для обчислення похідних:

а) . (5.8)

Дійсно

б) для дійсного і будь-якогосправедлива формула

; (5.9)

---