Файл: лекция № 12.doc

в) використовуючи (5.9) можна показати

, (5.10)

де – поліноми степеняn;

г) при будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула

. (5.11)

Формула (5.11) доводиться шляхом представлення і використання формули (5.8).

Означення 5.3. Комплексна функція

(5.12)

називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5), якщо

.

Комплексний розв’язок (5.12) утворює два дійсних розв’язки (x),(x). Дійсно

L (y(x)) = L ((x) + i(x)) = L((x)) + iL((x)) = 0 .

Звідки L((x)) = 0, L((x)) = 0.

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5):

а) Якщо (x) – розв’язок , тобто L()0, то y=c(x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5.5)

L(с) = сL() = 0;

---

б) якщо (x),(x) – розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то

у= (x)+(x) теж розв’язок . Дійсно L (+) = L ()+L () = 0;

в) якщо (x),(x), ... ,– розв’язки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також є розв’язком

.

Приклад 5.2. Записати двопараметричне сімейство розв’язків диференціального рівняння

.

Розв'язання. Очевидно, що , – розв’язки, тоді – розв’язок.

---

Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n розв’язків лінійного однорідного рівняння n – го порядку

Означення 5.4. Функції (x),(x), ..., називаються лінійно незалежними на (a, b) , якщо між ними не існує співвідношення виду

, (5.13)

де , ... ,– постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функціїназивають лінійно залежними на (a, b).

Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , () не було постійним на (a,b).

Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожно дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

Приклад 5.3. Функції =1,=x, ... , - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) .

Дійсно, співвідношення 1+x + ... +x=0 , в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-якихx , так як рівняння

(n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го кореня.

Приклад 5.4. Функції ,– лінійно незалежні, так як співвідношення, дене рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з=.

---

Приклад 5.5. Функції =sinx , =cosx ,=1 – лінійно залежні на , так як для будь-якогох справджується співвідношення

sinx + cosx – 1 = 0 .

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n функцій .

Теорема 5.1. Якщо функції (x),(x), ... , – лінійно залежні на (a,b), то їх вронскіан W (x) тотожно дорівнює нулю на (a,b) . Тут

W(x) = . (5.14)

Доведення. Згідно умови теореми

(x) + (x) + ... +0 , a < x < b, де не всі одночасно рівні нулю . Нехай, тоді

. (5.15)

Диференціюємо (5.15) (n-1) раз і підставляємо в (5.14)

. (5.16)

Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже

---

W (x) 0 , a < x < b.

Теорема доведена.

Нехай кожна з функцій (x),(x), ... , – розв’язок диференціального рівняння (5.5). Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих розв’язків даються теоремою 5.1 і наступною теоремою.

Теорема 5.2. Якщо функції (x),(x), ... , – суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b).

Доведення. Припустимо протилежне , що в точці (a,b) . Складемо систему рівнянь

. (5.17)

Так як визначник системи (5.17) , то вона має ненульовий розв’язок. Розглянемо функцію

y = , (5.18)

яка є розв’язком диференціального рівняння (5.5).

Система (5.17) показує , що в точці розв’язок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до(n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність

y(x)= ,a < x < b,

де не всі дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв’язки– лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.

---