Файл: лекция № 1.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 1

з теми: «Визначення диференціального рівняння. Порядок рівняння, загальний інтеграл. Постановка задачі Коші.»

Модуль кзн-02. Пр.О.04.01Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Визначення диференціального рівняння. Порядок рівняння, загальний інтеграл. Постановка задачі Коші.

Мета:

• Дидактична: ознайомитись з поняттям диференціальних рівнянь, загальним інтегралом диференціального рівняння, розглянути основні типи диференціальних рівнянь, навчитись знаходити розв'язки інтегральних типів диференціальних рівнянь 1-го порядку.

• Виховна: розвивати здатність студентів логічно, послідовно мислити.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: ввідна лекція

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Міжпредметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, моделювання економічних та виробничих процесів.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення похідної;

• Дати визначення первісної, невизначеного інтегралу;

• Дати визначення диференціалу;

• Визначити зв’язок неперервності та диференційованості;

• Необхідні умови інтегрованості функції;

• Таблиця похідних, таблиця інтегралів основних елементарних функцій.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Визначення диференціального рівняння. Порядок рівняння, загальний інтеграл. Постановка задачі Коші.

• Мотивація вивчення матеріалу: диференціальні рівняння – це основний сучасний засіб розв’язання прикладних задач, який дає змогу описати математичну модель на зрозумілій мові. Тому, сучасному студенту необхідно вміти не тільки розв’язувати основні типи звичайних диференціальних рівнянь, але моделювати за допомогою диференціальних рівнянь текстові задачі.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання.

---

Конспект лекції № 1

Тема: Визначення диференціального рівняння. Порядок рівняння, загальний інтеграл. Постановка задачі Коші

План лекції № 1

1. Загальні положення теорії звичайних диференціальних рівнянь.

2. Основні поняття теорії звичайних диференціальних рівнянь.

3. Задача Коші.

4. Узагальнення диференціального рівняння.

---

1. Загальні положення теорії диференціальних рівнянь.

Для вивчення явищ природи зручно користуватися побудовою математичної моделі та її вивченням.

Часто вдається скласти певну функціональну залежність між невідомими характеристиками розглянутого процесу, швидкістю змінення иевного показника і часом, тобто знайти рівняння, що містить похідні невідомих характеристик процесу. У цьому випадку говорять, що математичною моделлю є диференціальне рівняння.

Наприклад, розглянемо задачу про рух матеріальної точки. Необхідно знайти закон її руху, якщо дана швидкість.

Нехай S(t) – невідомий путь.

t – час.

V(t) – швидкість в момент часу t.

Тоді S’(t) = V(t), т.е. (1)

Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї змінної, то рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням. Якщо в шукану функцію входить декілька (не менше 2) змінних, то рівняння називається рівнянням в частинних похідних.

Якщо –загальний вид дифференціального рівняння.

Порядок старшої похідної визначає порядок диференціального рівняння.

Якщо диференціальне рівняння може бути таким, що розділяється, то воно має безліч рішень. Тому, отримавши рішення, не можна однозначно вказати залежність від часу характеристик досліджуваного процесу. Якщо для рівняння (1) задати умову , то– однозначневизначення закона руху в даному випадку.

Зауваження:

При розв'язанні диференціального рівняння важливо отримати рішення, яке безперервно залежить від вихідних даних, тобто при малій зміні вихідних даних саме рішення мало змінюється.

Отже, головне питання теорії диференціальних рівнянь - це питання існування і одиничності та безперервної залежності від вихідних даних рішення диференціальних рівнянь при заданих початкових умовах.

---

2. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь

Нехай , где.

Почнемо теорію звичайних диференціальних рівнянь з рівняння (2), де х – аргумент, а у = у(х) – шукана функція.

Рівняння (2) називається рівнянням I порядка в нормальній формі.

Нехай –деякий проміжок осі ОХ.

Визначення: функція ,що визначена на проміжку Х називається розв’язком диференціального рівняння (2), якщо

1) –неперервна на Х.

2) .

3) .

Крива в області G, що є графіком деякого рішення рівняння (2), називається інтегральною кривою диференціального рівняння (2).

Якщо диференціальне рівняння має рішення, задане в неявній формі, тобто Ф(х,у)=0, то воно дасть всі рішення диференціального рівняння.

Геометричний зміст рівняння (2) і його рішення.

В точці (х₀,у₀)задамо вектор – спрямовуючий вектор поля, що відповідає рівнянню (2).

Вектор має координати

Крива в області G є інтегральною кривою рівняння (2) тоді та тільки тоді, коли вона є гладкою і спрямовуючий вектор дотичної до кривої в кожній її точці співпадає зі спрямовуючим вектором поля в цій точці.

Отже, диференціальне рівняння має безліч рішень.

3. Задача Коши для диференціального рівняння першого порядку

Для виділення з безлічі рішень деякого частинного розв’язку необхідно до рівняння (2) задати початкові умови в деякій точці.Наприклад, (3).

---