Файл: лекция № 1.doc

Завдання знаходження рішення рівняння (2), яке задовольнить умові (3) називається задачею Коші для рівняння (2).

Теорема існування та одиничності розв’язку задачі Коши:

Нехай .Тоді:

1) знайдеться число , таке що розв’язок задачі Коші (2)-(3) існує .

2) Якщо – дварозв’язки задачі Коши (2)-(3), де .

З теореми маємо, що рішення задачі Коші залежить від початкової точки .

В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовамприприі т.д.

Теорема Пікара (без доведення). Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (2) визначена і неперервна в обмеженій області

і, отже, вона є обмеженою

функція має обмежену частинну похідну поу на D

.

При цих умовах задача Коші має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі

Зауваження. В сформульованій теоремі умову можна послабити (замінити) на те, щоб функція по зміннійу задовольняла умові Ліпшіца, тобто

.

---

Тут L>0 - найменша константа, яка задовольняє (2.15) і називається константою Ліпшіца .

Теорема Пеано (про існування розв’язку). Якщо функція є неперервною наD, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє, то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.

Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти умові. Наприклад, .

---

Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню

Означення. Розв’язок, який складається з точок єдиності розв’язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому .

Розв’язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв’язок.

Означення. Розв’язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, будемо називати особливим.

Геометрично особливому розв’язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв’язку. Тому особливий розв’язок не може існувати всередині області D існування загального розв’язку. Його не можна отримати з формули загального розв’язку ні при яких числових значеннях , включаючи . Його можна отримати з загального розв’язку лише при .

Існують ні частинні ні особливі розв’язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв’язків.

N₁

Мал. 2.4

Приклад. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння

.

Розв’язання. При маємо.

Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при. Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому . Отже, згідно означення – особливий розв’язок.

---

Якщо неперервна наD, то умови підозрілі на особливий розв’язок – необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

1.  вона є інтегральною кривою;

2.  перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.

В прикладі 2.2. при. Оскільки– розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок.

Приклад. Розглянемо диференціальне рівняння

Розв’язання. Знайдемо при . Очевидно, щопри. Алене є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.

Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Нехай це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Тоді ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.

4. Узагальненням диференціального рівняння в нормальній формі служить рівняння I-го порядку в диференціалах.

и (4)

Визначення: вектор-функція називається параметричним рішенням рівняння (4), якщо

---

1) –неперервно диференційовані та .

2) .

3) .

Приклад: Знайти розв’язок рівняння .

–общее решение.

---