Файл: лекция № 21.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 21

з теми: «Загальний розв’язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь методом Ейлера у випадку кратних дійсних власних коренів.»

Модуль кзн-02. Пр.О.04.05 Система звичайних диференціальних рівнянь

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

План заняття

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Загальний розв’язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь методом Ейлера у випадку кратних дійсних власних коренів.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод Ейлера розв’язання систем лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, пояснювально-ілюстративний.

---

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

Хід заняття

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: методи розв’язання систем лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Загальний розв’язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь методом Ейлера у випадку кратних дійсних власних коренів.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 21.

Тема: Загальний розв’язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь методом Ейлера у випадку кратних дійсних власних коренів

План лекції № 21.

1. Розв'язання системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

2. Жорданов базис. Побудова розв’язків системи в залежності від базису.

Однорідні лінійні системи диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами

Матричний метод інтегрування однорідних стаціонарних систем

Припустимо, що в системі (67) матриця А постійна. Тоді виконуються умови комутативності (68). Тому, згідно (70), маємо

. (75)

Розглянемо випадок , тоді

. (76)

Властивості матричної експоненти:

а) якщо АВ=ВА , то ;

б) якщо , то ;

в) матриця є розвязком матричного диференціального рівняння (67) з початковими умовами . Тому розв'язок задачі Коші запишеться таким чином .

Таким чином , для знаходження загального розв'язку системи необхідно знайти матрицю .

Для цього представимо матрицю А у вигляді , де J – жорданова форма матриці А. Тоді

. (77)

При обчисленні (77) враховується, що якщо – -та клітина Жордана

---

, (78)

то представимо її у вигляді

=, (79)

де

,

.

Знаходимо

. (80)

Матрицю можна знайти з допомогою ряду (71), так як . Це означає, що в ряді (71) відмінні від нуля тільки перші членів.

Розглянемо ряд прикладів, в яких матриця Жордана має різну структуру, тобто корені характеристичного рівняння будуть мати різний вигляд.

Приклад 5. Обчислити , якщо А = .

Розв'язання. Розглянемо характеристичне рівняння , . Знайдемо невироджену матрицю , щоб , де :

, ,

тобто

і .

Остаточно маємо:

.

Приклад  Знайти , якщо А = .

Розв'язання. Знайдемо корені характеристичного рівняння . Оскільки , то . Визначимо матрицю :

---

, .

Тому .

Але . Тому .

Приклад 7. Знайти , якщо .

Розв'язання. Так як , то – жорданова форма. Аналогічно визначаємо

, .

Тому

.

Представимо

, тоді , де . Легко обчислити (згідно (71)), що

, .

Тому

---