Файл: лекция № 21.doc

Структура фундаментальної системи розв'язків. Метод Ейлера

Розглянемо лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами в векторно – матричній формі

. (81)

Лінійно незалежні розв'язки, згідно Ейлеру, шукаємо у вигляді

, (82)

де h – власний вектор , – власне значення, тобто

, . (83)

Число повинно задовольняти характеристичне рівняння

. (84)

Розглянемо різні випадки:

а) корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Тоді

(85)

система n – лінійно незалежних розвязків, так як в даному випадку кожному відповідають лінійно незалежні власні вектори ;

б) характеристичне рівняння має пару комплексно спряжених коренів . Тоді кореню відповідає власний вектор . Це означає, що система (81) має комплексний розвязок

Звідки

, (86)

– два лінійно незалежні розв’язки, які відповідають кореням . При цьому розгляд кореня не дає нових лінійно незалежних розв'язків;

---

в) розглянемо випадок кратних коренів. Нехай (s<n) – різні розв'язки характеристичного рівняння (84), тобто

.

Тоді матрицю А можна представити клітками Жордана, тобто знайдеться неособлива матриця S така, що

S^-1AS=,

де .

Отже, заміною прийдемо до системи диференціальних рівнянь

, .

Якщо , – вектори розмірності , то маємо

. (87)

Розглянемо одну з підсистем системи (87) з матрицею

+=.

Фундаментальна матриця для системи (87) має вигляд

,

то знаючи заміну , матриця буде фундаментальною для даної системи.

Визначимо

.

Але , де – одинична матриця розмірності , причому

, …, .

Таким чином

.

---

Домножаючи на отриману матрицю будемо мати інтегральну матрицю для даної системи.

Враховуючи вид інтегральної матриці для побудови лінійно незалежних розв'язків j – ої підсистеми

(88)

можна поступити так. Шукаємо ,

, .

Тобто , . Звідки

. (89)

Тобто

, .

Отже

.

Міркуючи аналогічно можна отримати , тому

. (90)

Висновки. Якщо характеристичному числу відповідає тільки один елементарний дільник, то ми отримуємо тільки одну групу розвязків виду (90), яка містить розвязків (цей випадок відповідає тому, що ранг характеристичної матриці дорівнює (n-1)). Якщо ж відповідає декілька елементарних дільників , , то йому відповідає m груп розвязків типу (90). Причому кожна з груп має відповідно – розвязків. Якщо всі елементарні дільники прості, то ми маємо випадок простого кореня.

(1) – неоднородная система.

---

.

Пусть решение неоднородной системы. Заменой приводим (1) к однородной системе . (2)

, но удовлетворяет системе (2).

Учитывая формулу решения системы (2) имеем:

(3) , где – базис линейного пространства, . (3) – общее решение системы (1).

Лемма (принцип суперпозиции):

Если , – решение (1) при , – решение (1) при , то – решение системы (1).

1. Пусть , где – вектор-многочлен степени .

Рассмотрим вопрос о решении системы (1).

Пусть – собственные значения – некоторая жорданова цепочка дляиз

Теорема 1:

Если в системе (1) , где – многочлены степени , то для системы (1) решение вида:

---

– многочлены степени

Общий случай:

Теорема 2:

Если в системе (1) , где – вектор-многочлен степени , то для системы (1) всегда существует решение вида:

(4) , где – вектор-многочлен степени , причем , если – не собственное значение А, и не превосходит наибольшей длины жордановой цепочки для , если – собственное значение А, а коэффициентами служат -мерные числовые векторы.

Практически, частное решение вида (4) ищут методом неопределенных коэффициентов. Если наибольшая длина жордановой цепочки неизвестна, то вместо в (4) берут кратность собственного значения .

Если – конечная сумма многочленов, то частное решение (1) находят по принципу суперпозиции и теореме (2).

---