Файл: Анализ и оценка средств реализации структурных методов и проектирования экономической информационной системы.pdf

​​​​​(1)

Как мы уже выяснили, метод взвешенных тангенсов отличается тем, что необходимо учитывать веса каждой из «промежуточных регрессий». Таким образом, для МВТ формула нахождения оценки коэффициента примет следующий вид:

С использованием последней формулы можно рассчитать оценку коэффициента регрессии, который будет равен 1,4. Для расчета свободного члена a применим уже известную формулу, что даст нам оценку свободного коэффициента равную -0,5. Таким образом уравнение регрессии примет вид:

В данном конкретно случае, уравнение регрессии, полученное при помощи метода наименьших квадратов и уравнение регрессии, полученное при помощи метода взвешенных тангенсов имеет одинаковый вид, но это лишь случайность, а не закономерность. Возьмем второй набор данных, немного отличающийся от первого, где выборка будет состоять из 5 наблюдений, представленных в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Исходный данные для которых МНК и МВТ не совпадают

i – номер наблюдения

x – входной параметр

y – выходной параметр

1

1

1

2

2

3

3

2

2

4

3

5

5

4

10

Применения метода наименьших квадратов, то есть МНК-метода, и метода взвешенных тангенсов, то есть МВТ-метода, дало два совершенно разных уравнения, представленных в двух следующих формулах:

Рассмотренные примеры доказали, что метод взвешенных тангенсов может применяться и даже давать лучшие оценки в случае коротких выборок, небольшого набора исходных данных, но этого недостаточно для применения этого метода к временным рядам. Наблюдения в таком случае обычно происходит через какие-то равные промежутки времени, например, через месяц, квартал или год, и тогда формула для расчета оценки коэффициента регрессии b, исходя из исследований Шатрова и Кошкина [3], будет несколько скорректирована, как раз на появившеюся циклическую компоненту, и примет вид:

где – количество наблюдений в одном цикле,

– количество циклов временного ряда,

p– номер цикла, в котором находится первая из точек с номером t отрезка частного тренда,

q – номер цикла для второй точки,

t – номер периода циклической компоненты в отрезке от 1 до ,

Свободный член можно найти по следующей формуле:

где - номер цикла.

Для лучшего понимания таких величин как и , приведем простой пример. Пусть мы имеем наблюдения за финансовыми показателями компании в период с 2000 по 2016 год за кварталы. Тогда, , так как всего у нас 16 повторяющихся циклов, 16 годов наблюдения, а вот , ведь в каждом цикле (году) у нас есть по 4 наблюдения (за каждый из кварталов). Для вычислений p и q возьмем любые две точки, например, первые две: показатель за I квартал 2000 года и за II квартал этого же года. Для них эти значения будут одинаковыми и равны 1, так как это первый цикл, первый из рассматриваемых годов. Аналогично, если мы возьмем первый и последний элементы выборки, для первого имеем p и q равные 1 и 4 соответственно.

В данном случае, найденные оценки используется для линейного уравнения тренда T, который в свою очередь наравне с циклической компонентой S и остаточной компонентой E позволит нам найти искомую переменную y:

Остаточная компонента, по своему определению, случайна и может быть как одинакова, так и различна в каждом рассмотренном цикле, поэтому для нахождения циклической компоненты используется усредненное значение каждой ее точки t по всем циклам сразу:

где – номер цикла,

S(t) – усредненная функция циклической компоненты,

S – значение циклической компоненты,

E – остаточная компонента,

– количество наблюдений в одном цикле.

Шатров и Кошкин также привели примеры применения метода взвешенных тангенсов для временного ряда [3] и смогли достать, что данный метод действительно можно применять, так как результат эквивалентен исходной формуле, к тому же полученный результат можно считать эффективней, так как остаточная сумма квадратов немного меньше исходного результата. Как вывод из этого, метод взвешенных тангенсов не так требователен к объему данных, как метод наименьших квадратов, МВТ также может обойтись одним циклом статистики, что позволит прогнозировать данные, имея данные всего за один год, квартал или месяц до этого. Однако для циклической компоненты требуется, как минимум, один дополнительный цикл, которого может и не быть. Кроме того, неизменность циклической компоненты и трендовой оставляющей не всегда соответствует действительности, что может привести к неточным оценкам.

Чтобы избежать недостатков, имеющихся у вышеописанного метода, был предложен метод фазовых компонент. Метод фазовых трендов выделяется тем, что не требуется поиска циклической компоненты как таковой, а для применения метода достаточно только знать о ее наличии. Например, для этого используют автокорреляционную функцию временного ряда или периодограмму. Все остальные предпосылки остаются как в методе взвешенных тангенсов, то есть имеются периоды с фиксированным количеством наблюдений в каждой из них. Применение такого метода значительно улучшает модель и такие ее показатели как коэффициенты детерминации, а также критерий Фишера и средняя ошибка аппроксимации. Кроме того, так как мы не выделяем общую циклическую компоненту, есть возможность выбрать различные функции тренда для каждого цикла, что также может поспособствовать улучшению модели.

Для данного метода, возьмем уже сформированные данные из работ Кошкина и Шатрова [3] и Семенычевых [9], и сравним их, чтобы доказать действенность метода фазовых трендов. Для этого возьмем довольно распространенные данные о индексе реального ВВП в период за 2003-2008 год, и приведем только результаты, полученных авторами в ходе работы с данными из табл. 1.3 и применения двух разных моделей. Несмотря на близость результатов, некоторые показатели все же имеют различие.

Таблица 1.3. Данные индекса реального ВВП по данным Росстата

Год

Квартал

Индекс по Семенычевым

МФТ

2003

1

100

98

2

106,9

105,2

3

121,4

119,1

4

120,7

122,4

2004

1

107

106,7

2

115,2

114,8

3

130,2

129,2

4

128,7

131

2005

1

112,8

115,2

2

122,3

124,3

3

138,3

139,4

4

138,4

139,6

2006

1

120,2

123,7

2

131,7

133,9

3

138,3

149,6

4

138,4

148,1

2007

1

129,3

132,2

2

124,2

143,5

3

160,5

159,7

4

163,6

156,7

2008

1

140,5

140,6

2

153

153

3

170,2

169,9

4

165,5

165,2

В первом случае [9] использованная модель ARMA выражалась в полиномиальном уравнении 20-ого порядка, а для сохранения точности модели использовались 80-разрядные коэффициенты, что делает модель невероятно трудоемкой для расчетов. Однако коэффициент детерминации данной модели составил 0,99, средняя абсолютная ошибка модели в процентах составила 2,74%. Это хорошие показатели. Модель, полученная авторами по методу фазовых трендов, имела соответствующие показатели в размере 0,9999 и 1,93%. Эти показатели можно считать лучше, чем у предыдущей модели, так как коэффициенты детерминации практически идентичны, а средняя ошибка меньше. К сожалению, в статье не приведено само уравнение, однако указано, что все четыре фазовых тренда (по кварталам) выбраны линейными, что дает нам право утверждать, что данная модель значительно проще в расчетах, чем предыдущая, к тому же позволяет изменять уравнение фазового тренда в каждом цикле, что уже ближе к реальным данным. Однако Кошкин и Шатров отмечают, что данный метод более требователен к объему исходных данных, хотя выборка из табл. 1.4 также относительно небольшая. Для такого метода остро встает вопрос, какой минимальный набор данных необходим для получения точных и несмещенных оценок.

1.2. Анализ временных рядов на базе графов и матриц подобия

Данный метод, как показывает практика, часто применяется в экономической сфере, так зачастую значения финансовых или налогооблагаемых показателей оказывается недостаточно для прогноза. Он основан на методе визуализации, где информационной базой как раз и выступают короткие временные ряды. Данный метод будет рассмотрен на примере исследований профессора Тамбиевой, которая в своей статье [15] решала проблему недостаточности информации для принятия решений экспертами налоговой службы. Предпосылками для работы, как и в данном случае, стали малые и средние предприятия.

Исходными данными стали значения 119 различных экономических, финансовых и налоговых показателей 27 предприятий в 10-13 квартальный периоды. Таким образом, длина временного ряда составила n=13, что интерпретируется как «очень короткие временные ряды». Для демонстрации метода были выбраны 15 «основных» показателей для предприятий, среди который выручка от реализации, продажи, налоги (за исключением налога на прибыль), прибыль (убыток) от выбытия и снижения стоимости активов, прибыль от основной деятельности, текущий налог на прибыль, суммарный налог на прибыль, чистая прибыль, прибыль до налогообложения, социальные налоги и отчисления в России и за рубежом (как две отдельные переменные), экспорт и продажи на международном рынке (за исключением СНГ), экспорт и продажи в странах СНГ, продажи на внутреннем рынке.

Для первой фазы анализа были взяты 6 основных «налоговых» переменных: налоги, текущий налог на прибыль, суммарный налог на прибыль, социальные налоги и отчисления в России и эти же налоги за рубежом. Остальные переменные были объединены в группу экономических показателей. Для демонстрации также были отобраны 8 предприятий, объединенных в три группы: группа p (,,), группа s (,,,) и отдельная компания vik. К сожалению, автор не уточняет, по какому принципу были разделены предприятия-налогоплательщики.

Суть методы заключена в установлении наличия (либо отсутствия) подобия между временными рядами групп показателей, то есть находится схожесть временного ряда налогового показателя и временного ряда экономического показателя. Для краткости автор назвала данный метод ЭП-НП [15]. На основе таких пар строится граф, в котором где в качестве левой доли выступают экономические показатели, правой доли – налоговые показатели, линией отрезка соединяются показатели с подобными временными рядами, пунктирной линией отражено слабое подобие, а отсутствие отрезка указывает на отсутствие подобия как такого. Для примера, приведен граф для предприятия на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 Граф наличия подобия пар временных рядов пар для предприятия

На рисунке видно, что переменная , выражающая продажи, имеет схожий временной ряд с переменной , выражающий текущий налог на прибыль. Аналогично подобия имеют пары и , прибыль (убыток) от выбытия и снижения стоимости активов и налоги (за исключением налога на прибыль), и , чистая прибыль и текущий налог на прибыль, а также и , чистая прибыль и налог на прибыль. Также слабое подобие имеют переменные и , то есть продажи и прибыль (убыток) от выбытия и снижения стоимости активов. Для любого предприятия «степень подобия» высчитывается по формуле, представленной ниже:

где γ – множество предприятий {p1,p2,p3,s1,s2,s3,s4},

- множество ребер двудольного графа,

Множество ребер двудольного графа в свою очередь высчитывается:

где – множество вершин экономических показателей,

– множество вершин налоговых показателей,

а – множество ребер графа, в случае если бы граф был полным, т.е.:

В приведенной статье [15] были найдены данные показатели только для 5 предприятий: всех 4 из группы s и p1. Данные расчеты представлены в табл.1.4.

Таблица 1.4. Расчет показателей для предприятия p1 и группы предприятий s

Предприятие

p1

5

70

0,071

s1

5

70

0,071

s2

5

70

0,071

s3

8

70

0,114

s4

4

70

0,057

На базе метода ЭП-НП налоговая служба или другой орган могут создать базовые, эталонные графы и высчитать допустимые значения , а значительные отклонения показателя могут служить сигналом для проведения дополнительных проверок. Это касалось групп предприятий p и s, но данный метод слегка отличается по своему применению для предприятия типа vik. Для данной группы выделяются существенное отличие: все 119 показателей компании можно разбить 12 групп, в которых каждый показатель имеет либо сильное, либо слабое подобие. Иными словами, двудольный граф является полным, однако его лучше всего представить в виде матрицы подобия. Пересечение строки и столбца образуют пару с определенным подобием, черный цвет обозначает сильное подобие, серый – слабое подобие. Главная диагональ выделяется белыми клетками. В большинстве случаев, группы имеют отношение сильного и слабого подобия в соотношении 50/50.

Данный метод решает проблему коротких временных рядов, его преимуществом также является и то, что он применяется для расчета экономических и финансовых показателей, что важно именно для данной работы, однако для применения метода необходима статистика большого числа предприятий для выявления эталонного показателя, что неприменимо в случае выборки только одного предприятия.

1.3. Метод внешне несвязанных регрессий

Данный метод чаще всего называют его английской аббревиатурой SUR. Данный подход был предложен еще в 1968 году, но активно применяется до сих пор. Его название говорит само за себя – в своей основе метод имеет систему уравнений, которые, на первый взгляд, никак не связаны между собой, однако случайные ошибки всех уравнений системы коррелированы между собой [16].