Пример 1: Найти графически корни уравнения: , где

Решение:

Первый способ: так как всегда положительно, а тоже положительно при х>0, то данное уравнение не имеет положительных корней.

Вычислим значение функции для нескольких отрицательных значений х:

То есть при х<х₄ разность остается отрицательной, следовательно, ось ОХ мы не пересекаем, и наш искомый корень принадлежит интервалу (0;-1,18), так как в этом интервале функция меняет знак.

Точка пересечения графика с осью абсцисс определяет приближенное значение корня

В торой способ: уравнение записываем в виде . Как и ранее, графики функций в левой и правой части строим по точкам. Построение следует вести более точно около точки пересечения:

Пример 2: Вычислить с точностью до 0,01 корень уравнения =x³-2x²-4x-7=0 на промежутке (3,4)

Решение:

1)Используем метод касательных:

Так как = -10 , = 9 (то есть знаки на концах промежутка различные), то на этом промежутке наша функция пересекает ось ОХ.

Вычислим первую и вторую производные функции:

=3x²-4x-4; =6x-4,

так как значение обеих производных на (3,4) положительно, то касательную проводим в точке b=4.

Так как >0, то .

=1,03; =21,9;

х₂=

Очевидно, что дальнейшие вычисления не повлияют на цифру сотен:

Итак, с точностью большей заданной, х=3,63.

2) Используем метод хорд:

Так как = -10 , = 9 (то есть знаки на концах промежутка различные), то на этом промежутке наша функция пересекает ось ОХ.

>0 на (3,4), следовательно: ;

Следовательно, х₂(3,53;4)

<0

х₃(3,62;4)

.

Так как х₄ отличается от х₃ меньше чем на 0,01, значит х₃ и есть искомое приближение.

Для проверки: =0,17>0 =-0,04<0.

Задачи

Пользуясь любым из известных методов, определить с точностью до 0,001 корни следующих уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Приложения теории рядов.

Понятие о целях представления сложных для вычислений функций, о точном вычислении «неберущихся» интегралов, о раскрытии неопределенностей, о вычислениях высокоточных значений сложных функций с помощью «карандаша, бумаги и головы», о составлении высокоточных таблиц логарифмов и тригонометрических функций.

Пример: Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение: Для нахождения ряда Маклорена вычисляем значения функции , где n-натуральное число) и ее производные при х=0:

,

,

,

,

Отсюда видно, что:

Подставляем эти значения в ряд Маклорена:

Получаем:

Найдем радиус сходимости этого ряда:

;

. Следовательно, ряд сходится в интервале (-1,1).

Пример 2: Вычислить с точностью до 0,01.

Решение: Данный интеграл не выражается в конечном виде через элементарные функции. Разложим его подинтегральную функцию в степенной ряд по формуле:

Заменим х на (–х)²:

Отсюда:

=

Вычисляя члены этого ряда с точностью до 0,001, замечаем, что уже шестой член по абсолютной величине <0,001, значит, надо взять сумму первых пяти членов, что обеспечивает требуемую точность:

Задачи

1. Разложить в ряд Маклорена

2. Почленным интегрированием ряда функции написать ряд Маклорена для

3. Вычислить с точностью до 0,001

4. Вычислить с точностью до 0,0001

5. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,0001 интеграл:

6. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,001 интеграл:

7. Вычислить sin 10º с точностью до 0,0001

8. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,01 интеграл:

Найти разложения в ряд Маклорена следующих основных элементарных функций

9.

10.

Приближенное вычисление интегралов. 4 часа

Раздел «приближенное вычисление интегралов», а многие студенты, особенно заочного отделения, лишены возможности закрепить полученный ранее на занятиях материал, следует начинать с полуочевидных и легко запоминающихся формул прямоугольников, трапеции, формул Симпсона, затем перейти к интерполяционным полиномам. Заканчивать занятие желательно примерами вычисления центров тяжести или моментов инерции плоских конструкций усложненной геометрии.

Пример 1: по формулам Симпсона и трапеций вычислить и сравнить результаты с точным значением (0,785398).

Решение: Разбиваем сегмент [a,b] на 10 равных частей:

x₀ = 0,0 y₀=1,0000

x₁ =0,1 y₁=0,9901

x₂ =0,2 y₂=0,9615

x₃ =0,3 y₃=0,9174

x₄ =0,4 y₄=0,8621

x₅ =0,5 y₅=0,8000

x₆ =0,6 y₆=0,7353

x₇ =0,7 y₇=0,6711

x₈ =0,8 y₈=0,6098

x₉ =0,9 y₉=0,5525

x₁₀ =1,0 y₁₀=0,5000

По формуле трапеций:

По формуле Симпсона: берем 5 ординат: n=2,

, т.е. в 40 раз меньше, чем , полученное по формуле трапеций.

Задачи

Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников и трапеций и сравнить результаты, если:

1. , при n=6

2. , при n=8

3. , при n=8

4. , при n=4

5. Выписать формулы для интерполяционного многочлена первой степени.

С помощью формулы Симпсона вычислить следующие интегралы:

6. , при n=4

7. , при n=6

8. , при n=6

9. , при n=8

10. , при n=4

Численное дифференцирование.

В теме «численное интегрирование» желательно выделить приложения к «грубым» оценкам, которые необходимы при приближенных инженерных оценках или вычислениях на стадии эскизного проектирования.

Пример 1: Вычислить приближенно при помощи формул численного дифференцирования.

Решение: Воспользуемся формулой .

Получим: .

Пусть х₀ = 27, тогда h = -1:

Пример 2: Вычислить ln1,05

Решение: возьмем х₀ = 1, h=0,05, тогда:

Задачи

Вычислить при помощи формул численного дифференцирования приближенное значение:

1.

2.

3.

4.

5.

6. cos 606

7.

8.

9.

10. cos 596.