Файл: Контрольная работа по Методам оптимизации.docx

Вариант 5. Проектируется бак-кессон крыла самолета. Он состоит из уголков (26 шт.), гнутиков (14шт.), нервюр (7 шт.), лонжеронов (2 шт.), дополнительных лонжеронов (6 шт.), обшивки (2 шт.).

По ТУ заданы определенные ограничения на веса компонент. Вес уголков, гнутиков, нервюр и дополнительных лонжеронов с запасом в 10 кг не должен превышать общего веса обшивок. Для стапельных работ необходимо, чтобы вес нервюр, дополнительных лонжеронов и гнутиков был не более 20 кг. Вес каркаса одного отсека (две нервюры и один дополнительный лонжерон) должен составлять 10% от веса одной обшивки. Вес основных и дополнительных лонжеронов не может быть менее 30 кг. Необходимо найти согласованные веса всех составляющих так, чтобы общий вес пустого бака-кессона крыла самолета был минимален.

Вариант 6. Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 не должно быть ниже, чем 76, а содержание серы в нем не должно превосходить 0,3%. Для изготовления этого бензина используется смесь из 4 компонентов I, II, III и IV, имеющих разное октановое число и содержание серы:

	I	II	III	IV
Октановое число	68	72	80	80
Содержание серы, %	0,35	0,35	0,3	0,2
Ресурсы, тонн	700	600	500	300
Себестоимость, руб.	40	45	60	90

Составить план получения бензина А-76 с минимальной себестоимостью.

Вариант 7. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона.

В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин А – 2:3:5:2, бензин B – 3:1:2:1 и бензин C – 2:2:1:3.

Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина характеризуется числами: 120 руб., 100 руб. и 150 руб.

Определить план смешения компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.

Вариант 8. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля составляют 0,8 руб., 0,6 руб., 0,4 руб. и 1,0 руб., а единицы веса сплава, соответственно, 2 руб., 3 руб., 4 руб.

Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6% никеля, не менее 50% меди и не более 30% свинца; специальный – не менее 4% никеля, не менее 70% меди, не менее 10% цинка и не более 20% свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограничений.

Производственная мощность предприятия позволяет выпускать не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700 ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса декоративного сплава.

Найти производственный план, обеспечивающий максимальную прибыль.

Задание 10. Транспортная задача

Решить транспортные задачи, заданные матрицами перевозок

Вар.1		В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7
		115	200	60	40	75	50	120
А1	240	2	М	8	11	3	1	5
А2	180	7	4	3	12	5	9	М
А3	90	1	10	5	1	4	6	2
А4	45	4	4	4	4	4	4	4
А5	100	9	6	5	3	2	1	5

Вар.2		В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7
		250	40	100	170	80	100	65
А1	35	2	5	8	11	3	1	5
А2	60	7	4	3	12	5	9	8
А3	120	1	10	5	1	4	6	2
А4	250	4	4	4	М	4	4	4
А5	180	9	6	5	3	2	1	5

Учесть, что по маршруту 3-7 должно быть перевезено ровно 50 единиц груза

Вар.3		В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7
		30	115	45	80	75	80	120
А1	30	2	М	8	11	3	1	5
А2	100	7	4	3	12	5	9	2
А3	200	1	10	5	1	4	6	2
А4	55	4	4	4	4	4	4	4
А5	175	9	6	5	3	2	1	5

Учесть, что из пункта А1 весь груз должен быть вывезен

Вар.4		В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7
		30	115	45	80	75	80	120
А1	240	2	7	8	11	3	1	5
А2	180	7	М	3	12	5	9	2
А3	90	1	10	5	1	4	6	2
А4	45	4	4	4	4	4	4	4
А5	100	9	6	5	3	2	1	5

Учесть, что из пункта А2 весь груз должен быть вывезен

Литература

Стандарт предприятия: Общие требования и правила оформления дипломных и курсовых проектов (работ). СТП УГТУ-УПИ 1-96. Екатеринбург, 1996.
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.; Высшая школа, 1993. – 335 с.
Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации - М.; Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 432 с
Васильев В.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980. - 518 с.
Габбасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. – Минск: Изд-во БГУ, 1981. -
Дьяконов В. Matlab: учебный курс / В. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001. 560 с.
Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.; Высшая школа, 2005. – 544 с.
Васин В.В., Еремин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа (теория и приложения). Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. – 200 с.
Визильтер Ю.В., Горбацевич В.С. Описание формы объектов на изображениях при помощи гибких структурирующих элементов // Сборник трудов научно-технической конференции «Техническое зрение в системах управления 2011». М.: ИКИ РАН. 2011. С. 162-167.
Горбацевич В.В. Современное линейное программирование (Сборник задач с решениями на MAPLE5). М.: 1999 – 34 с.
Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. Изд. 2-е доп. и перераб. М., «Высш. школа», 1975. 270 с. с ил.
Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2-х т. Т. 1: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 360 с., ил.
Филатов А.Ю. Развитие алгоритмов внутренних точек и их приложение к системам неравенств: Автореф. дис. ... канд. физ.-матем. наук. Иркутск, 2001. 19 с.

Приложение. Рекомендации по использованию EXCEL и MATLAB

П1. Построение графиков

Для построения графика функции y=f(x₁,x₂) могут быть использованы следующие инструменты:

В EXCEL – Мастер диаграмм, подтип Поверхность.

Используя автозаполнение, на листе EXCEL в столбец А и первую строку с выбранным шагом ввести соответственно значения переменных x₁ и x₂, для которых будут вычисляться значения функции.
В ячейку В2 ввести выражение для вычисления функции f(x₁,x₂) в точках $A2, B$1 (знак $ - признак абсолютной адресации, при которой будут зафиксированы первый столбец– перебор значений переменной x₁ и первая строка – перебор значений переменной x₂) и нажать одновременно три клавиши Ctrl, Shift, Enter, поскольку формула используется для обработки массивов. В строке формул должны появиться фигурные скобки.
Выделить ячейку В2 и, протянув маркер заполнения сначала вниз, пробегая все ячейки, заполненные в столбце А. а затем вправо, пробегая все ячейки, заполненные в строке 1, заполнить массив значений функции в узловых точках области построения графика.
На вкладке Стандартные Мастера диаграмм выбрать Поверхность. Поверхностная диаграмма дает 3-мерное изображение функции, а Контурная диаграмма представляет вид сверху на поверхностную диаграмму и является аналогом линий уровня исследуемой функции.

В MATLAB – функции plot3, mesh, surf, surfl.

С помощью функции meshgrid получить двумерные массивы координат узловых точек области построения графика: u=a:∆₁:b; v=c: ∆₂:d; [x,y]=meshgrid(u,v);
Задать исследуемую функцию: f= f(х,у);
Применяя указанные выше функции, получить трехмерное изображение: plot3(x,y,f) или mesh(x,y,f), surf(x,y,f), surfl(x,y,f).

П2. Действия с матрицами

Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы Гессе могут быть использованы следующие инструменты MATLAB

λ = eig(a) - функция eig(a) возвращает собственные значения заданной матрицы a. Пример задания матрицы 4х4: a = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] .
[v,d] = eig(a) – при таком обращении функция возвращает собственные векторы v и собственные значения как элементы диагональной матрицы d.