Файл: Finmat.doc

Р е ш е н и е. Современная стоимость аннуитета

A=4 000 × PVIFA_{8% ; 5} = 4 000 × 3,99271=15 970,84 руб.

Будущая (наращенная) стоимость ренты

S = 4 000 × FVIFA_{8% ; 5} = 4 000 × 5,866601 = 23 466,40 руб.

Зная будущую стоимость аннуитета, ставку i, можно найти срок аннуитета. Так, например, преобразовав выражение

,

получим

.

Прологарифмируем это равенство:

.

Отсюда найдем срок аннуитета

.

Пример 11.2. Фирма предполагает создать специальный фонд в размере 200 тыс. руб., для чего будет вносить в банк 50 тыс. руб. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.

Р е ш е н и е. Найдем срок аннуитета

.

Округляем срок кредита до n=3. Тогда через три года наращенная сумма составит

S = 50 × FVIFA_{15% ;3} = 173,625 тыс. руб.

Наращенная сумма меньше 200 тыс. руб. Если фирме нужно создать фонд не менее 200 тыс. руб. за три года, следует увеличить размер рентного платежа.

Из равенства

200 = R× FVIFA_{15% , 3}

находим величину рентного платежа: R = 57,59539 тыс. руб.

11.1. Годовой аннуитет

Начисление процентов m раз в году. Рассмотрим годовую ренту постнумерандо. Проценты начисляются m раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке)

,

где j - номинальная ставка процентов.

Мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель - . Число членов n. Сумма членов этой прогрессии равна наращенной сумме аннуитета.

.

Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета

.

Современная стоимость аннуитета постнумерандо

Современная стоимость аннуитета пренумерандо:

.

Между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо существует следующая зависимость:

.

p - срочная рента. Рента называется р-срочной, если рентные платежи вносятся несколько раз (p раз) в году. Найдем наращенную сумму S p-срочной ренты постнумерандо при начислении процентов один раз в году. Общее число членов ренты равно np. Ряд членов ренты с начисленными процентами представляют собой геометрическую прогрессию. Первый ее член равен R/p, а знаменатель (1+i)^1/p.

Тогда

Наращенная сумма p-срочной ренты пренумерандо

При начислении рентных платежей p раз в году с начислением процентов m раз в году при условии p¹m,

если p = m; то

где R - сумма рентных платежей за год.

Современная стоимость аннуитета постнумерандо

Расчет современной величины p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году при условии p¹m находится по формуле

если p=m,

Современная стоимость p-срочной ренты пренумерандо

.

Непрерывное начисление процентов. Рентные платежи вносятся один раз в год, в конце года. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начисленными непрерывными процентами. Получим:

.

Просуммировав члены этой прогрессии, мы найдем наращенную сумму:

Для ренты постнумерандо

для ренты пренумерандо

.

для p-срочной ренты

---

Современную стоимость:

ренты постнумерандо

.

ренты пренумерано

.

p-срочной ренты

Вечная рента (бессрочный аннуитет). Рассмотрим случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, то есть она является вечной рентой. Примером вечной ренты является выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 лет и более.

Пусть А - это долг, который нужно погасить за бесконечное число лет при существующей процентной ставке i. Тогда

.

Таким образом, величина годового платежа

.

Если вы взяли в долг 10 000 руб. под 10% годовых с условием, что его погашать не будете, а будете выплачивать рентные платежи в течение большого периода времени, то ежегодно вам придется платить 10 000 × 0,1= 1 000 руб.

Пример 11.3. Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 400 руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 10% годовых.

Р е ш е н и е. Текущая стоимость аннуитета составит:

A=R/i = 400/0,1= 4 000 руб.

Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 4000 руб., он представляет собой выгодную инвестицию.

Для общего случая ренты, когда число рентных платежей p>1, современная стоимость

,

если p = m, то

.

Пример 11.4. Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере 20 руб. дважды в год - в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму, подлежащую выплате на каждую облигацию

Р е ш е н и е. Сумма, подлежащая выплате, равна современной стоимости бессрочного займа:

руб.

Отложенная рента. Рассмотрим расчет современной величины для отложенных рент, то есть таких, срок реализации которых откладывается на время, указанное в контракте.

Современная стоимость отложенной ренты является дисконтированной величиной современной стоимости немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке. Период отсрочки выплаты рентных платежей и процентная ставка служат основанием для определения величины дисконтного множителя.

Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:

A_t = A×n^t ,

где A_t - современная величина отложенной ренты; А - современная величина немедленной ренты; n^t = - дисконтный множитель за t лет.

Пример 11.5. Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 25 тыс. руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.

---

Р е ш е н и е. Современная стоимость немедленной ренты

A=R×PVIFA_{10% ; 3} = 25×2,4868520 = 62,17130 тыс. руб.

Современная стоимость отложенной ренты

A_t = A× тыс. руб.

Выигрыш заказчика

62,17130 – 51,38124 = 10,79006 тыс. руб.

11.2. Конверсия финансовых рент

На практике может возникнуть ситуация, когда один из партнеров, участвующих в сделке, предлагает изменить условия оплаты: разовый платеж заменить на рентные платежи или, наоборот. К более сложным случаям относятся: объединение рент в одну - консолидация рент; замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями, например немедленной ренты на отложенную и т.д. Все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий, то ее необходимо основывать на принципе финансовой эквивалентности.

Платежи считаются эквивалентными, если, будучи приведены к одному моменту, они будут иметь одинаковую стоимость.

Рассмотрим некоторые случаи конверсии.

1. Выкуп ренты. Аннуитет с параметрами R, i, n заменяют разовым платежом. Решение проблемы простое. Размер выкупа должен быть равен современной стоимости ренты

A=R × PVIFA_{i , n} .

2. Задача обратная выкупу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму, то задолженность можно погашать частями - в рассрочку.

Величина отдельного платежа равна

R = A/PVIFA_{i ,n} ,

где А - величина долга.

Величина 1/PVIFA_{i ,n} называется коэффициентом рассрочки.

3. Изменение продолжительности ренты. При замене обычной годовой ренты на новую с изменением срока ренты необходимо определить размер нового рентного платежа. Уравнение эквивалентности имеет вид:

.

Тогда величина рентного платежа новой ренты составит:

.

Пример 11.6. Первоначальный аннуитет имеет параметры R₁=2 тыс. руб., i=9%, n₁=5 лет. Он заменяется на ренту с параметрами R₂, i = 9%, n₂ = 8 лет. Найти R₂ .

Р е ш е н и е. Размер нового рентного платежа

тыс. руб.

4. Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется аннуитет с параметрами R, i, n₁ . Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Мы будем иметь новую ренту с параметрами R₂, i, n₂ (t не входит в срок ренты). Запишем уравнение эквивалентности:

.

Отсюда

.

Если n₁ = n₂ , то

.

Пример 11.7. Пусть немедленная рента постнумерандо с ежегодным платежом R₁ = 2 тыс. руб. , i = 9% откладывается на два года без изменения срока самой ренты. Как изменится размер ежегодного платежа?

Р е ш е н и е. Размер ежегодного платежа

R₂ = 2 × 1,09² = 2,3762 тыс. руб.

Если же срок первоначальной ренты n₁ =5 увеличить на один год (n₂=6), то размер ежегодного платежа составит:

тыс. руб.

Рассмотрим еще один вариант. Аннуитет с параметрами откладывают на лет, член ренты остается без изменения, срок ренты меняется, причем Нужно найти срок новой ренты .

Составляем уравнение эквивалентности:

.

Отсюда

.

Решая это уравнение относительно , найдем срок новой ренты:

---

.

Пример 11.8. Рента с параметрами R=2 тыс. руб., n₁=5 лет, i=9% откладывается на два года без изменения размера ежегодного платежа. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат.

Р е ш е н и е. По последней формуле найдем n₂:

года.

Продолжительность новой ренты (без учета отсрочки) шесть лет. Современная стоимость такой ренты

тыс. руб.

Современная стоимость заменяемой ренты

тыс. руб.

Разность в сумме 0,22788 тыс. руб. следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент.

11.3. Консолидация рент

Консолидация рент - объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности. Современная величина вновь образованной консолидированной ренты А должна быть равна сумме современных величин объединяемых рент А_k, . Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и p-срочными и т. д.

Если объединяются годовые ренты, то легко можно найти размер годового платежа объединенного аннуитета из равенств:

.

Отсюда размер годового платежа объединенного аннуитета

.

Пример 11.9. Объединяются три аннуитета с параметрами:

R₁=1 000; n₁=10; i₁= 0,06;

R₂= 500; n₂=8; i₂= 0,05;

R₃=2 000; n₃=12; i₃= 0,05.

Требуется заменить эти три ренты аннуитетом с параметрами n = 10; i = 0,06. Определить размер годового платежа.

Р е ш е н и е. Находим современные стоимости А₁, А₂, А₃ трех рент:

A₁ = R₁ ×PVIFA_{6%, 10} = 1 000×7,3600871 = 7 360,0871 руб.;

A₂ = R₂ ×PVIFA_{5%, 8} = 500×6,4632128 = 3 231,6064 руб.;

A₃ = R₃ ×PVIFA_{5%, 12} = 2 000×8,8632516 = 17 726,5032 руб.

Современная стоимость объединенного аннуитета:

A = A₁ + A₂ + A₃ = 28 318,1967 руб.

Теперь найдем размер годового платежа объединенного аннуитета:

R = A/PVIFA_{6%, 10} = 28 318,1967 / 7,3600871 = 3 847,5355 руб.

Какой вариант выгоднее?

Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Семья хочет накопить 12000 долл. на машину, вкладывая в банк 1000 долл. ежегодно. Годовая ставка процентов в банке 7 %. Как долго ей придется копить?

2. Заем был взят под 16 % годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6 % годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть размер выплаты?

3. Годовая ставка простых процентов равна 12,5 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

4. Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пусть сложные проценты за k-й год равны i_k . Найдите наращенную сумму через n лет.

5. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи:

1) 5000 долл. немедленно, и затем 1000 долл. в течение 5 лет.

2) 8000 долл. немедленно и по 300 долл. в течение 5 лет.

Какой вариант выгоднее при годовой ставке 10 %?

Вариант 2

1. Обоснуйте решение, что выгоднее купить оборудование стоимостью 20000 долл. или арендовать его на 8 лет с ежегодным арендным платежом 3000 долл., если ставка процентов 6 %, а норматив доходности 15 %.

2. Семья хочет через 6 лет купить дачу за 12000 долл. Какую сумму (равномерно) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на счет в банке, если годовая ставка 8 %.

3. Покупатель предложил два варианта расчета при покупке квартиры:

---

1. 5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение 5 лет.

2. 8000 долл. немедленно и затем по 300 долл. в течение 5 лет.

Какой вариант выгоднее при годовой ставке процентов - 5 % ?

4. Наращение простых процентов за k-й год равны i_k. Найдите наращенную сумму через n лет.

5. Годовая ставка сложных процентов равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится.

Вариант 3

1. Каким должен быть платеж конечной годовой ренты длительностью 8 лет, чтобы ее современная величина была 16000 руб. при ставке 10 % годовых.

2. Сын в банке имел на счете 50000 руб., на которые ежемесячно начислялись 0,8 %. Сын уехал в командировку за границу, доверив отцу за 10 лет истратить весь его счет. Сколько будет получать в месяц отец?

3. Какая сумма предпочтительней при ставке 6 %: 1000 долл. сегодня или 2000 долл. через 8 лет.

4. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом 1000 долл. на ренту с полугодовым платежом по 600 долл. Годовая ставка процентов 8 %. Определить период ренты.

5. Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая?

Вариант 4

1. Замените 10-тилетнюю годовую ренту с годовым платежом 600 долл. на семилетнюю. Ставка 8 % в год.

2. Найдите несколько сумм в прошлом и будущем, эквивалентных сумме 1000 ед. в момент 0 при ставке 8 % годовых.

3. В ходе судебного заседания выяснилось, что по вине Пенсионного фонда г.N в течение 10 лет недоплачивали 100 руб. пенсии ежемесячно. Суд обязал фонд выплатить всю задолженность с процентами (12 % годовых). Какова сумма выплаты.

4. Счет "СБ 100" в сбербанке обещает 2,9 % за 100 дней. Сколько это составит годовых?

5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г.N недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму заплатит г.N?

Вариант 5

1. По договору зафиксирован платеж через 3 года в размере 1000 ед. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно:

а) тому, кому будут платить;

б) тому, кто будет платить.

2. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру 500 долл. в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4 % годовых (проценты сложные). Сколько накопится на счете через 5 лет.

3. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12 % реальная ставка оказалась 6 %.

4. Каждые полгода на банковский счет писателя издательство перечисляет 2000 руб., на которые банк начисляет каждые полгода 7 % годовых (проценты сложные). Сколько будет на счете через 4 года.

5. Покупатель предложил два варианта расчета при покупке квартиры при годовой ставке - 5 %:

1. 5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение 5 лет.

2. 8000 долл. немедленно и затем по 300 долл. в течение 5 лет.

Какой вариант выгоднее?

РАЗДЕЛ II. Практические приложения

количественного финансового анализа

---