Файл: metodichka_z_YeMM.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторних робіт з курсу

“Економіко-математичні моделі та методи”, частина 1 (економетрика)

для студентів базових напрямів 6.030503 «Міжнародна економіка», 6.030504 «Економіка підприємств», 6.030507 «Маркетинг», 6.030508 «Фінанси і кредит», 6.030509 «Облік і аудит»

стаціонарної форми навчання

Затверджено

на засіданні кафедри

маркетингу і логістики

Протокол № 1 від 22.08.2011 р.

Львів – 2011

---

Лабораторна РОБОТА №1

Побудова моделі міжгалузевого балансу

І. Загальні положення

Кожна економіка розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв’язків. Зрозуміти вплив однієї галузі на іншу шляхом простого сумування неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але й здійснює непрямий вплив і на металургію - виробника сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, які пов’язані з виробництвом шин і інших комплектуючих, а також і на галузі, які виробляють радіоприймачі, кондиціонери тощо. Способи аналізу, які розроблені для вирішення проблем взаємних зв’язків, необхідні для формування економічних планів, які послідовно пов’язували б змінні макрорівня з змінними мікрорівня. Метод міжгалузевого аналізу, який ще називають аналізом витрати-випуск, що розробив економіст В.В. Леонтьєв, дозволяє дати послідовні і чисельно визначені відповіді на питання, пов’язані з міжгалузевими взаємодіями і їх впливом на основні макроекономічні показники.

IІ. Теоретичні відомості

В економіці зв’язок між цілями і засобами встановлено таким чином

,

де засіб (ціль нижчого рівня) є незалежною змінною, мета (ціль вищого рівня) - залежною. В міжгалузевому аналізі прийнято обернене відношення:

.

З точки зору математики міжгалузевий аналіз базується на використанні статистичних таблиць, які називаються “міжгалузевими”, що відтворюють динаміку економіки протягом року і свідчать про зв’язок між галузями.

Припустимо, що весь суспільний продукт в певний період часу виробляється n галузями. Позначимо - обсяг випуску продукції і-ої галузі; - обсяг продукції і-ої галузі, що використовується в j-ій (міжгалузеві поставки); - обсяг продукції і-тої галузі, що не йде у виробництво, а йде на споживання. Ця величина складає кінцевий продукт і-ої галузі. Таблиця міжгалузевого балансу матиме вигляд:

Таблиця 1.1

Таблиця міжгалузевого балансу

Сектори пропозиції (галузі-продавці)	Обсяг випуску	Сектори попиту (галузі-покупці)						Кінцевий попит
		1	2	…	j	…	n
1				…		…
проміжний попит 2				…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
і				…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n				…		…
Додана вартість (чистий продукт)				…		…
Обсяг випуску				…		…

В табл. 1.1 в кожній стрічці подано розподіл кожного виду продукції. Кожна стрічка характеризується балансом виду:

---

Випуск даного виду продукції = Проміжний попит + Кінцевий попит

Математично:

(1.1)

Проміжний попит - це частина загального попиту, що використовується іншими галузями для своїх потреб. Кінцевий попит - частина попиту, який представляє собою закупки кінцевих продуктів - споживчих чи інвестиційних.

Стовпці таблиці показують структуру витрат або структуру використовуваних ресурсів, які необхідні для кожної галузі. Для стовпців теж встановлюється баланс:

Витрати галузі = Проміжні витрати + Додана вартість

Математично:

(1.2)

Проміжні витрати представляють собою вихідні матеріали, які закупила галузь у секторів 1,2,3 і т.д. Додана вартість - це факторні витрати галузі, тобто новостворена вартість, яка поділяється на дохід тих, хто працює по найму (заробітну плату), амортизаційні відрахування і підприємницький дохід (прибуток).

Для стрічок і стовпців таблиці міжгалузевого балансу мають місце тотожності:

(1.3)

Таблиця міжгалузевого балансу дозволяє вивчати структуру потоків ресурсів, однак для розуміння функціонування економіки, необхідно побудувати таблиці коефіцієнтів прямих витрат і коефіцієнтів повних витрат.

Коефіцієнти прямих витрат ( ) - це кількість продукції і-ої галузі, яка необхідна для виготовлення одиниці продукції j-тої галузі.

Очевидно, що

(1.4)

Підставивши в (1.1) , отримуємо

(1.5)

Або у вигляді системи рівнянь

(1.6)

В векторному виді це рівняння набуде такого вигляду

. (1.7)

Таким чином отримали модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.

Отже, можна поставити центральне питання міжгалузевого балансу - як зміниться обсяг випуску галузі , якщо при фіксованому значенні коефіцієнта прямих витрат а_ij значення зміниться на , тобто для кожної галузі допускається існування виробничої функції з незмінним ефектом масштабу (витрати прямо пропорційні випуску) і з відсутністю взаємозаміни ресурсів (співвідношення затрат ресурсів фіксоване і не залежить від рівня випуску).

Щоб відповісти на поставлене питання, необхідно знайти значення х₁, х₂, …….х_n системи лінійних рівнянь

. (1.8)

В векторному виді це рівняння набуде такого вигляду

. (1.9)

Матриця коефіцієнтів прямих витрат А - невід’ємна квадратична матриця. Можна стверджувати, що для довільного додатного вектора кінцевого попиту F дане векторне рівняння має додатній розв’язок, який визначається так:

, (1.10)

де Е - одинична матриця розмірності n. Матриця В = (Е - А)^-1 називається оберненою матрицею Леонтьєва або мультиплікатором Леонтьєва. Обернена матриця Леонтьєва В - це матриця коефіцієнтів повних витрат. Економічний сенс полягає в твердженні: елементи матриці В b_ij показують потребу в валовому випуску продукції галузі і для виробництва одиниці кінцевої продукції галузі j. Значення b_ij складаються із коефіцієнтів прямих і непрямих витрат та їх можна визначити за формулою

---

(1.11)

Непрямі витрати – це витрати продукції і-ої галузі в усіх галузях, що поставляють свою продукцію в j-ту галузь. Таким чином, В - це мультиплікатор, який показує ефект розповсюдження попиту, початковим джерелом якого є попит на кінцеву продукцію.

ІІІ. Завдання

За даними табл. 1.2 необхідно визначити:

Таблиця 1.2

Вихідні дані

Сектори пропозиції (галузі-продавці)	Сектори попиту (галузі-покупці)				Кінцевий попит
	1	2	3	4
1	0,07	0,17	0,01∙р	0,06	230+р
2	0,26	0,06	0,011	0,15	315
3	0,14	0,01∙р	0,08	0,16	119+р
4	0,21	0,07	0,16	0,12	100+р

р – номер варіанту, який відповідає порядковому номеру в академічній групі.

• валовий обсяг випуску кожної галузі;

• міжгалузеві поставки;

• обсяг чистого продукту кожної галузі;

• коефіцієнти повних витрат

Як зміниться обсяг випуску продукції галузей , якщо при фіксованих коефіцієнтах прямих витрат значення зміниться на 8% ( - для студентів 1-ї групи потоку, - для студентів 2-ї групи тощо). Результати розрахунків подати у таблиці міжгалузевого балансу.

Лабораторна РОБОТА №2

ПОБУДОВА ЛІНІЙНОЇ економетричної МОДЕЛІ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ЇЇ АДЕКВАТНОСТІ

І. Загальні положення

Розвиток та широке застосування обчислювальної техніки сприяє виявленню закономірностей, зв'язку та динаміки реальних соціально-економічних явищ в економічному просторі. Економіко-математичні моделі, побудовані на основі статистичних рядів, мають не тільки пізнавальну, а й практичну цінність у прогнозуванні, плануванні, управлінні тощо.

ІІ. Теоретичні відомості

Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На показник можуть впливати багато факторів, рівень впливу яких різний. Ці закономірності необхідно враховувати під час планування, прогнозування і проведення економічного аналізу.

Серед парних регресій найбільш поширеною і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія.

Парні лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними. При цьому одна із змінних вважається залежною змінною (у) та розглядається як функція від незалежної змінної (х). У загальному вигляді проста лінійна регресійна модель записується наступним чином

(2.1)

де u – випадкові відхилення (залишки).

Для того, щоб мати явний вигляд залежності (2.1), необхідно знайти (оцінити) невідомі параметри .

(2.2)

Для побудови економетричної моделі використаємо метод найменших квадратів (МНК). МНК полягає у наступному: теоретична лінія повинна перебувати на оптимальній віддалі від фактичних значень. Математично

. (2.3)

де - параметри прямої.

Необхідною умовою існування мінімуму є рівність нулю часткових похідних функціоналу Q по

. (2.4)

Розкриємо дужки і отримаємо систему нормальних рівнянь

---

. (2.5)

Невироджена система нормальних рівнянь має єдиний розв'язок, який можна знайти також за формулою

, (2.6)

де - вектор параметрів моделі;

- матриця статистичних даних факторної ознаки;

- вектор статистичних даних результуючої ознаки.

Щільність зв'язку між факторною і результативною ознаками можна знайти за допомогою коефіцієнта кореляції

(2.7)

та коефіцієнта детермінації

, (2.8)

де - середнє значення відповідно ;

- фактичні значення і-го спостереження;

- теоретичні значення і-го спостереження.

Якщо , то щільність зв'язку велика, коли - зв'язок відсутній. Якщо , то можна зробити висновки, що зв'язок щільний.

Відповідь на питання про адекватність побудованої моделі може дати критерій Фішера (F-критерій).

Для цього розраховується величина F

(2.9)

де - ступені вільності;

m – кількість незалежних змінних;

n - кількість спостережень.

За статистичними таблицями F-розподілу з ступенями вільності k₁ та k₂ при заданому рівні ймовірності знаходимо значення . Якщо , то побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності. В протилежному випадку необхідно визначитися:

• чи достатня статистична база;

• чи вірно обрана модель для опису економічного процесу

та провести коректування моделі.

Якщо встановлено, що із заданою ймовірністю економетрична модель адекватна спостережувальним даним і соціально-економічні умови за період прогнозування змінюються за закономірностями, що мають місце і в базовому періоді, то точкова оцінка прогнозу знаходиться за формулою

. (2.10)

Важливо також знайти інтервали довіри. Інтервали довіри – це інтервали, у які з певною заданою ймовірністю потрапляє дійсне значення залежної змінної. Такий інтервал довіри для прогнозного значення знаходимо за формулою

, (2.11)

де

. (2.12)

(2.13)

Для оцінки еластичності результуючої ознаки при будь-якому значенні факторної ознаки використовується коефіцієнт еластичності

(2.14)

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.

ІІІ. Завдання

За даними табл. 2.1 з ймовірністю 0,95 необхідно:

Таблиця 2.1

Статистичні дані

№ спостереження	Доходи підприємства, млн. грн. (у)	Витрати на оплату праці, млн. грн. (х)
	10,89	2,17+0,01·р
	11,92	2,90
	12,45+0,01·р	3,29
	11,27	4,13
	14,12	5,25+0,01·р
	15,23	4,92
	16,07+0,01·р	5,79
	17,40	5,87
	18,61	6,99+0,01·р
	18,94	6,24
	17,55	6,87
	19,44+0,01·р	7,11
	20,14	7,52+0,01·р
	21,69	7,24
	20,78+0,01·р	7,86
	-	8,12+0,01·р

---