Файл: metodichka_z_YeMM.doc

1. побудувати однофакторну модель виду ;

2. перевірити істотність зв'язку між факторами за допомогою коефіцієнта кореляції і коефіцієнта детермінації;

3. оцінити надійність моделі за допомогою критерію Фішера;

4. знайти прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;

5. визначити коефіцієнт еластичності в точці прогнозу;

6. навести графічну інтерпретацію моделі.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3

ВИРОБНИЧА РЕГРЕСІЯ

І. Загальні положення

Явище, яке залежить від багатьох факторів, можна описати за допомогою множинної регресії. Дослідивши взаємозв'язок процесів у минулому і отримавши функціональний зв'язок між ними, можна з деякою вірогідністю планувати майбутнє.

ІІ. Теоретичні відомості

У загальному вигляді виробнича регресія може бути записана:

(3.1)

У сфері виробництва при аналізі кількісного співвідношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати обсяг виробленої продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції тощо. Факторами цих показників можуть бути робоча сила, основні засоби або капітал, земля, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки тощо.

У більш вузькому смислі під виробничою регресією розуміють залежність між обсягом виробництва і величиною різних виробничих ресурсів. Обсяг виробленої продукції залежить від двох факторів: чисельності робочої сили та основних засобів (капіталу) даної галузі :

(3.2)

Будемо вважати, що виробнича регресія неперервна і двічі диференційована. Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези:

1) якщо збільшується один з факторів або при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується. Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни одного з факторів , математично виражається як частинна похідна по цьому фактору:

; (3.3)

2) приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів (приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю);

3) Виробнича функція є однорідною функцією відносно факторів , з показником однорідності а. Це означає, що при односторонньому збільшенні значень факторів у разів ( ), обсяг виробленої продукції збільшиться у разів:

(3.4)

Згідно з теоремою Ейлера для виробничої регресії є справедливою тотожність:

; (3.5)

4) на лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.

На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа

, (3.6)

де y – обсяг випуску продукції; - чисельність робочої сили; - основний капітал.

Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:

. (3.7)

---

Заміна . Отримаємо

. (3.8)

Використовуючи метод найменших квадратів, отримаємо систему нормальних рівнянь

, (3.9)

розв'язки якої можна знайти за формулою

, (3.10)

де - вектор параметрів моделі;

- матриця статистичних даних факторної ознаки;

- вектор статистичних даних результуючої ознаки.

Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів і виконується

. (3.11)

Адекватність моделі статистичним даним генеральної сукупності можна перевірити за допомогою критерію Фішера

(3.12)

де k₁, k₂ – ступені вільності,

Якщо математична модель адекватна експериментальним даним, то її можна застосовувати для аналізу господарської діяльності підприємства.

Важливе значення для аналізу мають частинні коефіцієнти еластичності. Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів.

Частинний коефіцієнт еластичності для фактора обчислюється за формулою

(3.13)

Для виробничої регресії Кобба-Дугласа отримаємо

. (3.14)

Тобто, параметр є частинним коефіцієнтом еластичності y при зміні фактора виробничої регресії і показує, що показник у змінюється на відсотків, якщо фактор змінюється на 1% при незмінних значеннях фактора . Оскільки коефіцієнт еластичності додатній, то збільшення фактора викликає збільшення показника. Аналогічно отримаємо для .

Важливе значення також має сумарний коефіцієнт еластичності. Припустимо, що у деякий момент часу фактори і показник мали значення . Після збільшення факторів у разів отримаємо

. (3.15)

У даному випадку показник однорідності . Цей показник називають загальним (сумарним) коефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул можна зробити висновки:

1) якщо а=1, то при збільшенні факторів в разів обсяг виробництва зміниться в стільки ж разів;

2) якщо а>1, то збільшення факторів в разів викличе збільшення обсягу в разів. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва;

3) якщо а<1, то збільшення факторів в разів викличе збільшення обсягу виробництва в разів. В цьому випадку зростають витрати на одиницю продукції.

Геометрично виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тривимірному просторі з координатами . Для виробничої регресії геометричне місце точок (різні комбінації факторів), для яких показник обсягу виробництва продукції залишається сталим, називається ізоквантою. Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів через інший фактор і стале значення показника регресії ( ):

. (3.16)

Позначимо сталу , то отримаємо

---

. (3.17)

Графічно

Рис. 3.1. Ізокванти виробничої функції

Точкову оцінку прогнозу знайдемо за формулою

. (3.18)

Інтервал довіри знаходять спочатку для лінійної регресії, а потім шляхом потенціювання – для нелінійної регресії

, (3.19)

, (3.20)

, (3.21)

де t – значення t-критерію при ймовірності р і n-m-1 ступенях вільності;

- середньоквадратичне відхилення залишків;

- вектор прогнозних значень.

ІІІ. Завдання

За даними табл. 3.1 з ймовірністю 0,95, використовуючи метод найменших квадратів, необхідно:

Таблиця 3.1

Статистичні дані

Працезатрати (x1), у.г.о.	Основні засоби (x2), у.г.о.	Обсяг виготовленої продукції (y), у.г.о.
30.1	50.1+ 0.1∙p	78.2
30.6+ 0.1∙p	53.5	82.5
33.7	53.1	83.8+ 0.1∙p
35.1+ 0.1∙p	56.5	86.7
36.4	54.1	87.0
39.4	58.2	92.8
41.8	55.1	91.5+ 0.1∙p
40.3+ 0.1∙p	57.2	95.3
44.2	56.1	94.7
46.0	55.1+ 0.1∙p	92.7+ 0.1∙p
47.8	57.1	99.5
49.5	58.7	102.9
49.7	58.1	102.6
49.9+ 0.1∙p	58.1	-

1. оцінити параметри виробничої регресії Кобба-Дугласа, що має вигляд

;

2. оцінити адекватність побудованої моделі статистичним даним генеральної сукупності за допомогою критерію Фішера;

3. визначити частинні коефіцієнти еластичності та сумарний коефіцієнт еластичності;

4. визначити прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;

5. побудувати ізокванти при у=у₃ та у=у₁₀.

---

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №4

Побудова лінійної Багатофакторної моделі та

дослідження її адекватності

І. Загальні положення

Економічні явища змінюються під впливом багатьох факторів, які треба вміти виявити та оцінити. Наприклад, на обсяги збуту впливає якість продукції, ціна, імідж торгової марки, витрати на рекламу, доходи населення тощо. Багатофакторний регресійний аналіз допомагає знайти явний вигляд такої залежності та кількісно оцінити вплив різних факторів на досліджуваний процес.

ІІ. Теоретичні відомості

При побудові регресійного рівняння, де результуючий показник залежить від багатьох факторних ознак, слід включати в регресію всі фактори, які мають суттєвий вплив на показник y, а з другого боку необхідно визначати, чи виконується умова лінійної незалежності між факторами x₁, x₂,......,x_n. Якщо між факторними ознаками існує лінійна залежність Х_і=aХ_j, то говорять про те, що між цими факторами існує мультиколінеарність.

Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної залежності або сильної кореляції між двома або більше пояснювальними змінними. Вона негативно впливає на кількісні характеристики економетричної моделі або робить її побудову взагалі неможливою.

Так як застосування методу найменших квадратів для оцінки параметрів регресійної залежності можливе лише при відсутності лінійної залежності між факторними величинами, то необхідно позбавитись цього явища. Це пов'язано з тим, що якщо має місце явище мультиколінеарності, тобто умова det[[X]^T[Х]]  0 не виконується, неможливо отримати надійні оцінки параметрів МНК, тобто незначні зміни вибіркових даних приводять до значних змін оцінки параметрів.

В економетричних задачах для дослідження наявності мультиколінеарності використовується метод Фаррара-Глобера.

Метод Фаррара-Глобера. Для дослідження загальної мультиколінеарності і мультиколінеарності між окремими факторами використовується кореляційна матриця R і обернена до неї матриця Z.

, , (4.1)

де - коефіцієнт кореляції, R_ij – алгебраїчні доповнення до відповідних елементів матриці R.

Для дослідження загальної мультиколінеарності використовується ². Для цього знаходимо визначник кореляційної матриці R і розраховуємо значення

, (4.2)

де n – кількість вибіркових значень, m – порядок кореляційної матриці, що розглядається (кількість незалежних змінних), det R – визначник матриці R.

За заданою ймовірністю р і числом ступенів вільності знаходимо табличне значення . Якщо , то із прийнятою надійністю можна вважати, що загальна мультиколінеарність відсутня. Якщо , то із прийнятою надійністю можна вважати, що між факторами існує мультиколінеарність. Для з’ясування питання, між якими факторами існує мультиколінеарність, використовується F– або t–статистика.

---

Обчислення F-критеріїв

, (4.3)

де - діагональні елементи Z.

Фактичні значення критеріїв порівнюють з табличними при n-m-1 і m ступенях вільності і заданому рівні значущості . Якщо , то відповідна j-та незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.

Для знаходження t–статистики між двома факторами спочатку знаходимо матрицю обернену до кореляційної, потім частинні коефіцієнти кореляції

, (4.4)

де - елементи матриці Z.

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома змінними за умови, що інші змінні не впливають на цей зв'язок. Для цих частинних коефіцієнтів знаходиться t – статистика

. (4.5)

Для заданої довірчої ймовірності р і ступенів вільності k=n-m-1 знаходиться критичне значення критерію Стьюдента . Якщо , то з надійністю р можна стверджувати, що між факторами х_і і x_j існує мультиколінеарність.

Для усунення мультиколінеарності потрібно замінити фактор x_j на фактор Якщо після заміни фактора має місце мультиколінеарність, то один із факторів виключають з розгляду.

Заміна чи вилучення незалежних змінних завжди має узгоджуватись з економічною доцільністю, що випливає з мети дослідження.

В загальному випадку багатофакторна лінійна регресія має вид

(4.6)

де - параметри моделі;

- незалежні змінні;

u – випадкові величини (відхилення).

Оцінку параметрів знайдемо за допомогою МНК

(4.7)

Згідно з необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних у точках екстремуму частинні похідні дорівнюють нулю. Знаходячи частинні похідні та прирівнюючи їх до нуля, отримаємо

. (4.8)

Розв'язавши таку систему, отримаємо оцінки параметрів .

Оцінки параметрів можна знайти також за формулою

, (4.9)

де - вектор спостережуваних даних показника;

- матриця спостережуваних значень факторів х_і, і=1, m, х₀ – фіктивний фактор, всі значення якого дорівнюють 1;

- вектор оцінюваних параметрів.

Адекватність побудованої моделі статистичним даним генеральної сукупності можна перевірити за допомогою F-критерію (критерію Фішера):

, (4.10)

де - коефіцієнт детермінації;

n – кількість спостережень;

m – незалежних змінних у рівнянні регресії;

- ступені вільності.

, (4.11)

де - фактичні значення показника;

– теоретичні значення показника;

– середнє значення.

За статистичними таблицями з ступенями вільності та рівнем ймовірності Р знаходимо критичне значення F_кр. Якщо F>F_кр, то побудована модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності.

Інтервал довіри знаходять

, (4.12)

, (4.13)

, (4.14)

де t – значення t-критерію при ймовірності р і n-m-1 ступенях вільності;

- середньоквадратичне відхилення залишків;

- матриця спостережуваних значень факторів;

---