Файл: metodichka_z_YeMM.doc

- вектор прогнозних значень.

Важливе значення для аналізу мають частинні коефіцієнти еластичності. Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів.

Частинний коефіцієнт еластичності для фактора обчислюється за формулою

(4.15)

Частинний коефіцієнт еластичності показує, як змінюється показник у, якщо фактор змінюється на 1 % при незмінних значеннях інших факторів. Аналогічно отримаємо для інших факторів.

ІІІ. Завдання

За статистичними даними (табл. 4.1) необхідно:

1. побудувати кореляційну матрицю;

2. використовуючи χ²-критерій з надійністю 0.95 оцінити наявність загальної мультиколінеарності;

3. якщо існує загальна мультиколінеарність, то використовуючи t-статистику з р=0,95 виявити пари факторів, між якими існує мультиколінеарність. Якщо такі пари існують, то один із факторів необхідно вилучити;

4. знайти оцінки параметрів багатофакторної регресії;

5. оцінити щільність зв’язку між результативною і факторними ознаками за допомогою коефіцієнта детермінації;

6. перевірити адекватність побудованої моделі (критерії Фішера);

7. знайти прогнозне значення (y₁₆) та інтервали довіри для прогнозу;

8. визначити частинні коефіцієнти еластичності для прогнозу.

Таблиця 4.1

Статистичні дані

№ спосте-реження	Витрати на маркетинг, тис. грн. (х1)	Інвестиції у виробництво, тис. грн. (х2)	Сукупні витрати, тис. грн. (х3)	Доходи підприємства, тис. грн. (у)
	3,82+0,01·р	10,11	23,20	26,02+0,01·р
	4,49	12,34+0,01·р	24,49	23,1
	4,82	18,61	26,80+0,01·р	48,15
	5,23	15,78	28,25	41,09
	5,77+0,01·р	20,20	30,30	51,62
	5,92	9,56	31,97	28,67+0,01·р
	6,53	22,56+0,01·р	33,93	55,76
	6,57	12,36	35,22+0,01·р	34,11
	7,47	17,98	36,19	47,37
	7,56+0,01·р	15,36	36,87	42,29
	7,97	13,45+0,01·р	38,99	41+0,01·р
	8,3	18,14	40,75+0,01·р	32,06
	8,54	11,34	41,41	35,91
	8,77+0,01·р	10,45	42,96	35,27+0,01·р
	8,9	29,26	43,98+0,01·р	71,33
	9	30+0,01·р	41	-

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5

Визначення гетероскедастичності та АВТОКОРЕЛЯЦІЇ ЗАЛИШКІВ

І. Загальні положення

Передумови застосування МНК, які складають основу класичного регресійного аналізу, на практиці часто порушуються. В таких випадках виникають явища гетероскедастичності та автокореляції. Ці явища призводять до неадекватності побудованої моделі.

ІІ. Теоретичні відомості

Однією із передумов застосування МНК є стала величина дисперсії залишків для всіх спостережень. Така властивість називається гомоскедастичністю.

---

У практичних дослідженнях часто порушується умова гомоскедастичності, тобто існує явище гетероскедастичності. Якщо існує герескедастичність залишків, то це призводить до того, що оцінки параметрів економетричної моделі, знайдені за допомогою методу найменших квадратів, будуть незміщеними, обґрунтованими, але неефективними.

Одним із методів перевірки припущень про наявність гетероскедастичності є метод на основі критерію . Цей метод застосовується тоді, коли вихідна сукупність спостережень досить велика. Розглянемо відповідний алгоритм.

Вихідні дані залежної змінної Y розбиваються на k груп відповідно до зміни рівня величини Y. За кожною групою даних обчислюється сума квадратів відхилень ( )

. (5.1)

Визначається сума квадратів відхилень загалом по всій сукупності спостережень

(5.2)

Обчислюється параметр :

(5.3)

де n – загальна сукупність спостережень;

n_r – кількість спостережень r-ї групи.

Обчислюється критерій:

(5.4)

який наближено дорівнюватиме розподілу при ступені свободи k-1, коли дисперсія всіх спостережень однорідна. Тобто якщо значення не менше за табличне значення при вибраному рівні ймовірності і ступені вільності k-1, то спостерігається гетероскедастичність.

Для побудови економетричної моделі

(5.5)

використаємо метод найменших квадратів (МНК). МНК полягає у наступному: теоретична лінія повинна перебувати на оптимальній віддалі від фактичних значень. Математично

. (5.6)

де - параметри прямої.

можна визначити із системи нормальних рівнянь

(5.7)

Критерій Фішера (F-критерій) визначається за формулою

(5.8)

де - ступені вільності;

m – кількість незалежних змінних;

n - кількість спостережень.

За статистичними таблицями F-розподілу з ступенями вільності k₁ та k₂ при заданому рівні ймовірності знаходимо значення . Якщо , то побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності.

В економетричних моделях особливе значення має автокореляція. Автокореляція відхилень – це кореляція відхилень від лінії регресії з відхиленнями від цієї лінії, взятими з деяким запізненням, тобто це кореляція ряду з рядом , де k – число, що характеризує запізнення. Кореляція між сусідніми членами ряду (k=1) називається автокореляцією першого порядку.

Причини автокореляції можуть бути різними, а саме

• недостатня статистична база для побудови економетричної моделі;

• ігнорування при побудові моделі істотної пояснювальної змінної;

• використання не відповідних форм залежності;

• статистичні дані зібрані з великими похибками.

Для оцінки автокореляції залишків використовується критерій Дарбіна-Уотсона

, (5.9)

де - залишки (відхилення).

d – статистика може набувати будь-якого значення з інтервалу (0;4).

При відсутності автокореляції d – статистика набуває значень близьких до 2. Для d – статистики визначені крайні межі (d₁ – нижня, d_n – верхня), які дозволяють із заданою надійністю дати відповідь, чи можна прийняти гіпотезу про відсутність автокореляції першого порядку чи ні.

---

У залежності від значення d приймаємо, що:

1. при відхилення додатньо корельовані;

2. при враховується гіпотеза про відсутність явища автокореляції;

3. при відхилення від’ємно корельовані;

4. при і критерій не дає відповідь про відсутність явища автокореляції.

Якщо d – статистика набуває значення з п. 4, то для одержання відповіді про наявність автокореляції першого порядку необхідно збільшити число спостережень. Величина d_n і d_l для певних ймовірностей наводяться в статистичних таблицях.

Якщо встановлено, що із заданою ймовірністю економетрична модель адекватна спостережувальним даним і соціально-економічні умови за період прогнозування змінюються за закономірностями, що мають місце і в базовому періоді, то точкова оцінка прогнозу знаходиться за формулою

. (5.10)

Ііі. Завдання

За певні періоди зібрані статистичні дані, які характеризують залежність між заощадженнями та доходом населення (табл. 5.1). Для цих даних необхідно:

1. перевірити наявність гетероскедастичності згідно з критерієм ;

2. побудувати однофакторну модель;

3. оцінити надійність моделі за допомогою критерію Фішера;

4. перевірити наявність автокореляції за допомогою критерію Дарбіна-Уотсона;

5. якщо модель адекватна згідно цих критеріїв, то визначити прогнозне значення заощаджень при величині доходів 28 млн. грн.

Таблиця 5.1

Статистичні дані

Періоди	Заощадження, млн.грн.(y)	Дохід, млн.грн. (х)	Періоди	Заощадження, млн.грн.(y)	Дохід, млн.грн. (х)
1	0,36+0,01·р	8,8	10	0,59	15,5-0,1·р
2	0,20	9,4-0,1·р	11	0,90+0,01·р	16,7
3	0,08	10,0	12	0,95	17,7
4	0,20	10,6	13	0,82+0,01·р	18,6
5	0,10+0,01·р	11,0	14	1,04+0,01·р	19,7
6	0,12	11,9	15	1,53	21,1
7	0,41+0,01·р	12,7	16	1,94	22,8
8	0,50	13,5	17	1,75	23,9
9	0,43	14,3	18	1,99+0,01·р	25,2-0,1·р

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6

МОдЕлі розподіленого лагу. Метод Койка

І. Загальні положення

Для багатьох економічних процесів типовим є те, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється поступово, через деякий період. Причому вплив деяких факторів на показник може проявлятися не лише через певний період часу, а протягом певного часу.

ІІ. Теоретичні відомості

Економетрична модель розподіленого лагу має вигляд

(6.1)

де - параметри моделі при лагових змінних; - пояснювальна лагова змінна; - період зрушення; - залишки.

Моделі розподілених лагів можуть задовільно описувати процеси лише в тому разі, коли забезпечена відносна стабільність умов, в яких ці процеси реалізуються. Така стабільність далеко не завжди спостерігається для порівняно довгих проміжків часу, протягом яких формується сукупність спостережень. Це призводить до побудови узагальненої моделі розподіленого лагу

---

(6.2)

де - пояснювальні змінні, значення яких характеризують поточні умови функціонування економічних систем у період t.

Теоретично побудову моделі з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість незалежних змінних. Але практична реалізація такої моделі досить важка.

Метод Койка. Метод Койка використовується в тих випадках, коли з точки зору економіки факторна змінна має нескінченну лагову структуру і лагові параметри регресії володіють однаковим законом зміни.

Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними утруднює побудову економетричної моделі. Один із способів позбутися від мультиколінеарності – це ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які б мали однаковий знак і кінцеву суму.

Запишемо регресію з лагами

(6.3)

Припустимо, що

. (6.4)

Тоді запишемо

(6.5)

На всі ваги накладаються такі обмеження:

1. 

2. ;

3. послідовність ваг утворюють геометричну прогресію.

називаються нормованими коефіцієнтами лагу. Через В позначили оператор зсуву, для якого виконується умова:

(6.6)

Оскільки послідовність ваг є геометричною прогресією, то

(6.7)

Тоді запишемо

. (6.8)

Тепер можна записати регресію у вигляді

(6.9)

Зробимо певні перетворення

;

;

,

або

(6.10)

Для оцінки значень та використовуємо метод найменших квадратів. Таким чином. Таким чином, метод Койка приводить до великих спрощень – замість декількох параметрів оцінюються лише два параметри та .

Математично метод найменших квадратів

. (6.11)

де - параметри рівняння регресії.

Необхідною умовою існування мінімуму є рівність нулю часткових похідних по

. (6.12)

Розкриємо дужки і отримаємо систему нормальних рівнянь

. (6.13)

Невироджена система нормальних рівнянь має єдиний розв'язок.

Щільність зв'язку між факторною і результативною ознаками можна знайти за допомогою коефіцієнта детермінації

, (6.14)

де - середнє значення ;

- фактичні значення і-го спостереження;

- теоретичні значення і-го спостереження.

Значення критерію Фішера і Дарбіна-Уотсона визначаються за формулами

(6.15)

де - ступені вільності.

, (6.16)

де .

Якщо встановлено, що із заданою ймовірністю економетрична модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності і та при умові, що тенденції розвитку економічного процесу не змінилися, то точкова оцінка прогнозу знаходиться за формулою

(6.17)

Важливо також знайти інтервали довіри. Інтервали довіри – це інтервали, у які з певною заданою ймовірністю потрапляє дійсне значення залежної змінної. Такий інтервал довіри для прогнозного значення знаходимо за формулою

, (6.18)

де

, (6.19)

.

Для оцінки еластичності результуючої ознаки при будь-якому значенні факторної ознаки використовується коефіцієнт еластичності:

---

(6.20)

ІІІ. Завдання

За даними табл. 6.1 з ймовірністю 0,95, використовуючи метод Койка, необхідно:

Таблиця 6.1

Статистичні дані

Капітальні вкладення (x), млн.грн.	Чиста продукція (y), млн.грн.
7,822 + 0,01р	40,325
10,390	49,334
13,678	56,717
15,976	64,118 +0,01р
13,880	58,968
13,949	61,517
17,006	72,165
17,352	78,743
18,138 + 0,01р	80,381
18,878	84,204
19,090	88,133 + 0,01р
17,716	83,413
15,984	65,784 + 0,01р
14,951	61,443
10,769 + 0,01р	55,038
9,068	-

1. оцінити параметри регресії, що має вигляд

;

2. оцінити адекватність побудованої моделі статистичним даним генеральної сукупності за допомогою критерію Фішера і Дарбіна-Уотсона;

3. визначити прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;

4. визначити коефіцієнт еластичності

---