Файл: ТеорВер_1.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

до самостійних робіт

з курсу

„Теорія ймовірностей”

для студентів напряму підготовки 6.040303 „Системний аналіз”

галузі знань 0403 „Системні науки та кібернетика”

денної форми навчання

Частина 1

Тема1 Ймовірність випадкових подій

Тема2 Послідовності випробувань

2011

Методичні вказівки та завдання до самостійних робіт з курсу „Теорія ймовірностей” для студентів напряму підготовки 6.040303 „Системний аналіз” галузі знань 0403 „Системні науки та кібернетика” денної форми навчання Ч.1. Тема1. Ймовірність випадкових подій. Тема2. Послідовності випробувань /Укл.:А.В.Савранська, О.В.Корнєєва, А.О.Кузьменко, О.В.Кривцун. – Запоріжжя: ЗНТУ,2011. – 70с.

Методичні вказівки містять теоретичні відомості, індивідуальні завдання до самостійних робіт та приклади їх виконання з курсу „Теорія ймовірностей” для студентів напряму підготовки 6.040303 „Системний аналіз” галузі знань 0403 „Системні науки та кібернетика” денної форми навчання Ч.1. Тема1. Ймовірність випадкових подій. Тема2. Послідовності випробувань.

Укладачі: А.В. Савранська, доцент,

О.В. Корнєєва, асистент,

А.О. Кузьменко, асистент,

О.В. Кривцун, асистент.

Рецензенти: В.П. Пінчук, доцент,

О.І. Денисенко, доцент.

Відповідальний

за випуск: Г.В. Корніч, професор.

Затверджено

на засіданні кафедри

системного аналізу та

обчислювальної математики

протокол № 10 від 25.06.11 р.

ЗМІСТ

1 Лабораторна робота №1 Ймовірність випадкових подій.....................4

1.1 Алгебра подій...................................................................................4

1.2 Означення подій........................................................................4

1.3 Означення та властивості ймовірності та частості.......................5

1.4 Основні теореми теорії ймовірностей............................................6

1.5 Формули повної ймовірності та Байєса.........................................8

1.6 Приклади розв’язання задач............................................................9

1.7 Варіанти самостійного завдання №1............................................14

1.8 Варіанти самостійного завдання №2............................................19

1.9 Варіанти самостійного завдання №3............................................21

1.10 Варіанти самостійного завдання №4..........................................24

1.11 Варіанти самостійного завдання №5..........................................26

1.12 Варіанти самостійного завдання №6..........................................29

1.13 Варіанти самостійного завдання №7..........................................31

1.14 Варіанти самостійного завдання №8..........................................34

2 Лабораторна робота №2 Послідовності випробувань........................38

2.1 Схема та формула Бернуллі..........................................................38

2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа..................................39

2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях......................................................................40

2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях...........................................................................................40

2.5 Теорема Пуассона...........................................................................41

2.6 Приклади розв’язання задач..........................................................41

2.7 Варіанти самостійного завдання №1............................................46

2.8 Варіанти самостійного завдання №2............................................49

2.9 Варіанти самостійного завдання №3............................................51

2.10 Варіанти самостійного завдання №4..........................................54

3 Література...............................................................................................56

Додаток А Приклади оформлення документів.......................................57

А.1 Зразок документу “Запрошення” до лабораторної роботи №1.57

1 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ

1.1 Алгебра подій

Розглянемо деякий дослід, у результаті якого може з’явитися або не з’явитися подія , та такий, що він може реалізуватися у певних умовах скільки завгодно разів. Такі досліди називаються випробуваннями.

Події бувають достовірні, випадкові та неможливі.

Достовірною називають таку подію, яка при розглянутих умовах обов’язково трапиться.

Неможливою називають таку подію, яка при розглянутих умовах не може трапитися.

Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може і не трапитися.

Якщо досліджувати випадкову подію багато разів при однакових умовах, то можна виявити певну закономірність її появи або непояви. Таку закономірність називають імовірною закономірністю масових однорідних випадкових подій.

1.2 Означення подій

Означення 1.2.1 Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.

Означення 1.2.2 Події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших.

Означення 1.2.3 Випадкові події утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоча б одна з них з’явиться обов’язково.

Означення 1.2.4 Події називають рівноможливими, якщо немає причин стверджувати, що будь-яка з них можливіша за інші.

Означення 1.2.5 Дві несумісні події, які утворюють повну групу, називають протилежними.

Означення 1.2.6 Елементарними наслідками називають такі події, які неможливо розділити на більш прості. Множину усіх можливих елементарних наслідків називають простором елементарних наслідків.

1.3 Означення та властивості ймовірності та частості

Означення 1.3.1 (Класичне) Ймовірність дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події , до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків.

Ймовірність події позначають . За Означенням 7

, (1.1)

де - число елементарних наслідків, що сприяють події , - число усіх єдиноможливих та рівноможливих наслідків.

Класичне означення ймовірності має місце лише тоді, коли та скінчені, усі елементарні наслідки рівноможливі.

Якщо множина елементарних наслідків нескінчена і, як наслідок, займає деяку область , а події сприяє лише частина , то обчислення ймовірності події виконують згідно геометричного означення ймовірності.

Означення 1.3.2 (Геометричне) Ймовірність події дорівнює відношенню міри до міри

. (1.2)

Означення 1.3.3 Відносною частотою або частістю події називається відношення числа випробувань, у яких подія з’явилась, до числа фактично виконаних випробувань.

Відносну частоту події позначають або . Отже,

,

де - кількість випробувань, у яких з’явилась подія , - кількість усіх випробувань.

Означення 1.3.4 Статистична ймовірність – це відносна частота (частість) або число, близьке до неї.

Основні властивості ймовірності:

а) якщо подія достовірна, то її ймовірність дорівнює одиниці, тобто ;

б) якщо подія неможлива, то її ймовірність дорівнює нулю, тобто ;

в) якщо подія випадкова, то її ймовірність задовольняє співвідношення ;

г) ймовірності еквівалентних подій рівні, тобто, якщо , то ;

д) ймовірності події та протилежної події задовольняють співвідношенню:

. (1.3)

1.4 Основні теореми теорії ймовірностей

Теорема 1.4.1 Ймовірність об’єднання двох випадкових несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей

(1.4)

Теорема 1.4.2 Якщо випадкові події попарно несумісні, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

. (1.5)

Теорема 1.4.3 Сума ймовірностей повної групи випадкових подій дорівнює одиниці

_(1.6)

Означення 1.4.4 Випадкові події та називають залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи або непояви другої події.

Якщо ймовірність появи однієї події не залежить від появи або непояви другої, то такі події називають незалежними.

Означення 1.4.5 Ймовірність події , обчислену при умові появи події , називають умовною ймовірністю події і позначають або .

Теорема 1.4.6 Ймовірність сумісної появи двох випадкових подій та дорівнює добутку ймовірності другої події при умові, що перша подія з’явилася

(1.7)

Співвідношення (1.7) називають формулою множення ймовірностей залежних випадкових подій.

У випадку незалежних випадкових подій та формула (1.7) приймає вигляд

(1.8)

і називається формулою множення ймовірностей незалежних випадкових подій.

Нехай є сумісних випадкових подій . Позначимо через подію, яка полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подія полягає в тому, що події не з'являться, тобто . Події та утворюють повну групу подій, тому

(1.9)

Звідси одержуємо

(1.10)

Теорема 1.4.7 Якщо випадкові події та сумісні, то ймовірність їх об’єднання дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх сумісної появи, тобто

_(1.11)

1.5 Формули повної ймовірності та Байєса

Теорема 6. Якщо випадкова подія може з'явиться лише сумісно з однією із несумісних між собою подій , що утворюють повну групу, тоді ймовірність події обчислюються за формулою:

(1.12)

Формулу (1.12) називають формулою повної ймовірності.

В умовах теореми 6 невідомо, з якою подією із несумісних подій з'явиться подія . Тому кожну з подій можна вважати гіпотезою. Тоді - ймовірність -ої гіпотези.

Якщо випробування проведено і в результаті його подія з'явилася, то умовна ймовірність може не дорівнювати . Порівняння ймовірностей та дозволяє переоцінити ймовірність гіпотези при умові, що подія з'явилася.

Для одержання умовної ймовірності використовуємо теорему множення ймовірностей залежних подій

(1.13)

Підставимо в формулу (1.13) замість її значення з формули повної ймовірності. Одержимо

(1.14)

Формули (1.13), (1.14) називають формулами Байеса.

1.6 Приклади розв’язання задач

Приклад 1.6.1 Стрілець стріляє двічі по мішені. Описати простір елементарних наслідків. Записати події, які полягають в наступному:

а) С – стрілець влучив в мішень принаймні один раз;

б) D – стрілець влучив рівно один раз;

в) F – стрілець не влучив в мішень.

Розв’язання. Позначимо:

− подія А – влучення при першому пострілі,

− подія В – влучення при другому пострілі.

Простір елементарних наслідків складається з чотирьох подій

.

а) якщо стрілець влучив у мішень принаймні один раз, то це означає, що він влучив або при першому пострілі , або при другому пострілі , або при обох .

Тобто, .

б) рівно одне влучення може бути тільки тоді, коли стрілець при першому пострілі влучив, а при другому ні, або при першому пострілі не влучив, а при другому – влучив.

Тому, .

в) якщо стрілець не влучив у мішень, то це означає, що він не влучив при обох пострілах.

Тобто, .

Приклад 1.6.2 В урні 6 однакових за розміром куль: 2 червоні, 3 сині, 1 біла. Знайти ймовірність появи червоної кулі, якщо беруть одну кулю з урни навмання.

Розв’язання. Нехай подія А – навмання взята червона куля. З урни можна взяти будь-яку кулю з шести, тому усіх можливих наслідків 6 ( ). Для появи червоної кулі сприяти будуть лише 2 кулі, тому . За формулою (1.1) одержуємо

.

Приклад 1.6.3 Відділ технічного контролю серед 100 виробів виявив 8 нестандартних. Чому дорівнює відносна частота появи нестандартних виробів?

Розв’язання. Позначимо через А таку подію, як поява нестандартного виробу. Тоді за означенням частості події А одержимо

.

Приклад 1.6.4 Студенти другого курсу згідно учбового плану вивчають 10 дисциплін. На один день можна планувати заняття з 4 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на один день?

Розв’язання. Усі можливі розклади занять на один день – це сполуки з 10 по 4, які можуть відрізнятися дисциплінами або їх порядком, тобто ці сполуки – розміщення. Кількість таких розміщень буде

.

Приклад 1.6.5 У кошику 4 яблука першого сорту та 5 яблук другого сорту. Навмання беруть 2 яблука. Знайти ймовірність того, що будуть взяті яблука різних сортів.

Розв’язання. Нехай подія А – навмання взяті 2 яблука різних сортів.

Всього яблук 9, з них сполучень по 2 буде - кількість усіх можливих наслідків.

Події А будуть сприяти сполуки, утворені з пар, елементами яких будуть яблука різних сортів. Згідно принципу добутку кількість таких пар буде дорівнювати .

Використовуючи класичне означення ймовірності, одержимо шукану ймовірність події А

.

Приклад 1.6.6 Ймовірність влучення стрілком у першу область мішені дорівнює 0,45, у другу область – 0,35, у третю 0,15. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі стрілок влучить у першу або другу області мішені.

Розв’язання. Позначимо за подію - влучення в першу область мішені; за подію - влучення у другу область мішені.