Файл: ТеорВер_1.doc

Таблиця значень функції Пуассона знаходиться у додатку 3.

2.6 Приклади розв’язання задач

Приклад 2.6.1 Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що ймовірніше: виграти дві партії з чотирьох або три партії з шести (нічиї до уваги не приймаються)?

Розв’язання. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу , ймовірність програшу . Так як у всіх паріях ймовірність виграшу постійна, може бути застосована формула Бернуллі.

Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:

.

Знайдемо ймовірність того, що будуть виграні три партії з шести:

.

Так як , то ймовірніше виграти дві партії з чотирьох, ніж три з шести.

Приклад 2.6.2 Знайти ймовірність того, що подія відбудеться рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.

Розв’язання. За умовою, ; ; ; . Так як досить велике число, скористаємося локальною теоремою Лапласу.

.

За таблицею додатку 1 знайдемо . Шукана ймовірність

.

Приклад 2.6.3 Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань постійна і дорівнює . Знайти ймовірність того, що подія з’явиться:

а) не менш 75 разів і не більш 90 разів;

б) не менш 75 разів;

в) не більш 74 разів.

Розв’язання. Скористаємось інтегральною теоремою Лапласа:

а) за умовою ; ; ; ; . Обчислимо і :

;

.

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, одержимо

.

За таблицею додатку 2 знайдемо:

; .

Шукана ймовірність

.

б) в цьому випадку ; , тоді

;

.

За таблицею додатку 2 знайдемо:

; .

Шукана ймовірність

.

в) .

Приклад 2.6.4 Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань постійна і дорівнює . Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0.9 можна було очікувати, що подія з’явиться не менш 75 разів?

Розв’язання. За умовою ; ; ; , . Скористаємось інтегральною теоремою Лапласа:

.

Підставляючи дані задачі, одержимо

,

або

.

Очевидь, число випробувань , тому . Оскільки функція Лапласа – зростаюча і , можна покласти .

Отже, .

Таким чином, .

За таблицею додатку 2 знайдемо: ; .

Звідси, .

Розв’язавши це рівняння, отримаємо .

Приклад 2.6.5 Ймовірність появи події в кожному з 625 незалежних випробуваннях дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більш ніж на 0,04.

Розв’язання. За умовою: ; ; ; . Необхідно знайти ймовірність . Скористаємось формулою (2.9). Маємо

.

За таблицею додатку 2 знайдемо: . Тому, . Таким чином, шукана ймовірність наближено дорівнює 0,9876.

Приклад 2.6.6 Ймовірність появи події в кожному з 400 незалежних випробуваннях дорівнює 0,8. Знайти таке додатне число , щоб з ймовірністю 0,99 абсолютна величина відхилення відносної частоті появи події від її ймовірності 0,8 не перевищувала .

Розв’язання. За умовою: ; ; . Тому

або .

За таблицею додатку 2 знайдемо: . Тому, . Звідси шукане число .

Приклад 2.6.7 Батарея зробила шість пострілів по об’єкту . Ймовірність влучення в об’єкт при одному пострілі дорівнює 0,3. Знайти:

а) найймовірніше число влучень;

б) ймовірність найймовірнішого числа влучень;

в) ймовірність того, що об’єкт буде зруйновано, якщо для цього достатньо хоча б двох влучень.

Розв’язання. За умовою: ; ; .

а) знайдемо найймовірніше число влучень за формулою (2.10):

або .

Звідки ;

б) знайдемо ймовірність найймовірнішого числа влучень за формулою Бернуллі

;

в) знайдемо ймовірність того, що об’єкт буде зруйновано. За умовою, для цього достатньо, щоб було 2, 3, 4, 5 або 6 влучень. Простіше спочатку знайти ймовірність протилежної події (жодного влучення або одне влучення):

.

Шукана ймовірність того, що об’єкт буде зруйновано:

.

Приклад 2.6.8 Підручник видано тиражем 100000 екземплярів. Ймовірність того, що підручник бракований, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно п’ять бракованих книг.

Розв’язання. За умовою: ; ; . Оскільки – досить велике, ; , скористаємося формулою Пуассона (2.11). Знайдемо

.

Шукана ймовірність

.

2.7 Варіанти самостійного завдання №1

2.7.1 Монету підкидають 5 разів. Знайти ймовірність того, що "герб" випаде:

а) менш двох разів;

б) не менш двох разів.

2.7.2 Подія В настає в тому випадку, коли подія А з’явиться не менш двох разів. Визначити ймовірність появи події В, якщо ймовірність появи події А при одному досліді дорівнює 0,3 и проведено п’ять незалежних дослідів.

2.7.3 В сім’ї п’ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей:

а) два хлопчика;

б) не більш двох хлопчиків.

Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,5.

2.7.4 Ймовірність виготовлення на автоматичному верстаті стандартної деталі дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з п’яти навмання взятих деталей виявиться:

а) три стандартні;

б) не менш двох стандартних.

2.7.5 В магазині для студентських гуртожитків придбано п’ять телевізорів. Для кожного з них ймовірність невиходу зі строю дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що:

а) не вийде зі строю хоча б один телевізор;

б) чотири телевізора на протязі гарантійного строку не вийдуть зі строю.

2.7.6 В бавовні міститься 10% коротких волокон Визначити ймовірність того, що серед відібраних навмання шести волокон виявиться не більш двох коротких.

2.7.7 Встановлено, що в середньому на кожну сотню виготовлених приладів 26 штук мають дефекти. Знайти ймовірність того, що серед шести навмання взятих приладів буде:

а) менш двох з дефектом;

б) три з дефектом.

2.7.8 Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайти ймовірність того, що серед п’яти навмання взятих виробів:

а) немає жодного зіпсованого;

б) будуть два зіпсованих.

2.7.9 Знайти ймовірність того, що номер зустрічної автомашини не містить:

а) цифри 6;

б) двох и більш цифр 5.

2.7.10 Ймовірність того, що навмання взяте пальто з даної партії виявиться першосортним, дорівнює 0,9. Взяли 4 пальто. Знайти ймовірність того, що:

а) всі пальто першого сорту;

б) першого сорту не менш двох пальто.

2.7.11 Ймовірність хоча б одного влучення в ціль при чотирьох пострілах дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі і ймовірність не менш 2 влучень при чотирьох пострілах.

2.7.12 Стрілок веде стрілянину по цілі. Ймовірність влучення в ціль дорівнює 0,4. Стрілок стріляє тричі. Знайти ймовірність:

а) двох влучень;

б) хоча б одного влучення.

2.7.13 З партії із 100 виробів, серед яких 10 бракованих, відібрані випадковим чином 5 виробів для перевірки якості. Знайти ймовірність того, що серед відібраних:

а) не більш 2 бракованих;

б) бракованих менш ніж 4.

2.7.14 Гра полягає в киданні кілець на палку, гравець отримує 6 кілець і кидає кільця до першого попадання. Знайти ймовірність того, що:

а) хоча б одно кільце залишиться невитраченим, якщо ймовірність попадання дорівнює 0,1;

б) хоча б два кільця не витрачені.

2.7.15 В сім’ї п’ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей:

а) більш двох хлопчиків;

б) не менш і не більш трьох хлопчиків.

Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,5.

2.7.16 Монету підкидають 6 paзів. Яка ймовірність того, що вона впаде гербом доверху не більш трьох разів?

2.7.17 В класі 20 хлопчиків і 10 дівчаток. На кожне з трьох питань, заданих вчителем, відповіли по одному учню. Яка ймовірність того, що серед учнів, що відповідали, було два хлопчика та одна дівчинка?

2.7.18 В кожному з чотирьох ящиків по 5 білих і по 16 чорних куль. З кожного ящика витягли по одній кулі. Яка ймовірність витягти дві білих і дві чорних кулі?

2.7.19 Ймовірність хоча б однієї появи події для чотирьох незалежних випробувань дорівнює 0,5904. Знайти ймовірність появи події для одного випробування, якщо для кожного випробування ця ймовірність однакова?

2.7.20 Дві електричні лампочки включені в мережу послідовно. Знайти ймовірність того, що при підвищенні напруги в мережі вище номінальної відбудеться розрив мережі, якщо ймовірність того, що лампочка перегорить, для обох лампочок однакова і дорівнює 0,4.

2.8 Варіанти самостійного завдання №2

2.8.1 Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

2.8.2 Ймовірність ураження мішені при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде уражена рівно 75 разів.

2.8.3 Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків.

2.8.4 Ймовірність появи події в кожному з 21 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність, того, що подія з’явиться в більшості випробувань.

2.8.5 Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менш 1470 і не більш 1500 разів.

2.8.6 Монета підкинута ( велике число). Знайти ймовірність того, що “герб” випаде рівно разів.

2.8.7 Монета підкинута ( велике число). Знайти ймовірність того, що “герб” випаде на разів більше, ніж “цифра”.

2.8.8 Ймовірність появи позитивного результату в кожному з випробувань дорівнює 0,9. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0,98 можна було б очікувати, що не менш 150 випробувань дадуть позитивний результат.

2.8.9 Виробництво дає 10% браку. Яка ймовірність того, що із 200 навмання вибраних виробів 15 будуть бракованими?

2.8.10 Процент проростання пшеничного насіння становить 95%. Знайти ймовірність того, що з 2000 посіяних насінин проросте від 1880 до 1920.

2.8.11 Електростанція обслуговує мережу з 10000 ламп; ймовірність включення кожної з них 0,6. Визначити ймовірність одночасного включення від 5900 до 6100 ламп.

2.8.12 Досліджують 500 проб руди. Ймовірність промислового вмісту заліза у кожній пробі дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що кількість проб з промисловим вмістом заліза буде між 300 та 370.

2.8.13 В перші класи повинно бути прийнято 200 дітей. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться 100 дівчинок, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515.

2.8.14 Яка ймовірність того, що в стовпчику із 100 навмання відібраних монет число монет, які розташовані “гербом” доверху, буде від 45 до 55?

2.8.15 Виробництво дає 1% браку. Яка ймовірність того, що із 1100 навмання вибраних виробів бракованими будуть не більш 17?

2.8.16 Ймовірність ураження цілі при одному пострілі дорівнює 0,4. Знайти ймовірність того, що в ціль буде влучено від 200 до 250 разів в серії з 600 пострілів?

2.8.17 Ймовірність виходу зі строю за деякий час одного конденсатору дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що зі 100 конденсаторів на протязі часу вийде зі строю:

а) не менш 30 конденсаторів;

б) не більш 20 конденсаторів.

2.8.18 Ймовірність влучення в десятку при одному пострілі дорівнює 0,2. Скільки потрібно зробити незалежних пострілів, щоб з ймовірністю не меншою 0,9 влучити в десятку хоча б один раз?

2.8.19 Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менш 1470 разів.

2.8.20 Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не більш 1469 разів.

2.9 Варіанти самостійного завдання №3

2.9.1 Апаратура складається з 1000 елементів, кожний з яких незалежно від інших виходить з ладу за час з ймовірністю . Знайти ймовірність того, що за час відмовить хоча б один елемент.

2.9.2 Ймовірність появи події в кожному з 10000 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти таке число , щоб з ймовірністю 0,979 абсолютна величина відхилення частоти події від її ймовірності була не більша за .

2.9.3 Апаратура складається з 1000 елементів, кожний з яких незалежно від інших виходить з ладу за час з ймовірністю . Знайти ймовірність того, що за час відмовить рівно 3 елементи.

2.9.4 Верстат-автомат виготовляє стандартний виріб з ймовірністю 0,9. Із продукції верстату складають партію виробів. Скільки виробів повинен виготовити верстат, щоб з ймовірністю 0,9973 можна було стверджувати, що відхилення відносної частоти появи нестандартного виробу від ймовірності буде менше ніж 0,03?

2.9.5 Апаратура складається з 1000 елементів, кожний з яких незалежно від інших виходить з ладу за час з ймовірністю . Знайти ймовірність того, що за час відмовить не більше 3 елементів.

2.9.6 Ймовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробувань дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше за 0,02.

2.9.7 Ймовірність того, що довільний абонент подзвонить на комутатор на протязі години дорівнює 0,01. АТС обслуговує 300 абонентів. Знайти ймовірність того, що на протязі години подзвонить 4 абонента.

2.9.8 Ймовірність появи події в кожному з 10000 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше за 0,01.

2.9.9 Ймовірність того, що довільний абонент подзвонить на комутатор на протязі години дорівнює 0,01. АТС обслуговує 300 абонентів. Знайти ймовірність того, що на протязі години подзвонить хоча б один абонент.

2.9.10 Скільки разів потрібно підкинути гральну кісту, щоб ймовірність нерівності була б не менша ніж ймовірність протилежної нерівності, де – число появ одного очка в підкиданнях гральної кістки?

2.9.11 Прилад складено з 1000 незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови будь-якого елементу за час дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що за час відмовлять 3 елементи.

2.9.12 Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найменше число випробувань , при якому з ймовірністю 0,99 можна було б очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше за 0,04.

2.9.13 Ймовірність виробництва бракованого виробу дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що серед 1000 виробів бракованих буде не більш ніж 10.

2.9.14 В урні містяться біль та чорні кулі у відношенні 4:1. Після вилучення кулі регіструється її колір і куля повертається до урни. Чому дорівнює найменше число вилучень , при якому з ймовірністю 0,95 можна було б очікувати, що абсолютна величина відхилення відносної частоти появи білої кулі від її ймовірності буде не більше за 0,01?

2.9.15 Завод відправив до бази 500 виробів. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено менше трьох виробів.

2.9.16 Ймовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробуваннях дорівнює 0,5. Знайти таке додатне число , щоб з ймовірністю 0,77 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від її ймовірності 0,5 не перевищувала .