Файл: ТеорВер_1.doc

1.12.17 В цеху працюють сім чоловіків і три жінки. За табельними номерами навмання відібрані три особи. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи будуть чоловіками.

1.12.18 В ящику 10 деталей, серед яких шість пофарбовані. Робітник навмання вилучає чотири деталі. Знайти ймовірність того, що всі вилучені деталі будуть пофарбовані.

1.12.19 В урні є п’ять куль с номерами від 1 до 5. Навмання по одному вилучають три кульки без повернення. Знайти ймовірність того, що послідовно з’являться кульки з номерами 1, 4, 5.

1.12.20 Студент знає 20 з 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором три питання.

1.13 Варіанти самостійного завдання №7

1.13.1 В тирі маємо 5 рушниць, ймовірності попадання з яких рівні відповідно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 та 0,9. Визначити ймовірність попадання при одному пострілі, якщо стріляючий бере одну з рушниць навмання.

1.13.2 В урну, яка містить 2 кульки, кинули білу кульку, після чого з неї навмання вилучили одну кульку. Знайти ймовірність того, що вилучена кулька буде білою, якщо рівноможливі всі припущення про початковий склад куль (по кольору).

1.13.3 В цеху працює 20 верстатів. З них 10 марки А, 6 марки В і 4 марки С. Ймовірність того, що якість деталі буде відмінною, для цих верстатів відповідно дорівнює: 0,9; 0,8; і 0,7. Який відсоток відмінних деталей випускає цех в цілому?

1.13.4 Припустимо, що 5% всіх чоловіків і 0,25% всіх жінок дальтоніки. Навмання вибрана особа страждає на дальтонізм. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що чоловіків і жінок однакова кількість).

1.13.5 Два стрілка незалежно один від одного стріляють по одній мішені, роблячи кожен по одному пострілу. Ймовірність влучення в мішень для першого стрілка дорівнює 0,8, для другого – 0,4. Після стрільби в мішені з’явилась одна дірка. Знайти ймовірність того, що в мішень влучив перший стрілок.

1.13.6 На фабриці, яка виготовляє болти, перша машина виробляє 25%, друга – 35%, третя – 40 % всіх болтів. В їх продукції брак складає відповідно 5, 4 і 2%. Яка ймовірність того, що випадково вибраний болт є дефектним?

1.13.7 Три стрілка зробили залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілок вразив мішень, якщо ймовірності влучення в мішень першим, другим и третім стрілками відповідно дорівнюють 0.6; 0.6 і 0.4.

1.13.8 Батарея з трьох гармат зробила залп, причому 2 снаряда влучили в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала влучення, якщо ймовірності влучення в ціль першою, другою і третьою гарматами відповідно дорівнюють ; ; .

1.13.9 В першій урні 5 білих і 10 чорних куль, в другій 3 білих і 7 чорних куль. З другої урни в першу переклали одну кульку, в потім з першої урни витягли навмання одну кульку. Визначити ймовірність того, що кулька, яку витягли – біла.

1.13.10 Є три однакових по вигляду ящика. В першому ящику 20 білих куль, в другому – 10 білих і 10 чорних, в третьому 20 чорних куль. З вибраного навмання ящика витягли білу кульку. Обчислити ймовірність того, що кулька була витягнута з першого ящика.

1.13.11 Два цехи штампують однотипні деталі. Перший цех дає 5 % браку, другий – 7%. Для контролю вибрали 100 деталей з першого цеху та 200 деталей з другого. Ці деталі змішали в одну партію, а потім з неї беруть одну деталь. Яка ймовірність того, що деталь бракована?

1.13.12 На зборку надходять деталі з 3 автоматів. Перший дає 25%, другий – 30%, а третій – 45% деталей даного типу, які надходять на зборку. Перший автомат може давати 0,1% нестандартних виробів, другій – 0,2%, третій – 0,3%. Знайти ймовірність того, що на зборку потрапить нестандартна деталь.

1.13.13 Завод № 1 випускає 40% всій продукції, з браком 6%; завод № 2 – 35%, з браком 5%, завод № 3 – 25%, з браком 2%. З продукції цих заводів взято навмання виріб. Яка ймовірність, що він не є бракованим?

1.13.14 В умові задачі 1.13.13, відомо, що взятий виріб бракований. Яка ймовірність, що цей брак вироблено заводом № 1?

1.13.15 В продаж надійшли телевізори трьох заводів. Продукція першого заводу містить 20% телевізорів з прихованим дефектом, другого – 10%, третього – 5%. Яка ймовірність придбати працюючий телевізор, якщо в магазин надійшло 30% телевізорів с першого заводу, 20% – з другого, 50% – з третього?

1.13.16 В урну, що містить 3 кульки кладуть білу кульку. Знайти ймовірність вийняти з цієї урни білу кульку, якщо всі припущення про кількість білих куль рівноможливі?

1.13.17 Група студентів складається з a відмінників, b студентів, які навчаються добре і c студентів, які навчаються погано. Відмінники на іспиті можуть отримати тільки відмінні оцінки. Ті, що добре вчаться – можуть отримати з рівною ймовірністю добрі та відмінні оцінки. Ті, що погано вчаться – отримати з рівною ймовірністю добрі, задовільні та незадовільні оцінки. Для складання іспиту викликається навмання один студент. Яка ймовірність того, що студент отримає добру або відмінну оцінки.

1.13.18 В тирі маємо 5 рушниць, ймовірності попадання з яких рівні відповідно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 та 0,9. Визначити ймовірність попадання при одному пострілі, якщо стріляючий бере одну з рушниць навмання.

1.13.19 Розслідуються причини авіакатастрофи, про яку можна зробити чотири гіпотези: . Відповідно до статистики ; ; ; . Огляд місця катастрофи визначає, що в її ході відбулася подія А – займання палива. Умовні ймовірності події А: ; ; ; . Знайти апостеріорні ймовірності гіпотез.

1.13.20 Телеграфне повідомлення складається з сигналів: "крапка" і "тире" Статистичні властивості перешкод такі, що спотворюється в середньому 2/5 повідомлень "крапка" і 1/3 "тире". Відомо, що серед усіх сигналів "крапка" и "тире" зустрічаються у відношенні 5:3. Визначити ймовірність того, що прийнято неспотворений сигнал, якщо прийнято сигнал "крапка".

1.14 Варіанти самостійного завдання №8

1.14.1 Телеграфне повідомлення складається з сигналів: "крапка" і "тире" Статистичні властивості перешкод такі, що спотворюється в середньому 2/5 повідомлень "крапка" і 1/3 "тире". Відомо, що серед усіх сигналів "крапка" и "тире" зустрічаються у відношенні 5:3. Визначити ймовірність того, що прийнято неспотворений сигнал, якщо прийнято сигнал "тире".

1.14.2 В трьох однотипних пологових будинках народжуються діти у кількісному відношенні 25:30:35, причому ймовірності народження хворих відповідно дорівнюють 0,05; 0,1; 0,15. Дитина, яку забирають батьки, виявилась хворою. Знайти ймовірність того, що дана дитина народжена у першому пологовому будинку.

1.14.3 Число вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, що проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

1.14.4 В спеціалізовану лікарню поступають в середньому 50% хворих з захворюванням К, 30% – з захворюванням L, 20% – з захворюванням М. Ймовірність одужання К дорівнює 0,7; для L і М ці ймовірності дорівнюють 0,8 і 0,9. Хворий, який потрапив в лікарню, був виписаний видужалим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання К.

1.14.5 Маємо 10 однакових скринь, з яких в 9-ти знаходиться по 2 чорних та по 2 білих кулі, а в одній – 5 білих та одна чорна. Зі скрині, яка обрана навмання, беруть білу кулю. Знайти ймовірність того, що куля взята зі скрині, в якій знаходяться 5 білих куль.

1.14.6 Ймовірності попадання при кожному пострілі для трьох мисливців дорівнюють відповідно ; ; . При одночасному пострілі всіх трьох мисливців мали місце 2 влучення. Знайти ймовірність того, що промахнувся третій мисливець.

1.14.7. Відомо, що 96% продукції, яка виготовляється заводом задовольняє стандарту. Спрощена схема контролю визнає придатною стандартну продукцію з ймовірністю 0,98, а нестандартну з ймовірністю 0,05. Визначити ймовірність того, що виріб, який проходить спрощений контроль, задовольняє стандарту.

1.14.8 Соціальному опитуванню підлягає група із 100 громадян України, серед яких з рівною ймовірністю може бути 0, 1, 2, 3, 4 мігранта. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний громадянин буде мігрантом.

1.14.9 Партія в 1000 ламп має чотири категорії. Перша категорія складає 50, друга – 30, третя – 16, четверта – 4% від загальної кількості. Ймовірність того, що лампи різних категорій будуть мати заданий термін служби, визначається як ; ; ; . Знайти ймовірність того, що вибрана навмання лампа буде мати заданий термін служби.

1.14.10. Виріб перевіряється на стандартність одним з двох товарознавців. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,55, а до другого – 0,45. Ймовірність того, що стандартний виріб буде признано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,9, а другим – 0,98. Стандартний виріб при перевірці було признано стандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірив другий товарознавець.

1.14.11 Два автомата виготовляють однакові деталі, які потрапляють на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомату вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виготовляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другій – 84 %. Навмання взята с конвеєра деталь виявилась деталлю відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом.

1.14.12. В піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок вразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілок вразив мішень з навмання взятої гвинтівки з оптичним прицілом або без нього?

1.14.13 Число вантажних автомашин, які проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, які проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1, для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

1.14.14 Дві перфораторщиці набили на двох перфораторах по однаковому комплекту перфокарт. Ймовірність того, що перша перфораторщиця зробить помилку, дорівнює 0,05; для другої перфораторщиці ця ймовірність дорівнює 0,1. При зрівнянні перфокарт була виявлена помилка. Знайти ймовірність того, що помилилася перша перфораторщиця.

1.14.15 Подія А може з’явитися при умові появи одного з несумісних подій (гіпотез) , , , які утворюють повну групу подій. Після появи події А були переоцінені ймовірності гіпотез, тобто знайдені умовні ймовірності цих гіпотез, причому виявилось, що і . Чому дорівнює умовна ймовірність гіпотези ?

1.14.16 Є три партії деталей по 20 деталей в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно дорівнює 20, 15, 10. З навмання обраної партії навмання вилучена деталь, яка виявилась стандартною. Деталь повертають в партію і вдруге з тієї ж партії навмання вилучають деталь, яка також виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були вилучені з третьої партії.

1.14.17 Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряда влучили в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала влучення, якщо ймовірність влучення в ціль першою, другою и третьою гарматами відповідно дорівнюють , , .

1.14.18 Три стрілка зробили залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілок вразив мішень, якщо ймовірність влучення в мішень першим, другим и третім стрілками відповідно дорівнюють 0,6, 0,5, і 0,4.

1.14.19 Одного з трьох стрілків викликають на лінію вогню і він виконує два постріли. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі першим стрілком дорівнює 0,3, другим – 0,5; а третім – 0,8. В мішені нема влучень. Знайти ймовірність того, що постріли виконані першим стрілком.

1.14.20 З трьох гармат по одній цілі зроблено по одному пострілу. Ймовірність влучення з першої гармати дорівнює 0,9, з другої – 0,8, а з третьої – 0,7. Знайти ймовірність двох влучень в ціль.

2 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2

ПОСЛІДОВНОСТІ ВИПРОБУВАНЬ

2.1 Схема та формула Бернуллі

Якщо проводяться випробування, в яких ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від появи або не появи цієї події в інших випробуваннях, то такі випробування називають незалежними відносно події .

Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться рівно разів, дорівнює

, (2.1)

або

, (2.2)

де .

Ймовірність того, що в випробуваннях подія з’явиться: а) менш ніж разів, б) більш ніж разів, в) не менш ніж разів, г) не більш ніж разів знаходять відповідно за формулами:

; (2.3)

; (2.4)

; (2.5)

. (2.6)

2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа

Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться рівно разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше )

, (2.7)

де , .

Таблиця функції для додатних значень наведена в додатку 1, для від’ємних значень користуються цією ж таблицею (функція парна, тому ).

Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться не менш разів і не більш разів, наближено дорівнює

. (2.8)

- функція Лапласа,

;

Таблиця функцій Лапласа для додатних значень наведена в додатку 2, для значень покладають . Для від’ємних значень використовують цю ж таблицю, враховуючи, що функція Лапласа непарна ( ).

2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях

Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не буде перевищувати додатного числа , наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при :

. (2.9)

2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях

Число (появи події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ) називають найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія з’явиться в цих випробуваннях разів, перевищує (або принаймні не менш) ймовірності інших можливих появ або не появ події в незалежних випробуваннях.

Найімовірніше число визначають з подвійної нерівності

, (2.10)

причому:

а) якщо число - дробове, то існує одне найймовірніше число ;

б) якщо число - ціле, то існують два найймовірніших числа і ;

в) якщо число – ціле, то найймовірніше число .

2.5 Теорема Пуассона

Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ( – достатньо мале число), подія з’явиться разів, наближено дорівнює

, (2.11)