Файл: ТеорВер_1.doc

При одному пострілі події і несумісні. Тому ймовірність влучення в першу або другу області мішені буде

.

Приклад 1.6.7 У деякому людському суспільстві 70% палять, 40% хворіють на рак легенів та 25% палять та мають рак легенів.

Знайти ймовірність того, що навмання взята особа з цього суспільства:

а) не палить, але має рак легенів;

б) палить, але не має раку легенів;

в) ніколи не палить і не має раку легенів;

г) палить і має рак легенів;

д) або палить або має рак легенів.

Розв’язання. Позначимо події: - особа палить; - особа хворіє на рак легенів. Тоді за умовою задачі маємо

, , , .

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Приклад 1.6.8 Ймовірність влучення у мішень першого стрілка дорівнює 0,7, другого стрілка – 0,8, а третього стрілка – 0,9.

Знайти ймовірність влучення у мішень хоча б одного стрілка.

Розв’язання. Позначимо події:

− – у мішень влучив перший стрілок;

− – у мішень влучив другий стрілок;

− – у мішень влучив третій стрілок;

− – у мішень влучив хоча б один стрілок.

За умовою задачі події , та незалежні, тому події , та також незалежні.

Згідно формули (1.10) та формули множення ймовірностей незалежних подій маємо

.

Оскільки

; ; ,

то одержимо

.

Приклад 1.6.9 У залежності від наявності сировини підприємство може виробити та відправити замовникам щодобово кількість певної продукції від 1 до 100.

Яка ймовірність того, що одержану кількість продукції можна розподілити без залишку

а) трьом замовникам;

б) чотирьом замовникам;

в) дванадцяти замовникам;

г) трьом або чотирьом замовникам?

Розв’язання. Позначимо події:

− – одержана кількість виробів ділиться на 3 без залишку;

− – одержана кількість виробів ділиться на 4 без залишку;

Використовуючи класичне означення ймовірності, знаходимо

а) ; б) ; в) .

Події і – сумісні, тому за формулою (1.7) одержимо

г) .

Приклад 1.6.10 У першому ящику 20 деталей, з яких 15 стандартних. У другому ящику 10 деталей, з яких 9 стандартних. З другого ящику беруть навмання одну деталь і перекладають її до першого ящику. Знайти ймовірність того, що взята після цього навмання з першого ящика деталь стандартна.

Розв’язання: Позначимо такі події:

− А – з першого ящика взято стандартну деталь;

− – з другого ящика переклали до першого стандартну деталь;

− – з другого ящика переклали до першого нестандартну деталь.

Згідно з умовою задачі, з першого ящика можна взяти деталь лише після того, як здійсниться подія або подія .

Події і несумісні, а подія може з’явитись лише сумісно з однією із них. Тому для знаходження ймовірності події можна використати формулу повної ймовірності (1.12), яка в даному випадку приймає вигляд

.

Знайдемо потрібні ймовірності

; ; ; .

Підставимо ці значення у формулу повної ймовірності і одержимо

.

Приклад 1.6.11 Деталі, виготовлені цехом заводу, попадають для перевірки їх стандартності до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0.4. Ймовірність того, що придатна деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0.94, а другим – 0.98.

Придатна деталь при перевірці признана стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь перевіряв перший контролер.

Розв’язання. Позначимо такі події:

− А – придатна деталь признана стандартною;

− – деталь перевіряв перший контролер;

−Варіанти деталь перевіряв другий контролер.

За умовою прикладу

; ; ; .

За формулою Байєса при одержимо

.

1.7 Варіанти самостійного завдання №1

1.7.1 Зроблено два постріли з гармати в ціль. Подія – (влучення при -му пострілі); ( ); подія – (промах при -му пострілі); ( ). Виразити через , , , ,:

а)– одне влучення в мішень при двох пострілах;

б)– два влучення при двох пострілах;

в) – хоча б одне влучення в мішень при 2 пострілах;

г) Е – жодного влучення при 2 пострілах.

1.7.2 Нехай – три події, які спостерігаються в експерименті. Виразити в алгебрі подій наступні події:

− – відбудеться одне з ;

− – з відбудеться хоча б одне;

− – з не відбудеться жодного;

− – з відбудеться рівно 2.

1.7.3 Зроблено 3 постріли з гармати в ціль. Подія – (влучення при -му пострілі). Записати в алгебрі подій наступні події:

_{а) А} – рівно одне влучення; б) – хоча б одне влучення;

в) С – хоча б один промах; г) – не менш двох влучень.

1.7.4 Нехай , , – події, які полягають в тому, що в мішень влучили відповідно перший та третій стрілки при одному пострілі. Події , ,– промахи цих стрілків. Знайти вираз для подій:

а) А – жодного влучення; б) В – тільки одне влучення;

в) С – три влучення; г) – хоча б одне влучення при трьох пострілах.

1.7.5 Передаються повідомлення по каналу зв’язку. Подія – повідомлення передане без помилок, . Записати в алгебрі подій наступні події:

а) А – всі чотири повідомлення передані без помилок;

б) – три повідомлення передані без помилок, одне з помилками;

в) С – хоча б два повідомлення передані без помилок;

г) – всі повідомлення передані з помилками.

1.7.6 Маємо події: А – деталь першого сорту, В – деталь другого сорту, С – взята навмання деталь виявилася деталлю третього сорту. В чому полягають наступні події:

а) ; б) ; в) г) .

1.7.7 Підкидаються дві гральні кістки. Нехай А – сума очок непарна, В – подія, яка полягає в тому, що хоча б на одній з кісток випала одиниця. Описати події:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.7.8 Дослід полягає в підкиданні двох монет. Розглядаються наступні події: А – герб на першій монеті, В – цифра на першій монеті, С – герб на другій монеті, D – цифра на другій монеті.

Визначити, яким подіям з цього списку рівносильні наступні події:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.7.9 По каналу зв’язку передаються послідовно три повідомлення, кожне з них може бути передано правильно або неправильно. Розглядаються наступні події: – -e повідомлення передано правильно, – -e повідомлення передано неправильно; де . Виразити через і наступні події:

а) А – хоча б одне повідомлення передано правильно;

б) В – не менш двох повідомлень передано правильно;

в) С – не більш одного повідомлення передано правильно;

г) – перше повідомлення передано правильно, а інші – передані неправильно.

1.7.10 Дослід полягає в підкиданні двох монет. Розглядаються наступні події: А – хоча б один герб, В – хоча б одна цифра, С – один герб і одна цифра, – два герба.

Визначити, яким подіям з цього списку рівносильні наступні події:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.7.11 Проводиться спостереження за групою, яка складається з чотирьох однорідних об’єктів. Кожен з них за час спостереження може бути виявлений або не виявлений. Розглядаються наступні події: А – виявлений рівно один з 4 об’єктів, B – виявлений хоча б один об’єкт, С – виявлено не менш двох об’єктів.

В чому полягають події:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.7.12 Навмання підкидаються дві гральні кістки. Елементарні події – це події, які полягають у тому, що на одній з кісток випало очок, а на іншій ( ). Виразити через елементарні події наступні події:

а) А – сума очок, які випали парна;

б) В – добуток очок непарний;

в) С – на одній з кісток число очок парне, а на іншій непарне;

г) – на жодній з кісток не випало шість очок.

1.7.13 Відбувається спостереження за групою, яка складається з чотирьох однорідних об’єктів. Кожен з них за час спостереження може бути виявлений або не виявлений. Розглядаються події: А – виявлено не менш двох об’єктів, В – виявлено рівно два об’єкта, С – виявлено рівно три об’єкта, – виявлено всі чотири об’єкта.

В чому полягають наступні події:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.7.14 Назвати протилежні події для наступних подій:

а) передаються два повідомлення по каналу зв’язку, подія А – обидва повідомлення передані правильно;

б) передаються п’ять повідомлень, подія С – не менш трьох повідомлень передано правильно;

в) відбувається пострілів по мішені, подія – хоча б одне влучення.

1.7.15 В полі спостереження мікроскопа знаходяться чотири клітини. За час спостереження кожна з них може розділиться і не розділиться. Розглядаються події: А – розділилась одна клітина, В – розділилась хоча б одна клітина, С – розділилось не менш двох клітин, – розділилися всі чотири клітини.

В чому полягають наступні події:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.7.16 Дослід полягає в підкиданні двох монет – мідної та срібної. Розглядаються наступні події: А – герб випав на мідній монеті, В – цифра випала на мідній монеті, С – випав хоча б один герб, D – випав один герб і одна цифра, E – герб випав на срібній монеті.

В чому полягають наступні події:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.7.17 Нехай – три довільних події, які полягають у тому, що з відбулися:

а) тільки А ;

б) тільки і , але не відбулася;

в) всі три події;

г) більш двох подій.

1.7.18 Прилад складається з двох блоків. Перший блок складається з чотирьох однакових деталей і працює при справності хоча б двох з них. Другий блок складається з трьох однакових деталей і працює при справності хоча б однієї з них. Весь прилад працює, якщо працюють обидва блоки. Будемо вважати, що – справна -та деталь першого блока ( ), – справна -та деталь другого блока ( ) і протилежні їм події. Виразити наступні події:

а) А – перший блок працює; б) В – другий блок працює;

в) С – прилад працює; г) D – прилад не працює.

1.7.19 Враження бойового літака може відбутися або в результаті враження обох двигунів (події і ) або в результаті влучення снаряду в кабіну пілота (подія К). Подія А – враження літака. Записати А в алгебрі подій через , і К.

1.7.20 Прилад складається з двох блоків першого типу і трьох блоків другого типу. Подія – справний -й блок першого типу ( ), подія – справний -й блок другого типу ( ). Прилад справний, якщо справний хоча б один блок першого типу і не менш двох блоків другого типу.

Виразити С – справність приладу, через і .

1.8 Варіанти самостійного завдання №2

1.8.1 В урні три білих і п’ять чорних куль. З урни виймаються одночасно дві кулі. Яка з подій більш ймовірна:

а) А – кулі одного кольору;

б) В – кулі різних кольорів.

1.8.2 В розиграші першості по баскетболу приймають участь 18 команд, з яких випадковим чином формуються дві групи по дев’ять команд в кожній. Серед учасників змагань є п’ять команд екстракласу. Знайти ймовірність наступних подій:

а) А – всі команди екстракласу попадають в одну групу;

б) В – дві команди екстракласу попадають в одну з груп, а три - в іншу.

1.8.3 Визначити ймовірність того, що вибраний навмання виріб є першосортним, якщо відомо, що 4% усієї продукції – брак, а 75 % не бракованих виробів задовольняє вимогам першого сорту.

1.8.4 Пасажир чекає автобусу №3 або №7 біля зупинки, де зупиняються автобуси шести маршрутів: № 2, 3, 7, 8, 11, 23. Вважаючи, що автобуси всіх маршрутів з’являються в середньому однаково часто, знайти ймовірність того, що перший автобус, який під’їхав до зупинки буде потрібного пасажиру маршруту.

1.8.5 Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірності того, що добуток очок буде дорівнювати 6.

1.8.6 Серед кандидатів в студентську раду факультету три першокурсника, чотири другокурсника та шість третьокурсників. З цього составу навмання обирають п’ять осіб. Знайти ймовірність наступних подій:

а) А – будуть обрані тільки третьокурсники;

б) В – буде обраний наступний склад: два першокурсника, один другокурсник і два третьокурсника.

1.8.7 Робітник, який обслуговує два верстати, змушений був відлучитися на деякій час. Ймовірності того, що за цей час верстати не вимагатимуть уваги робітника, дорівнюють ; . Знайти ймовірність того, що за час відсутності робітника жоден верстат не буде потребувати його уваги.

1.8.8 Два стрілка, для яких ймовірності влучення в мішень дорівнюють 0,7 і 0,8, роблять по одному пострілу. Визначити ймовірність хоча б одного влучення в мішень.

1.8.9 Навмання взятий телефонний номер складається з п’яти цифр. Яка ймовірність того, що в ньому:

а) всі цифри різні;

б) всі цифри непарні.

1.8.10 Кожна з чотирьох несумісних подій може відбутися відповідно з ймовірностями: 0,7; 0,1; 0,6 і 0,2. Обчислити ймовірність того, що в результаті досліду відбудеться хоча б одна з цих подій.

1.8.11 Слово "блискавка" розрізали на букви, взяли навмання п’ять букв і виклали їх в ряд. Яка ймовірність того, що складеться слово "блиск"?

1.8.12 З десяти білетів виграшними є три. Визначити ймовірність того, що серед взятих навмання п’яти білетів хоча б один виграшний.

1.8.13 Відбувається три незалежних постріли по мішені: ймовірність влучення в мішень при першому, другому і третьому пострілах відповідно дорівнюють 0,1; 0,2; 0,3. Знайти ймовірність рівно двох влучень в мішень.

1.8.14 З колоди карт (32 карти), вилучають навмання 4 карти. Знайти ймовірність того, що серед них буде хоча б один туз.

1.8.15 Навмання вибирається п’ятизначне число. Яка ймовірність наступних подій:

а) А – число однаково читається як зліва направо, так і справа наліво;

б) В – число кратне п’яти.

1.8.16 Шкільна рада складається з 12 вчителів: семи жінок і п’яти чоловіків. Випадковим чином обирають п’ять вчителів для обговорення шкільних проблем. Яка ймовірність того, що в число обраних ввійдуть тільки жінки?

1.8.17 На п’яти картках написані цифри 1, 2, 3, 4, 5. Дослід складається з випадкового вибору трьох карток і розкладанні їх у порядку надходження. Знайти ймовірність наступних подій:

а) А – з’явиться число 412;

б) В – з’явиться число, яке не містить цифру 5.

1.8.18 Партія з 100 деталей піддається вибірковому контролю. Умовою непридатності всієї партії є наявність хоча б однієї бракованої деталі серед п’яти перевірених. Яка ймовірність для даної партії бути не прийнятою, якщо вона містить 10% несправних деталей.

1.8.19 Ймовірність того, що виготовлена на першому верстаті деталь буде першосортною, дорівнює 0,7. При виготовленні такої деталі на другому верстаті ця ймовірність дорівнює 0,8. На першому верстаті виготовлено дві деталі, на другому – три. Знайти ймовірність того, що всі деталі першосортні.

1.8.20 Вісім варіантів контрольної роботи, які написані на окремих картках, перемішуються і розподіляються випадковим чином серед шести студентів, які сидять в одному ряду, причому кожен отримує по одному варіанту. Знайти ймовірність наступних подій:

а) А – варіанти 4 і 6 отримають студенти, що сидять поруч;

б) В – будуть розподілені послідовні номери варіантів.

1.9 Варіанти самостійного завдання №3

1.9.1 На складі є 16 кінескопів, причому 10 з них виготовлені Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед п’яти взятих навмання кінескопів виявиться не менш 4 кінескопів Львівського заводу.

1.9.2 Маємо п’ять відрізків, довжини яких дорівнюють відповідно 1, 3, 5, 7 і 9 одиницям. Визначити ймовірність того, що за допомогою взятих навмання трьох відрізків з даних п’яти можна побудувати трикутник.

1.9.3 Числа 1, 2 ,..., 9 записуються у випадковому порядку. Знайти ймовірність того, що сума кожних двох чисел, які стоять на однакових відстанях від кінців, буде дорівнювати 10.

1.9.4 На п’яти картках написані цифри від 1 до 6. Дослід полягає у випадковому виборі трьох карток і розкладанні їх у порядку надходження в ряд зліва направо. Знайти ймовірності наступних подій: