Файл: Силяков В.А., Красюк В.Н. - Системы авиационной радиосвязи - 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 5037
Скачиваний: 108
141
(
)
( ) (
)
( ) (
)
0
0
2
0
0
0
0
2
, /
,
1
,
, /
,
,
, /
,
.
2
t
t
t
a
t
t
t
b
t
t
t
t
t
∂ π λ λ
=
∂
∂
∂
= −
λ π λ λ
+
λ π λ λ
∂
∂
(П1.9)
где коэффициенты
( )
,
a
t
λ
и
( )
,
b
t
λ
называют коэффициентами сноса и
диффузии или локальными характеристиками процесса
( )
t
λ
.
Коэффициент сноса
( )
,
a
t
λ
характеризует среднее значение локаль-
ной скорости, а коэффициент диффузии
( )
,
b
t
λ
– локальную скорость
изменения дисперсии приращения марковского процесса. Коэффици-
енты сноса и диффузии определяются выражениями:
( )
(
) ( ) ( )
1
0
,
lim
/
t
t
t
t
a
t
M
t
t
∆ →
λ + ∆ − λ
λ =
λ
∆
,
(П1.10)
( )
(
) ( )
( )
2
1
0
,
lim
/
t
t
t
t
b
t
M
t
t
∆ →
λ + ∆ − λ
λ =
λ
∆
,
(П1.11)
где
{ }
1
M
•
– оператор математического ожидания.
Уравнение (9) называется уравнением Фоккера–Планка–Колмогорова
(прямым уравнением, так как в нем используется производная по ко-
нечному моменту времени
t
>
t
0
). Вывод уравнения (9) приводится,
например, в [13,15].
Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я. Линейное уравнение в частных
производных (9) относится к параболическому типу. Его решения дол-
жно удовлетворять условиям (7) и начальному условию
(
) (
)
0
0
0
0
,
/
,
t
t
π λ
λ
= δ λ − λ
.
(П1.12)
Решение уравнения (9) для неограниченного пространства при на-
чальном условии (12) называется фундаментальным решением задачи
Коши.
142
Если значение марковского процесса
( )
t
λ
в начальный момент вре-
мени
t
0
не фиксировано, а является случайным и имеет плотность веро-
ятности
( )
0
p
λ
, то в качестве начального условия указывается эта плот-
ность вероятности
( )
( )
0
0
,
p
t
p
λ
=
λ
.
(П1.13)
4.
Уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова для плотности ве-
роятности марковского процесса в произвольный момент време-
ни.
Необходимую для решения задач фильтрации плотность вероятно-
сти в произвольный момент времени можно вычислить следующим
образом [13]. Используя условие согласованности плотностей веро-
ятности, имеем
( )
(
) (
)
0
0
0
0
0
,
,
, /
,
p t
p
t
t
t
d
∞
−∞
λ =
λ
π λ λ
λ
∫
.
(П1.14)
Отсюда видно, что при заданном начальном распределении
( )
( )
0
0
,
p
t
p
λ
=
λ
для определения
( )
,
p
t
λ
нужно найти фундаменталь-
ное решение уравнения (9) при начальном условии (12). Второй путь
позволяет сразу искать решение уравнения Фоккера–Планка–Колмого-
рова для плотности
( )
,
p
t
λ
с начальным условием (13). Для этого умно-
жим (9) на
(
)
0
0
,
p
t
λ
, проинтегрируем по
0
λ
и с учетом (14) получим
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
,
,
,
,
,
2
p
t
a
t p
t
b
t p
t
t
t
t
∂
∂
∂
λ = −
λ
λ
+
λ
λ
∂
∂
∂
. (П1.15)
Таким образом, одномерная плотность вероятности
( )
,
p
t
λ
, пред-
ставляющая для многих задач непосредственный практический инте-
рес, удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова (15).
При решении уравнения (15) нужно использовать в качестве началь-
ного условие (13), а также указать граничные условия.
Г р а н и ч н ы е у с л о в и я. Граничные условия определяются
сущностью задачи и могут быть весьма разнообразными. Формулиров-
ка граничных условий и их интерпретация рассмотрены в [13, 15]. Если
143
случайный процесс
( )
t
λ
может принимать значения в области
(
)
,
Λ = −∞ ∞
, то в практических задачах выполняются условия [15]
(
)
( )
,
,
0
p
t
p
t
−∞ =
∞ =
,
(П1.16)
которые называют нулевыми граничными условиями. В тех случаях,
когда функция
( )
t
λ
принимает ограниченные значения на интерва-
ле
( )
,
a b
Λ =
, уравнение (15) следует рассматривать в данной облас-
ти. При этом плотность вероятности
( )
,
p
t
λ
должна обращаться в
нуль на границах
( )
( )
,
,
0
p a t
p b t
=
=
,
(П1.17)
а граничное условие называется условием поглощающих границ [13, 15].
5.
Связь уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с дифферен-
циальным уравнением случайного процесса
. Известно, что марковс-
кий процесс полностью описывается своими локальными характерис-
тиками. Рассмотрим правила вычисления этих характеристик по
исходному стохастическому дифференциальному уравнению. Пусть од-
номерный марковский процесс
( )
t
λ
формируется фильтром, описыва-
емым стохастическим дифференциальным уравнением вида
( ) ( ) ( )
,
,
d
f
t
g
t n
t
dt
λ
λ = λ + λ
,
(П1.18)
где
( )
,
f
t
λ
и
( )
,
g
t
λ
– детерминированные дифференцируемые функ-
ции;
( )
n
t
λ
– белый гауссовский шум (из которого формируется сооб-
щение
( )
t
λ
) с нулевым математическим ожиданием
( )
{
}
1
0
M
n t
=
, од-
носторонней спектральной плотностью
2
N
λ
и корреляционной
функцией
( ) ( )
{
}
(
) (
)
1
1
1
1
2
2
M
n t n t
N
t
t
λ
=
δ −
.
Формулы, определяющие выражения для локальных характеристик,
зависят от того, в какой форме записано стохастическое дифференци-
альное уравнение типа (П1.18).
144
1. Если уравнение (П1.18) записано в форме Ито [13], то исходя из
(П1.10) и (П1.11) коэффициенты сноса и диффузии определяются вы-
ражениями [15]
( )
( )
( )
( )
2
,
, ,
,
, .
2
N
a
t
f
t
b
t
g
t
λ
λ =
λ
λ =
λ
(П1.19)
2. Если уравнение (П1.18) записано в симметризованной форме, то
коэффициенты сноса и диффузии имеют вид [15]
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
,
,
,
,
,
,
, .
4
2
g
t
N
N
a
t
f
t
g
t
b
t
g
t
λ
λ
∂ λ
λ =
λ +
λ
λ =
λ
∂λ
(П1.20)
Выражения для локальных характеристик векторных марковских про-
цессов
( )
t
λ
, заданных системой стохастических дифференциальных
уравнений, приведены в [13, 15]. Отметим, что по заданному уравне-
нию Фоккера–Планка–Колмогорова можно найти исходное стохастичес-
кое дифференциальное уравнение.
В третьем разделе стохастические дифференциальные уравнения
вида (П1.18) при
( )
,
1
g
t
λ =
записаны в симметризованной форме.
145
Приложение
2
Вывод уравнений нелинейной фильтрации
Уравнение Р. Л. Стратоновича для апостериорной плотности ве-
роятности (3.48) является интегродифференциальным уравнением в
частных производных и в общем случае не имеет точного решения.
Исключением является случай линейной фильтрации, в котором со-
общение представляет собой гауссовский марковский случайный
процесс и полезный сигнал линейно зависит от сообщения
( )
λ
t
. В
этом случае АПВ описывается нормальным законом распределения.
В общем случае в практическом плане задача сводится к отыска-
нию приближенных уравнений фильтрации, обеспечивающих удов-
летворительную погрешность и простую техническую реализацию.
Существуют различные способы приближенного решения уравнения
Р. Л. Стратоновича (3.48), обеспечивающие построение алгоритмов
нелинейной фильтрации. Наибольшее распространение получил при-
ближенный способ решения, основанный на аппроксимации апосте-
риорной плотности
( )
,
λ
p t
нормальной плотностью вероятности (га-
уссовское приближение). Получаемые при этом алгоритмы принято
называть квазиоптимальными или квазилинейными [14, 15].
При отыскании квазиоптимальных алгоритмов нелинейной филь-
трации используют несколько методов, в том числе: метод построе-
ния алгоритмов, основанный на разложении коэффициентов сноса
( )
,
λ
a t
, диффузии
( )
,
λ
b t
и функции
( )
,
λ
F t
в ряд Тейлора в точке
ˆ
λ
; метод текущей линеаризации и другие [14].
Особое место занимает метод построения алгоритмов нелинейной
фильтрации гауссовских сообщений, асимптотически оптимальных
как при малых, так и при больших отношениях сигнал/шум [14]. Учи-
тывая большую прикладную значимость данного способа, из методи-
ческих соображений проведем подробные преобразования при пост-
роении уравнений фильтрации.