Файл: Силяков В.А., Красюк В.Н. - Системы авиационной радиосвязи - 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 5034
Скачиваний: 108
146
Одномерные уравнения наблюдения и сообщения
Рассмотрим одномерные уравнение сообщения и уравнение наблю-
дения
( )
( )
λ
λ
,
λ
d
g t
n
t
dt
=
+
,
( )
( )
λ
λ
,
λ
d
g t
n
t
dt
=
+
.
Уравнение для апостериорной плотности вероятности
0
( ,
λ)
( ,λ / ξ )
t
p t
p t
=
в данном случае имеет вид [14]
( )
( )
( )
( )
( )
2
λ
2
,
λ
( ,
λ)
1
,
λ ( ,λ)
λ
4
λ
,
λ
( )
,λ ,
p t
p t
g t
p t
N
t
t
F t
F t
p t
∂
∂
∂
= −
+
+
∂
∂
∂
+
−
(П2.1)
где
λ
∈Λ
, функции
( ,
λ)
F t
и
F
(
t
) определяются исходя из (3.49) выра-
жениями
[
]
[
]
Т
1
1
( ,
λ)
ξ( ) s( ,λ) N ξ( ) s( ,λ)
2
F t
t
t
t
t
−
= −
−
−
,
( )
( ,
λ) ( ,λ) λ.
F t
F t
p t
d
Λ
=
∫
При построении уравнений фильтрации за
( ,
λ)
p t
исходную прини-
маем нормальную апостериорную плотность вероятности
2
1/2
ˆ
λ–λ( )
1
( ,
λ)
exp
,
2 ( )
(2
π ( ))
t
p t
R t
R t
=
−
(П2.2)
где
ˆ
λ( )
t
и
R
(
t
) – математическое ожидание и дисперсия ошибки оцени-
вания, которые полностью определяют
( ,
λ)
p t
. Выведем уравнения для
алгоритма нелинейной фильтрации.
147
Вывод уравнения оценивания
. Умножим обе части (1) на
λ
и про-
интегрируем по области возможных значений
Λ =( , )
a b
. В результате
получим уравнение
( )
( )
[
]
2
λ
2
Λ
Λ
Λ
( ,
λ)
( ,λ)
1
λ
λ
,λ ( ,λ)
λ
λ
4
λ
λ ( ,λ)
( ) ( ,λ) λ.
p t
p t
d
g t
p t
N
t
d
t
F t
F t p t
d
∂
∂
∂
= λ −
+
+
∂
∂
∂
+
−
∫
∫
∫
( П2.3 )
В уравнении (3)
λ
является параметром (не меняется во времени).
Поэтому левая часть (3) с учетом выражения (3.10) для оценки
ˆ
λ
равна
( )
Λ
ˆ
λ
( ,
λ)
λ
λ
λ ( ,λ) λ
t
p t
d
p t
d
t
t
t
Λ
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∫
∫
.
(П2.4)
Интеграл в четвертом слагаемом правой части выражения (3) равен
( )
( )
( )
Λ
Λ
Λ
ˆ
ˆ
λ ( ) ( ,λ) λ
λ
,λ λ λ ( ) λ
( ,λ)
,λ λ
F t p t
d
F t
p t
d
F t
F t
p t
d
=
=
=
∫
∫
∫
.
В результате (для сокращения записи воспользуемся введенным в
разд. 3 обозначением для оператора Фоккера–Планка–Колмогорова) урав-
нение (3) преобразуется к виду
( )
(
)
( )
( ) ( )
Λ
Λ
ˆ
λ
ˆ
λ
( ,λ) λ
λ–λ
,λ
,λ λ
t
L p t
d
F t
p t
d
t
∂
=
+
∂
∫
∫
.
(П2.5)
Для отыскания значений интегралов в уравнении (5) будем исполь-
зовать формулу интегрирования по частям
b
b
b
a
a
a
u dv
u v
v du
=
−
∫
∫
,
(П2.6)
и учитывать граничные условия
( ,
λ
)
( ,λ
) 0
p t
a
p t
b
=
=
= =
,
( )
[ ]
λ
,
t
a b
∈
, рассмотренные в [13…15] и приведенные в Прил. 1.
148
Запишем выражение для первого слагаемого, входящего в правую
часть (5), в развернутом виде
(
)
( )
1
λ
Λ
Λ
( ,
λ)
1
λ
( ,λ) λ
λ
,λ ( ,λ)
λ
λ
4
λ
p t
I
L p t
d
g t
p t
N
d
∂
∂
=
=
−
+
∂
∂
∫
∫
.
Проинтегрируем первое слагаемое в фигурных скобках
( )
{
}
11
Λ
λ
,λ ( ,λ) λ
λ
I
g t
p t
d
∂
= −
∂
∫
.
Полагаем
( )
λ,
λ,
v
,λ ( ,λ) ,
λ
u
du
d
d
g t
p t
∂
=
=
=
∂
а неопределен-
ный интеграл, определяющий v, дает (константу опустим)
( )
{
}
( )
{
}
( )
v
,
λ ( ,λ) λ
,λ ( ,λ) λ
,λ ( ,λ)
λ
d
g t
p t
d
g t
p t
d
g t
p t
∂
=
=
=
∂
∂λ
∫
∫
.
В соответствии с формулой интегрирования по частям и граничны-
ми условиями
( , )
( , )
0
p t a
p t b
=
=
, получим
( )
{
}
( )
( ) ( )
( ) ( )
11
Λ
Λ
λ
,λ ( ,λ) λ
λ
,λ ( ,λ)
λ
,
λ
,λ λ
λ
,λ
,λ λ.
λ
b
a
I
g t
p t
d
g t
p t
d
g t
p t
d
d
g t
p t
d
d
Λ
∂
= −
= −
+
∂
+
=
∫
∫
∫
∫
Найдем выражение для второго слагаемого в фигурных скобках, при-
чем в данном случае
( ,
λ)
( ,λ)
λ,
v
,
λ, v
.
λ
λ
p t
p t
u
d
d u
d
∂
∂
∂
=
=
=
=
∂
∂ λ
∂
Интегрируя по частям, легко убедиться, что интеграл
12
( , )
1
λ
0
4
B
A
p t
λ
I
N
d
λ
∂
∂
=
λ =
∂λ
∂λ
∫
.
149
В результате получим, что первое слагаемое в уравнении (5) равно
(
)
( ) ( )
1
Λ
Λ
λ
( ,λ) λ
,λ
,λ λ
I
L p t
d
g t
p t
d
=
=
∫
∫
.
(П2.7)
Второе слагаемое в (5) имеет вид
( )
( )
2
ˆ
λ λ
,λ ( ,λ) λ
I
F t
p t
d
Λ
=
−
∫
.
(П2.8)
Для отыскания значения интеграла (8) предварительно запишем про-
изводную апостериорной плотности (2). Используя правило дифферен-
цирования сложных функций, имеем
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2
1/ 2
2
1/ 2
ˆ
λ λ
( ,
λ)
1
exp
λ
λ
2
2
π
ˆ
ˆ
ˆ
λ λ
λ λ
λ λ
1
exp
,
λ
.
2
2
π
t
p t
R t
R t
t
t
p t
R t
R t
R
R t
−
∂
∂
=
−
=
∂
∂
−
−
−
= −
−
= −
(П2.9)
Сравнивая (8) с (9), видим, что входящее в подынтегральную функ-
цию в (8) произведение
( )
( )
( ,
λ)
ˆ
λ λ
,λ
λ
p t
p t
R
∂
−
= −
∂
,
(П2.10)
и, следовательно, получим
( )
( )
2
Λ
Λ
( ,
λ)
ˆ
λ λ
,λ ( ,λ) λ
( ,λ)
λ
λ
p t
I
F t
p t
d
R F t
d
∂
=
−
= −
∂
∫
∫
.
Для определения
I
2
в правой части данного соотношения использу-
ем формулу интегрирования по частям и те же граничные условия.
Полагая
( )
( )
( )
( )
,
λ
,λ
,
λ ,
v
,
, v
,λ ,
λ
λ
p t
F t
u
F t
d
du
p t
∂
∂
=
=
=
=
∂
∂
150
получим интересующий нас результат
( )
( )
( )
2
,
λ
,
λ ( ,λ)
( ,λ) λ
λ
,
λ
( ,
λ) λ.
λ
b
a
F t
I
R F t
p t
R
p t
d
F t
R
p t
d
Λ
Λ
∂
= −
+
=
∂
∂
=
∂
∫
∫
(П2.11)
В итоге уравнение оценивания с учетом соотношений (4), (7) и (11)
можно представить в виде
( )
( )
( )
ˆ
λ
,λ
,
λ ( ,λ) λ
( ,λ) λ
λ
t
F t
g t
p t
d
R
p t
d
t
Λ
Λ
∂
∂
=
+
⋅
∂
∂
∫
∫
(П2.12)
Вывод уравнения для апостериорной дисперсии R
. Уравнение
для апостериорной дисперсии выведем исходя из тождества
( )
( )
( )
( )
2
2
Λ
,
λ
ˆ
ˆ
λ λ
,λ λ
λ λ
λ
p t
dR
d
p t
d
d
dt
dt
t
Λ
∂
=
−
=
−
∂
∫
∫
. (П2.13)
Выражение для производной
( )
,
λ
p t
t
∂
∂
в правой части тождества
(13) определяется правой частью уравнения (1). В результате его под-
становки имеем
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
Λ
2
2
2
λ
2
Λ
Λ
2
ˆ
λ λ
,λ
,λ
λ
λ
,
λ
ˆ
ˆ
λ λ
λ
λ λ
,λ
,λ λ
4
λ
ˆ
λ λ
,λ λ.
dR
g t
p t
d
dt
p t
N
d
F t
p t
d
F t p t
d
Λ
∂
=
−
−
+
∂
∂
+
−
+
−
−
∂
−
−
∫
∫
∫
∫
(П2.14)
Найдем входящий в (14) первый интеграл
( )
( ) ( )
2
1
Λ
ˆ
λ λ
,λ
,λ
λ.
λ
I
g t
p t
d
∂
= −
−
∂
∫
.