Файл: Силяков В.А., Красюк В.Н. - Системы авиационной радиосвязи - 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 5052
Скачиваний: 108
151
Полагая, что
( )
( ) ( )
2
ˆ
λ λ ,
v
,λ
, λ
λ
u
d
g t
p t
∂
=
−
=
∂
, используем
формулу интегрирования по частям и граничные условия, тогда полу-
чим
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1
ˆ
ˆ
λ λ
, λ
,λ
2 λ λ
,λ
,λ λ
ˆ
2
λ λ
,λ
,λ λ.
b
a
I
g t
p t
g t
p t
d
g t
p t
d
Λ
Λ
= − −
+
−
=
=
−
∫
∫
Учитывая соотношение (10) можем записать
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
,
λ
ˆ
2
λ λ
,λ
,λ
λ
2
,λ λ
λ
p t
I
p t
g t
d
R
g t
d
Λ
Λ
∂
=
−
= −
∂
∫
∫
.
Полагая в полученном интеграле
( )
,
λ
u
g t
=
,
( )
v
,
λ
λ
d
p t
= ∂
∂
,
( )
,
λ
λ
du
g t
= ∂
∂
,
( )
v
,
λ
p t
=
и интегрируя, окончательно имеем
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
,
λ
2
,
λ
,λ
2
,λ λ
λ
,
λ
2
,
λ λ.
λ
b
a
g t
I
R g t
p t
R
p t
d
g t
R
p t
d
Λ
Λ
∂
= −
+
=
∂
∂
=
∂
∫
∫
(П2.15)
Рассмотрим второе слагаемое выражения (14). Полагая
( )
2
ˆ
λ λ
u
=
−
,
( )
2
2
v
,
λ
λ
d
p t
= ∂
∂
,
( )
ˆ
2
λ λ
du
=
−
,
( )
v
,
λ
λ
p t
= ∂
∂
, получим
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
λ
2
2
2
λ
λ
Λ
,
λ
ˆ
λ λ
λ
4
λ
,
λ
,λ
ˆ
ˆ
λ λ
λ λ λ.
4
λ
2
λ
b
a
p t
N
I
d
p t
p t
N
N
d
Λ
∂
=
−
=
∂
∂
∂
−
−
−
∂
∂
∫
∫
152
Значение первого слагаемого равно нулю в силу граничных условий.
Для вычисления интеграла во втором слагаемом положим
( )
( )
( )
,
λ
ˆ
λ λ ,
v
,
λ, v
,λ .
λ
p t
u
d
du
d
p t
∂
=
−
=
=
=
∂
Тогда с учетом граничных условий и условия нормировки имеем
( )
( )
( )
λ
λ
λ
2
ˆ
λ λ
,λ
,λ λ
2
2
2
b
a
N
N
N
I
p t
p t
d
Λ
= −
−
+
=
∫
.
(П2.16)
Выражение для третьего слагаемого в (14) с учетом соотношения
(10) можно представить в виде
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
3
,
λ
ˆ
ˆ
λ λ
,λ
,λ λ
λ λ
,λ
Λ
λ
p t
I
F t
p t
d
R
F t
d
Λ
Λ
∂
=
−
= −
−
∂
∫
∫
.
Полагая, что
( )
( )
ˆ
λ λ
,λ
u
F t
=
−
,
( )
v
,
λ
λ
d
p t
= ∂
∂
,
( )
( )
ˆ
λ λ
,λ
,
du
d
F t
d
=
−
λ
( )
v
,
λ
p t
=
и интегрируя, получим
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3
ˆ
ˆ
λ λ
,λ
,λ
,λ
λ λ
,λ
λ
λ
b
a
I
R
F t
p t
R p t
F t
d
Λ
∂
= −
−
+
−
∂
∫
,
причем первое слагаемое равно нулю в силу граничных условий. Тогда
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3
ˆ
,
,
,
,
,
ˆ
,
,
I
R p t
F t
d
R p t
F t
d
F t
R
p t
d
Λ
Λ
Λ
∂
=
λ
λ − λ
λ
λ =
λ
λ λ +
∂λ
∂
λ
+
λ − λ
λ
λ
∂λ
∫
∫
∫
или, используя выражение для функции
F
(
t
) , можем записать
( )
( )
( )
3
,
ˆ
,
( )
F t
I
R
p t
d
RF t
Λ
∂
λ
=
λ − λ
λ
λ +
∂λ
∫
.
Сомножитель в квадратных скобках выразим, используя (10), тогда
153
( )
( )
( )
2
3
,
,
p t
F t
I
RF t
R
d
Λ
∂
λ ∂
λ
=
−
λ
∂λ
∂λ
∫
.
Обозначим
( )
,
F t
u
∂
λ
=
∂λ
,
( )
,
v
p t
d
∂
λ
=
∂λ
и выполним интегрирова-
ние по частям. С учетом граничных условий имеем
( ) ( )
( )
2
2
3
2
,
,
F t
I
R
p t
d
R F t
Λ
∂
λ
=
λ λ +
∂ λ
∫
.
(П2.17)
Принимая во внимание аналитическое выражение для апостериор-
ной дисперсии оценки
R,
легко убедиться, что четвертое слагаемое в
(14) равно
( )
( )
( )
( )
2
4
ˆ
,
I
F t
p t
d
R F t
Λ
= −
λ − λ
λ λ = −
∫
.
(П2.18)
Суммируя выражения (15)…(18), получим уравнение для апостери-
орной дисперсии
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
,
,
2
,
,
.
2
g t
F t
N
dR
R
p t
d
R
p t
d
dt
λ
∂
λ
∂
λ
=
λ λ +
+
λ λ
∂λ
∂λ
∫
∫
(П2.19)
Выражения (П2.12) и (П2.19) при принятой аппроксимации
( )
,
p t
λ
полностью описывают алгоритм нелинейной фильтрации сообщения.
Многомерные уравнения наблюдения и сообщения
В общем случае наблюдения и сообщения задаются векторными урав-
нениями [14]
{
}
( )
( , ( )); ( )
( , ( ))
( ),
t
F
t
t
t
t
t
t
=
=
+
ξ
s λ
n
s λ
n
(П2.20)
( )
( , )
( ).
d
t
t
t
dt
λ
=
+
λ
g
λ n
(П2.21)
где
( )
t
ξ
– вектор-столбец наблюдений размерности
(
)
М 1
×
;
( , ( ))
t
t
s
λ
–
сигнал, являющийся векторной функцией – столбцом размерности
154
(
)
М 1
×
, непрерывный по всем аргументам;
n
(
t
)– вектор-столбец гаус-
совых белых шумов размерности
(
)
М 1
×
с нулевым вектором матема-
тических ожиданий и матрицей ковариационных функций
{
}
т
1
1
2
1
2
( )
( )
(
).
M
t
t
t
t
⋅
= ⋅δ −
n
n
N
Матрица
{
}
,
2
m n
N
=
N
,
(
)
,
1...
m n
M
=
,
является симметрической, ее элементами являются деленные на два од-
носторонние спектральные интенсивности компонент, включая и вза-
имные спектральные интенсивности. Векторная функция-столбец
( , ( ))
t
t
g
λ
размерности
(
)
1
P
×
непрерывна по своим аргументам;
( )
t
λ
n
–
вектор-столбец белых гауссовых шумов с нулевыми средними и матри-
цей корреляционных функций
{
}
Т
1
1
2
1
2
( )
( )
(
).
M
t
t
t
t
λ
λ
λ
⋅
=
δ −
n
n
N
Примененную методику вывода алгоритма нелинейной фильтрации
можно использовать для случая многомерных наблюдений и сообще-
ний, описываемых уравнениями (П2.20). Апостериорная плотность ве-
роятности
0
( , )
( , /
)
t
p t
p t
=
λ
λ ξ
в этом случае удовлетворяет уравнению
[
] [
]
( )
( , )
( , )
( , )
( )
,
p t
L p t
F t
F t
p t
t
∂
=
+
−
∂
λ
λ
λ
λ
,
(П2.22)
где функции
( , )
F t
λ
и
F
(
t
) даются выражениями
[
]
[
]
Т
1
1
( , )
( )
( , )
( )
( , )
2
F t
t
t
t
t
−
= −
−
−
λ
ξ
s λ
N ξ
s λ
,
( )
( )
( , )
,
F t
F t
p t
Λ
=
∫
λ
λ d λ
,
а
[
]
( , )
L p t
λ
– оператор Фоккера–Планка–Колмогорова, соответствую-
щий уравнению сообщения (П2.21), определяется выражением
[
]
1
2
1
1
( , )
( , ) ( , )
1
( , ) .
2
P
p
p
p
P
P
pq
p
q
p
q
L p t
g
t
p t
N
p t
=
λ
= =
∂
= −
+
∂λ
∂
+
∂λ ∂λ
∑
∑∑
λ
λ
λ
λ
(П2.22)
155
При построении уравнений фильтрации за исходную
( ,
λ)
p t
прини-
маем многомерную нормальную апостериорную плотность вероятности
( )
{
}
Т
1
/ 2
1/ 2
1
1
ˆ
ˆ
( , )
exp
( )
( )
( )
( )
( ) .
2
2
( )
P
p t
t
t
t
t
t
t
−
=
−
−
−
π
λ
λ
λ
R
λ
λ
R
(П2.23)
При данной аппроксимации по аналогии со скалярным случаем не-
обходимо оценить вектор средних значений
ˆ ( )
t
λ
и корреляционную мат-
рицу ошибок оценки
R
(
t
), которые полностью определяют АПВ. При-
менение такого подхода с использованием (П2.23), приводит к алгоритму
фильтрации, определяемому системой уравнений [14]
( )
{
}
( )
1
1
1
λ
,
,
λ
P
p
p
pq
p
p
d
F t
M
a
t
R
M
dt
=
∂
=
+
∂λ
∑
λ
,
(П2.24)
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
2
1
1
1
,
2
,
,
,
,
,
1... ,
pq
pq
P
p
q
p
q
P
P
p
q
dR
N
t
M
dt
a
t
a
t
M
R
M
R
F t
R
R M
p q
P
µ
µ
µ
µ
µ=
µ
ν
µ
ν
µ= ν=
=
+
∂
∂
+
+
+
∂λ
∂λ
∂
+
=
∂λ ∂λ
∑
∑∑
λ
λ
λ
λ
(П2.25)
где
{ }
1
M
•
– оператор осреднения с апостериорной плотностью вероят-
ностей (П2.23).