ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 709
Скачиваний: 5
Дифференциал функции.
Пусть функция
x
f
y
имеет производную в точке
x
:
)
(
lim
0
x
f
x
y
x
Тогда можно записать:
)
(
x
f
x
y
, где
0
, при
0
x
.
Следовательно:
x
x
x
f
y
)
(
.
Величина
x
- бесконечно малая при
0
x
, т.е.
x
x
f
- главная часть
приращения
y
.
Определение.
Дифференциалом
функции
x
f
y
в точке
x
называется главная
линейная часть приращения функции.
Обозначается
dy
или
x
df
или просто
df
.
Из определения следует, что
dx
x
f
x
x
f
df
dy
.
Можно также записать:
dx
dy
x
f
)
(
Геометрический смысл дифференциала
Из треугольника
MKL
:
x
y
x
tg
dy
KL
Таким образом, дифференциал функции
x
f
в точке
x
равен приращению ординаты
касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Как следует из определения дифференцируемой функции её приращение может быть
представлено в виде
x
x
x
x
f
x
f
0
0
Дифференциал функции, таким образом
,
является главной частью приращения
функции. Следовательно, приращение функции в некоторой произвольной точке
0
x
можно
приближённо записать в виде
x
x
f
x
f
0
0
Т.к
0
0
x
f
x
f
x
f
, а
0
x
x
x
получаем
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
f
Полученная формула носит название
формулы линеаризации
.
Свойства дифференциала.
Если
x
f
u
и
x
g
v
-
функции, дифференцируемые в точке
x
, то
непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1)
dv
du
dx
v
dx
u
dx
v
u
v
u
d
2)
vdu
udv
dx
v
u
v
u
dx
uv
uv
d
3)
Cdu
Cu
d
4)
2
v
udv
vdu
v
u
d
Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть
x
f
y
и
t
g
x
,
т.е
y
- сложная функция. Тогда
dx
x
f
dt
t
g
x
f
dy
.
Видно, что форма записи дифференциала
dy
не зависит от того, будет ли
x
независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем, эта
форма записи называется
инвариантной формой записи дифференциала
.
Однако, если
x
- независимая переменная, то
x
dx
, но если
x
зависит от
t
, то
x
dx
.
Таким образом, форма записи
x
x
f
dy
уже не является инвариантной.
Теоремы о среднем.
Теорема Ролля.
(Ролль (1652-1719)- французский математик)
Если функция
x
f
непрерывна на отрезке
b
a
,
, дифференцируема на интервале
b
a
,
и значения функции на концах отрезка равны
b
f
a
f
, то на интервале
b
a
,
существует точка
,
b
a
, в которой производная функция
x
f
равная нулю, т.е.
0
f
.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий
теоремы на интервале
b
a
,
существует точка
такая, что в соответствующей точке кривой
x
f
y
касательная параллельна оси
Ox
. Таких точек на интервале может быть и
несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
Доказательство.
По свойству функций, непрерывных на отрезке функция
x
f
на
отрезке
b
a
,
принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения
M
и
m соответственно. Возможны два различных случая
m
M
и
m
M
.
Пусть
m
M
. Тогда функция
x
f
на отрезке
b
a
,
сохраняет постоянное значение и
в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за
можно принять
любую точку интервала.
Пусть
m
M
. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М
или m функция принимает внутри отрезка
b
a
,
. Обозначим
,
b
a
точку, в которой
M
f
. Так как
M
- наибольшее значение функции, то для любого
x
( будем считать,
что точка
x
находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:
0
f
x
f
f
При этом
0
,
0
0
,
0
)
(
x
если
x
если
x
f
Но так как по условию производная в точке
существует, то существует и предел
x
f
x
)
(
lim
0
.
Т.к.
0
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
и
0
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
, то можно сделать вывод:
.
0
)
(
.
.
,
0
)
(
lim
0
f
е
т
x
f
x
Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет несколько
следствий
:
1)
Если функция
x
f
на отрезке
b
a
,
удовлетворяет теореме Ролля, причем
0
b
f
a
f
, то существует по крайней мере одна точка
,
b
a
, такая, что
0
f
. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой
производная функции равна нулю.
2)
Если на рассматриваемом интервале
b
a
,
функция
x
f
имеет производную
1
n
- го
порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала,
в котором производная
1
n
– го порядка равна нулю.
Теорема Лагранжа.
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)
Если функция
x
f
непрерывна на отрезке
b
a
,
и дифференцируема на интервале
b
a
,
, то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка
,
b
a
, такая, что
)
(
)
(
)
(
f
a
b
a
f
b
f
.
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то
отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению
производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Отношение
a
b
a
f
b
f
)
(
)
(
равно угловому коэффициенту секущей
AB
.
Если функция
x
f
удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале
b
a
,
существует точка
такая, что в соответствующей точке кривой
x
f
y
касательная
параллельна секущей, соединяющей точки
A
и
B
. Таких точек может быть и несколько, но
одна существует точно.
Доказательство.
Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
секAB
y
x
f
x
F
Уравнение секущей
AB
можно записать в виде:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
x
f
x
F
a
x
a
b
a
f
b
f
a
f
y
Функция
x
F
удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на
отрезке
b
a
,
и дифференцируема на интервале
b
a
,
. По теореме Ролля существует хотя бы
одна точка
,
b
a
, такая что
0
F
.
Т.к.
a
b
a
f
b
f
x
f
x
F
)
(
)
(
)
(
)
(
, то
0
)
(
)
(
)
(
)
(
a
b
a
f
b
f
f
F
, следовательно
a
b
a
f
b
f
f
)
(
)
(
)
(
Теорема доказана.
Определение.
Выражение
)
)(
(
)
(
)
(
a
b
f
b
f
a
f
называется
формулой Лагранжа
или
формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых
разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
x
x
x
f
y
)
(
, где
1
0
,
a
b
x
,
a
f
b
f
y
.
Теорема Коши.
( Коши (1789-1857)- французский математик)
Если функции
x
f
и
x
g
непрерывны на отрезке
b
a
,
и дифференцируемы на
интервале
b
a
,
и
0
x
g
на интервале
b
a
,
, то существует по крайней мере одна точка
,
b
a
, такая, что
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
g
f
a
g
b
g
a
f
b
f
.
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению
производных в точке
.
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться
теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем
разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка
для каждой из
функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка
интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это очень редкое совпадение,
а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
))
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
g
x
g
a
g
b
g
a
f
b
f
a
f
x
f
x
F
,
которая на интервале
b
a
,
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при
a
x
и
b
x
0
a
F
b
F
. Тогда по теореме Ролля существует такая точка
,
b
a
,
такая, что
0
F
. Т.к.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
a
g
b
g
a
f
b
f
x
f
x
F
, то
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
g
a
g
b
g
a
f
b
f
f
F
А т.к.
0
)
(
g
, то
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
a
g
b
g
a
f
b
f
.
Теорема доказана.
Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным
случаем (при
x
x
g
) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко
используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных
результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что
будет подробно рассмотрено ниже.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция
x
f
- дифференцируема на некотором интервале. Тогда,
дифференцируя ее, получаем первую производную
dx
x
df
x
f
y
)
(
)
(
Если найти производную функции f
(x), получим
вторую производную
функции f(x).
2
2
)
(
)
(
dx
x
f
d
x
f
y
т.е.
y
y
или
dx
dy
dx
d
dx
y
d
2
2
.
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
1
1
n
n
n
n
dx
y
d
dx
d
dx
y
d
.
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции
x
f
u
и
x
g
v
дифференцируемы, то
1)
n
n
Cu
Cu
;
2)
n
n
n
v
u
v
u
;
3)
...
!
)]
1
(
)...[
1
(
...
!
2
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
k
k
n
n
n
n
n
v
u
k
k
n
n
n
v
u
n
n
v
nu
vu
v
u
)
(
...
n
uv
.
Это выражение называется
формулой Лейбница.
Обозначение.
Множество
n
раз непрерывно дифференцируемых функций
обозначается
b
a
n
C
,
(
b
a
n
C
x
f
,
), множество бесконечно дифференцируемых функций –
соответственно
b
a
C
,
(
b
a
C
x
f
,
)
По формуле
n
n
n
dx
x
f
y
d
может быть найден дифференциал n - го порядка.
Отметим при этом, что дифференциалы высших порядков
не обладают свойством
инвариантности
.
Покажем это на примере второго дифференциала. Если
t
f
x
f
y
,
где
t
x
,
то
dx
x
f
d
y
d
2
В случае если
x
независимая переменная имеем
2
2
2
dx
x
f
dx
x
f
dxdx
x
f
dx
x
f
d
y
d
Но, если
t
x
, то
dt
t
dx
зависит от
t
, поэтому
x
d
x
f
dx
x
f
dx
d
x
f
dx
x
f
d
dx
x
f
d
y
d
2
2
2
, где
2
2
dt
t
x
d
Таким образом, форма второго дифференциала изменилась при переходе от
независимой переменной к сложной функции
Формула Тейлора.
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора.
1)
Пусть функция
x
f
бесконечно дифференцируема в
окрестности точки
a
x
. Тогда, в некоторой окрестности точки
a справедливо
следующее разложение: