ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 705
Скачиваний: 5
которое достаточно близко к значению
х
, и значение функции от этого числа легко
вычисляется.
Для примера вычислим значение
20
sin
.
Предварительно переведем угол
20 в радианы:
9
20
.
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами
разложения:
341854
,
0
000043
,
0
007078
,
0
348889
,
0
9
!
5
1
9
!
3
1
9
9
sin
20
sin
5
3
0
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
1
2
3
4
5
0. 344
0. 346
0. 348
На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от
количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то
достигается точность до 0,0002.
Выше говорилось, что при
0
x
функция
x
y
sin
является бесконечно малой и
может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию
x
y
. Теперь видно, что при
x
, близких к нулю, можно практически без потери в точности
ограничиться первым членом разложения, т.е.
x
x
sin
.
Пример:
Вычислить
5
1
3
1
28
sin
.
Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся
соотношениями:
180
1
;
180
28
28
;
180
60
1
;
180
60
13
3
1
;
180
60
60
1
;
180
60
60
15
5
1
;
492544
,
0
60
60
15
13
60
60
60
28
180
180
60
60
15
180
60
13
180
28
5
1
3
1
28
0
рад
Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами,
получим:
sinx =
472871
,
0
000242
,
0
019915
,
0
492544
,
0
5
1
3
1
28
sin
120
6
sin
5
5
3
x
o
x
x
x
x
.
Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,
12759812
4728690176
,
0
5
1
3
1
28
sin
,
видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила
0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.
Функция
x
x
f
1
ln
.
Получаем:
0
0
,
1
ln
f
x
x
f
;
1
0
,
1
1
f
x
x
f
;
;
)
1
(
1
)
(
2
x
x
f
;
1
)
0
(
f
;
)
1
(
)
2
(
1
)
(
3
x
x
f
;
2
)
0
(
f
………………………………………
;
)
1
(
)!
1
(
)
1
(
)
(
1
)
(
n
n
n
x
n
x
f
;
)!
1
(
)
1
(
)
(
1
)
(
n
x
f
n
n
Итого:
);
(
!
)!
1
(
)
1
(
...
!
3
2
1
2
1
)
1
ln(
1
1
3
2
x
R
x
n
n
x
x
x
x
n
n
n
)
(
)
1
(
...
3
2
)
1
ln(
1
1
3
2
x
R
x
n
x
x
x
x
n
n
n
;
1
)!
1
(
!
)
1
(
)
(
1
1
n
n
n
x
n
n
x
R
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только
натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления
натурального логарифма
5
,
1
ln
. Сначала получено точное значение, затем – расчет по
полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает
0,0003.
08164381
4054651081
,
0
5
,
1
ln
l
4058035
,
0
7
5
,
0
6
5
,
0
5
5
,
0
4
5
,
0
3
5
,
0
2
5
,
0
5
,
0
)
5
,
0
1
ln(
5
,
1
ln
7
6
5
4
3
2
Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в
специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего
большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.
Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к
приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к
вычислению интегралов.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
;
1
;
;
0
;
;
0
0
0
Теорема (правило Лопиталя).
Если функции
x
f
и
x
g
дифференцируемы в вблизи
точки а, непрерывны в точке a ,
x
g
отлична от нуля вблизи a и
0
a
g
a
f
, то предел
отношения функций при
a
x
равен пределу отношения их производных, если этот предел
(конечный или бесконечный) существует.
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
Доказательство.
Применив формулу Коши, получим:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
g
f
a
g
x
g
a
f
x
f
где
- точка, находящаяся между
a
и
x
. Учитывая, что
0
a
g
a
f
:
)
(
)
(
)
(
)
(
g
f
x
g
x
f
Пусть при
a
x
отношение
)
(
)
(
x
g
x
f
стремится к некоторому пределу. Т.к. точка
лежит между точками
a
и
x
, то при
a
x
получим
a
, а следовательно и отношение
)
(
)
(
g
f
стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
.
Теорема доказана.
Пример:
Найти предел
e
e
x
x
x
x
ln
1
lim
2
1
.
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается
неопределенность вида
0
0
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби
удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
x
x
x
f
1
2
;
x
e
x
g
;
e
e
e
x
x
x
g
x
f
x
x
3
1
2
1
2
)
(
)
(
lim
1
;
Пример:
Найти предел
1
2
lim
3
x
x
e
arctgx
.
2
1
2
)
(
x
x
f
;
2
3
3
)
(
x
e
x
g
x
;
3
2
)
3
(
1
)
1
0
(
2
)
3
(
)
1
(
2
lim
3
2
2
x
x
e
x
x
.
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить
предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено
второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только
в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям
теоремы Лопиталя.
Пример:
Найти предел
x
x
x
e
x
xe
2
lim
.
)
2
1
1
(
)
(
2
x
e
x
f
x
;
x
e
x
g
1
)
(
;
)
4
(
4
1
4
2
1
2
1
)
(
2
2
2
2
x
e
e
x
e
e
x
f
x
x
x
x
;
x
e
x
g
)
(
;
2
2
)
4
(
4
1
lim
)
4
(
4
1
lim
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
4
1
)
(
x
f
;
2
2
1
)
(
x
e
x
g
;
;
0
2
1
lim
2
x
x
e
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления
пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть
использован и какой-либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
Пример.
Найти предел
x
x
x
e
e
x
x
x
sin
2
lim
0
.
2
)
(
x
x
e
e
x
f
;
x
x
g
cos
1
)
(
;
0
0
1
1
2
1
1
cos
1
2
lim
0
x
e
e
x
x
x
Применим правило Лопиталя еще раз.
x
x
e
e
x
f
)
(
;
x
x
g
sin
)
(
;
0
0
0
1
1
sin
lim
0
x
e
e
x
x
x
Применяем правило Лопиталя еще раз.
x
x
e
e
x
f
)
(
;
x
x
g
cos
)
(
;
2
1
2
cos
lim
0
x
e
e
x
x
x
;
Неопределенности вида
0
0
;
1
;
0
можно раскрыть с помощью логарифмирования.
Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида
)
(
)
(
x
g
x
f
y
,
0
x
f
вблизи точки
a
при
a
x
. Для нахождения предела такой функции достаточно
найти предел функции
x
f
x
g
y
ln
ln
.
Пример:
Найти предел
x
x
x
x
0
0
lim
.
Здесь
x
x
y
,
x
x
y
ln
ln
.
Тогда
;
0
lim
/
1
/
1
lim
1
ln
lim
ln
lim
ln
lim
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
x
x
x
Лопиталя
правило
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Следовательно
1
lim
lim
;
0
lim
ln
ln
lim
0
0
0
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
Пример:
Найти предел
x
x
e
x
2
2
lim
.
x
e
x
g
x
x
f
2
2
)
(
;
2
)
(
;
;
lim
2
x
x
e
x
- получили неопределенность.
Применяем правило Лопиталя еще раз.
x
e
x
g
x
f
2
4
)
(
;
2
)
(
;
0
1
2
1
lim
2
x
x
e
;
Исследование функций с помощью производной.
Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.
Теорема.
1)
Если функция
x
f
имеет производную на отрезке
b
a
,
и возрастает на
этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е.
0
x
f
.
2)
Если функция
x
f
непрерывна на отрезке
b
a
,
и дифференцируема на
промежутке
b
a
,
, причем
0
x
f
для
b
x
a
, то эта функция возрастает на отрезке
b
a
,
.
Доказательство.
1)
Если функция
x
f
возрастает, то
x
f
x
x
f
при
0
x
и
x
f
x
x
f
при
0
x
,
тогда:
.
0
)
(
)
(
lim
,
0
)
(
)
(
0
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
2) Пусть
0
x
f
для любых точек
1
x
и
2
x
, принадлежащих отрезку
b
a
,
, причем
2
1
x
x
.
Тогда по теореме Лагранжа:
2
1
1
2
1
2
,
x
x
x
x
f
x
f
x
f
По условию
0
f
, следовательно,
0
1
2
x
f
x
f
, т.е. функция
x
f
возрастает.
Теорема доказана.
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция
x
f
убывает на отрезке
b
a
,
, то
0
x
f
на этом отрезке. Если
0
x
f
в промежутке
b
a
,
, то
x
f
убывает на
отрезке
b
a
,
.
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция
x
f
непрерывна на
отрезке
b
a
,
и дифференцируема на интервале
b
a
,
.
Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:
Определение.
Функция
x
f
имеет в точке
1
x
локальный максимум, если ее значение
в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку
1
x
,
т.е
2
2
x
f
x
x
f
. Функция
x
f
имеет в точке
2
x
локальный минимум, если
2
2
x
f
x
x
f
при любом
x
(
x
может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь локальный максимум и
минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать
локальный максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на
отрезке – это понятия принципиально различные.
Определение.
Точки локального максимума и минимума функции называются
точками экстремума.
Теорема.
(необходимое условие существования экстремума)
Если функция
x
f
дифференцируема в точке
1
x
x
и точка
1
x является точкой экстремума, то производная
функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство.
Предположим, что функция
x
f
имеет в точке
1
x
x
максимум.
Тогда при достаточно малых положительных
0
x
верно неравенство:
)
(
)
(
1
1
x
f
x
x
f
, т.е.
0
)
(
)
(
1
1
x
f
x
x
f
Тогда
0
0
)
(
)
(
1
1
х
при
x
x
f
x
x
f
0
0
)
(
)
(
1
1
х
при
x
x
f
x
x
f
По определению:
)
(
)
(
)
(
lim
1
1
1
0
x
f
x
x
f
x
x
f
x