ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 995
Скачиваний: 8
46
Пример:
Обратной функцией для
x
y
2
будет функция
2
x
y
. Здесь переменные
x
и
y
уже поменялись ролями.
Замечание.
Существуют функции, которые являются обратными сами себе:
x
y
,
x
y
1
,
x
a
y
,
a
.
Теорема.
Если
x
f
y
непрерывна, строго монотонна на отрезке
b
a
,
и
a
f
,
b
f
, причем множество
,
является областью изменения
x
f
, то на
промежутке
,
определена обратная функция
y
f
x
1
, которая также является
непрерывной и монотонной.
Замечание.
Доказательство этой теоремы можно найти в соответствующих пособиях
по математическому анализу.
Важная роль этой теоремы достаточно очевидна, когда приходится доказывать
непрерывность обратных функций.
Обратные тригонометрические функции
На участках монотонности функции
x
y
sin
,
x
y
cos
,
tgx
y
и
ctgx
y
допускают обратные, которые обозначаются соответственно:
x
y
arcsin
,
2
,
2
,
1
,
1
y
x
;
x
y
arccos
,
,
0
,
1
,
1
y
x
;
x
arctg
y
,
2
,
2
,
,
y
x
;
x
arcctg
y
,
,
0
,
,
y
x
.
Приведем графики указанных обратных тригонометрических функций.
47
Замечание.
Для обратных тригонометрических функций имеют место равенства:
1.
x
x
arcsin
sin
,
1
,
1
x
.
2.
x
x
arccos
cos
,
1
,
1
x
.
3.
2
1
arccos
sin
x
x
,
1
,
1
x
.
4.
2
1
arcsin
cos
x
x
,
1
,
1
x
.
5.
2
arccos
arcsin
x
x
,
1
,
1
x
.
6.
x
x
arctg
tg
,
x
.
7.
x
x
arcctg
ctg
,
x
.
8.
x
x
arcctg
tg
1
,
x
,
0
x
.
9.
x
x
arctg
ctg
1
,
x
,
0
x
.
10.
2
x
arcctg
x
arctg
,
x
.