ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 987
Скачиваний: 8
36
Если односторонний предел (см. выше)
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
, то функция называется
непрерывной слева.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х
0
функций – есть функция,
непрерывная в точке
0
x
.
2) Частное двух непрерывных функций
)
(
)
(
x
g
x
f
– есть непрерывная функция при
условии, что
x
g
не равна нулю в точке
0
x
.
3)
Теорема о сохранении знака неравенства.
Если
x
f
непрерывна в точке
0
x
и
A
x
f
0
, то существует число
0
такое что
0
x
O
x
A
x
f
4)
Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
Если
x
f
непрерывна
в точке
0
x
и
0
0
x
f
, то существует число
0
такое что
x
f
не обращается в нуль и
сохраняет свой знак
0
x
O
x
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя
теоремы о пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1)
Функция
C
x
f
,
const
C
– непрерывная функция на всей области
определения.
2)
Линейная функция – непрерывная функция на всей области определения.
Доказательство:
Пусть
0
x
x
- произвольная точка, тогда
k
x
x
k
kx
kx
b
kx
b
kx
0
0
0
Следовательно, при
k
неравенство
0
x
f
x
f
будет выполнятся для
любых
x
, удовлетворяющих неравенству
0
x
x
, а это означает, что линейная функция
37
непрерывна в точке
0
x
x
. Так как эта точка была выбрана произвольно, получаем. Что
линейная функция непрерывна на всей числовой оси.
3)
Степенная функция – непрерывная функция на всей области определения.
4)
Полином – непрерывная функция на всей области определения.
5) Рациональная функция
m
m
m
n
n
n
b
x
b
x
b
a
x
a
x
a
x
f
...
...
)
(
1
1
0
1
1
0
непрерывна для всех значений
х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого
вида непрерывна на всей области определения.
6) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции
x
y
sin
.
Запишем приращение функции
x
x
x
y
sin
sin
, или после преобразования:
2
sin
2
cos
2
x
x
x
y
0
2
sin
2
cos
lim
2
lim
0
0
x
x
x
y
x
x
Действительно, имеется предел произведения двух функций
2
cos
x
x
и
2
sin
x
.
При этом функция косинус – ограниченная функция при
0
x
1
2
cos
x
x
, а т.к.
предел функции синус
0
2
sin
lim
0
x
x
, то она является бесконечно малой при
0
x
.
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую,
следовательно это произведение, т.е. функция
y
– бесконечно малая. В соответствии с
рассмотренными выше определениями, функция
x
y
sin
– непрерывная функция для
любого значения
0
x
x
из области определения, т.к. ее приращение в этой точке –
бесконечно малая величина.
Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций
на всей области определения.
Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на
всей своей области определения.
Точки разрыва и их классификация.
Рассмотрим некоторую функцию
x
f
, непрерывную в окрестности точки
0
x
, за
исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции
следует, что
0
x
x
является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или
не является в ней непрерывной.
Напомним, что точка
0
x
называется
точкой разрыва
функции
x
f
, если
x
f
не
определена в точке х
0
или не является непрерывной в этой точке.
Определение.
Точка
0
x
называется
точкой разрыва 1- го рода
, если в этой точке
функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была
определена в точке
0
x
x
, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может
иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще
иногда называют
устранимой
точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
38
Определение.
Точка
0
x
называется
точкой разрыва 2 – го рода
, если в этой точке
функция
x
f
не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них
бесконечен.
Пример.
Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий
математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)
число
ьное
иррационал
x
число
ое
рациональн
x
x
f
,
0
,
1
)
(
не является непрерывной в любой точке
0
x
.
Пример.
Функция f(x) =
х
1
имеет в точке
0
0
x
точку разрыва 2 – го рода, т.к.
)
(
lim
;
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
.
…
Gr aphi cs …
-10
-5
5
10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
Пример.
x
x
x
f
sin
Функция не определена в точке
0
x
, но имеет в ней конечный предел
1
)
(
lim
0
x
f
x
,
т.е. в точке
0
x
функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва,
т.к. если доопределить функцию:
0
,
1
0
,
sin
)
(
x
при
x
при
x
x
x
f
График этой функции:
- 20
- 10
10
20
- 0. 2
0. 2
0. 4
0. 6
0. 8
1
Пример.
x
x
x
f
=
0
,
1
0
,
1
x
при
x
при
39
Эта функция также обозначается
x
sign
– знак
x
. В точке
0
x
функция не
определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода.
Если доопределить функцию в точке
0
x
, положив
1
0
f
, то функция будет непрерывна
справа, если положить
1
0
f
, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x)
равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни
слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке
0
x
разрыв 1 – го
рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.
Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой,
необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а
функция была бы в этой точке не определена.
Пример.
Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва,
если они есть.
1
,
2
1
1
,
2
1
,
4
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
3
)
(
lim
3
)
(
lim
0
1
0
1
x
f
x
f
x
x
2
)
(
lim
3
)
(
lim
0
1
0
1
x
f
x
f
x
x
в точке х = -1 функция непрерывна, в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода
Пример.
Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва,
если они есть.
1
,
1
0
,
1
0
,
cos
)
(
2
x
x
x
x
x
x
x
f
1
)
(
lim
1
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
1
)
(
lim
2
)
(
lim
0
1
0
1
x
f
x
f
x
x
в точке х = 0 функция непрерывна, в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода
40
Замечание.
Монотонная возрастающая или убывающая функция может иметь в
области определения лишь разрывы первого рода.
Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки
кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение.
Прямая называется
асимптотой
кривой, если расстояние от
переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к
нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть
прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение
и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и
пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции
x
e
x
y
x
sin
3
. Ее наклонная асимптота
x
y
.
- 10
- 5
5
10
- 20
- 15
- 10
- 5
5
10
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если
)
(
lim
0
x
f
a
x
или
)
(
lim
0
x
f
a
x
или
)
(
lim
x
f
a
x
, то прямая
a
x
– асимптота кривой
x
f
y
.
Например, для функции
5
2
)
(
x
x
f
прямая
5
x
является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты.