ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 991
Скачиваний: 8
41
Предположим, что кривая
x
f
y
имеет наклонную асимптоту
b
kx
y
.
1
2
3
4
2. 5
5
7. 5
10
12. 5
15
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка
пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью
Ox
обозначим
. Перпендикуляр
MQ
к оси
Ox
пересекает асимптоту в точке
N
.
Тогда
y
MQ
– ордината точки кривой,
y
NQ
- ордината точки
N
на асимптоте.
По условию:
0
lim
MP
x
,
NMP =
,
cos
MP
NM
.
Угол
- постоянный и не равный 90
0
, тогда
0
lim
cos
lim
lim
NM
NM
MP
x
x
x
)
(
)
(
b
kx
x
f
y
y
QN
MQ
NM
Тогда
0
)]
(
)
(
[
lim
b
kx
x
f
x
.
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой
необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
0
)
(
lim
x
b
k
x
x
f
x
x
Т.к. х
, то
0
)
(
lim
x
b
k
x
x
f
x
, т.к. b = const, то
k
k
x
b
x
x
lim
;
0
lim
.
Тогда
0
0
)
(
lim
k
x
x
f
x
, следовательно,
x
x
f
k
x
)
(
lim
.
Т.к.
0
)
(
)
(
lim
b
kx
x
f
x
, то
0
lim
)
(
lim
b
kx
x
f
x
x
, следовательно,
kx
x
f
b
x
)
(
lim
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных
асимптот при k =0.
42
Пример.
Найти асимптоты и построить график функции
x
x
x
y
1
2
2
.
1) Вертикальные асимптоты:
0
x
y
,
0
x
y
. Следовательно,
0
x
-
вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
1
1
2
1
lim
1
2
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
k
x
x
2
1
2
lim
1
2
lim
1
2
lim
1
2
lim
)
)
(
(
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
b
x
x
x
x
x
Таким образом, прямая
2
x
y
является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
- 3
- 2
- 1
1
2
3
- 2
2
4
6
Пример.
Найти асимптоты и построить график функции
2
9
9
x
x
y
.
Прямые
3
x
и
3
x
являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты:
0
9
9
lim
2
x
k
x
0
1
9
9
lim
9
9
lim
2
2
x
x
x
x
b
x
x
0
y
– горизонтальная асимптота.
- 7. 5
- 5
- 2. 5
2. 5
5
7. 5
- 6
- 4
- 2
2
4
6
Пример.
Найти асимптоты и построить график функции
2
3
2
2
x
x
x
y
.
Прямая
2
x
является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
.
1
2
1
3
2
1
lim
2
3
2
lim
)
2
(
3
2
lim
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
k
x
x
x
43
4
2
1
3
4
lim
2
3
4
lim
2
2
3
2
lim
2
3
2
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
x
x
x
x
Итого, прямая
4
x
y
является наклонной асимптотой.
- 10
- 5
5
10
- 20
- 15
- 10
- 5
5
10
15
20
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Определение.
Функция
x
f
называется
непрерывной на интервале (отрезке)
, если
она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала,
необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
Свойство 1:
(Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)-
немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на
отрезке
b
a
,
выполняется условие
M
x
f
M
.
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х
0
,
ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок
b
a
,
на бесконечное
количество отрезков, которые “стягиваются” к точке
0
x
, то образуется некоторая
окрестность точки
0
x
.
Свойство 2:
(Первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке
b
a
,
,
принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения
1
x
и
2
x
, что
M
x
f
m
x
f
2
1
,
, причем
M
x
f
M
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на
отрезке и несколько раз (например
x
x
f
sin
).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке
называется
колебанием
функции на отрезке.
Свойство 3:
(Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция
x
f
-
непрерывная на отрезке
b
a
,
и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков,
то существует такая точка внутри этого отрезка, где
0
x
f
.
Т.е. если
b
f
sign
a
f
sign
, то
0
:
0
0
x
f
x
.
Свойство 4:
(Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке
b
a
,
, принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Определение.
Функция
x
f
y
называется кусочно-непрерывной на промежутке
b
a
,
, если она определена в каждой точке
b
a
,
, непрерывна во всех внутренних точках
этого промежутка, кроме быть может конечного числа точек, в которых она может иметь
разрыв 1ого рода.
Например:
x
x
y
.
44
Определение.
Функция
x
f
называется
равномерно непрерывной
на отрезке
b
a
,
,
если для любого
0
существует
0
такое, что для любых точек
b
a
x
x
,
,
2
1
таких, что
1
2
x
x
верно неравенство
1
2
x
f
x
f
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого
существует свое
, не зависящее от
x
, а при “обычной” непрерывности
зависит от
и
x
.
Свойство 6:
Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик).
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Пример.
x
y
1
sin
- 3
- 2
- 1
1
2
3
- 1
- 0. 5
0. 5
1
Функция
x
y
1
sin
непрерывна на интервале
a
,
0
, но не является на нем равномерно
непрерывной, т.к. существует такое число
0
такое, что существуют значения
1
x
и
2
x
такие, что
1
2
x
f
x
f
,
- любое число при условии, что
1
x
и
2
x
близки к нулю.
Сложная функция
Определение.
Если функция
x
f
y
отображает множество
X
в
Y
, а функция
y
g
z
отображает множество
Y
в
Z
, тогда функция
x
f
g
z
называется
суперпозицией функций
f
и
g
или сложной функцией аргумента
x
множества
X
,
Y
и
Z
– подмножества
R
.
Пример.
x
x
e
z
x
z
sin
2
,
1
sin
Пример. (Гиперболические функции)
Функции
x=
2
x
x
e
e
shx
,
2
x
x
e
e
chx
,
x
ch
x
sh
thx
,
x
sh
x
ch
cthx
называются гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом
соответственно. Относительно гиперболических функций справедливы формулы:
45
chx
shx
x
sh
x
sh
x
ch
x
ch
x
sh
x
ch
shy
chx
chy
shx
y
x
sh
shy
shx
chy
chx
y
x
ch
2
2
2
1
2
2
2
2
Теорема.
Если функция
x
f
y
непрерывна в точке
0
x
, а функция
y
g
z
непрерывна в точке
0
0
x
f
y
, тогда суперпозиция функций
f
и
g
, т.е. функция
x
F
x
f
g
z
, является непрерывной в точке
0
x
.
Доказательство.
Так как функция
x
f
y
непрерывна в точке
0
x
, то для любой
последовательности
n
x
сходящейся к
0
x
имеем
0
x
f
x
f
y
n
n
при
0
x
x
n
(по Гейне).
В силу того, что функция
y
g
непрерывна в точке
0
0
x
f
y
также имеем:
0
0
x
f
g
y
g
y
g
z
n
n
при любой последовательности
n
y
сходящейся к
0
y
.
Наконец, выберем произвольно последовательность
n
x
сходящуюся к
0
x
. Тогда
последовательность
n
n
x
f
y
будет сходится к
0
0
x
f
y
, а последовательность
n
n
n
x
f
g
y
g
z
будет сходится к
0
0
x
f
g
y
g
.
Или
0
0
0
x
f
g
y
g
x
f
g
z
x
x
n
n
n
,
что
означает
0
0
0
x
F
x
f
g
x
f
g
x
F
x
x
n
n
n
.
Последнее означает, что функция
x
F
z
непрерывна в точке
0
x
(по Гейне).
Обратная функция
Определение.
Пусть дана функция
x
f
y
с областью определения
X
и
областью значений
Y
. Тогда функция
x
f
y
задает отображение
f
множества
X
на
множество
Y
. Предположим теперь, что каждому элементу
Y
y
можно поставить в
соответствие элемент
X
x
такой, что
x
f
y
. Последнее отображение
Y
X
называется обратным к
f
и обозначается
1
f
. Отображение
1
f
:
Y
X
задает на
множестве
Y
функцию
y
f
x
1
, которая называется обратной к функции
x
f
y
.
Теорема.
Если функция
x
f
y
,
X
x
монотонна на промежутке
X
с
множеством значений
Y
, то существует обратная функция
y
f
x
1
,
Y
y
с
множеством значений
X
, причем
y
f
1
монотонна на
Y
.
График обратной функции.
Переход от функции
x
f
y
,
X
x
к обратной функции
y
f
x
1
,
Y
y
сводится к перемене ролей множеств
X
и
Y
. Поэтому графики функций
x
f
y
и
y
f
x
1
представляют собой одно и то же множество точек координатной плоскости
xOy
. Обычно для обратной функции аргумент обозначают через
x
, а функцию через
y
, т.е.
вместо
y
f
x
1
пишут
x
f
y
1
. Таким образом, график функции
x
f
1
получается
из графика функции
x
f
зеркальным преобразованием плоскости
xOy
относительно
прямой
x
y
.