ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 983
Скачиваний: 8
6
Обозначение:
B
x
A
x
M
x
B
A
/
:
\
.
Пример.
5
,
3
,
1
9
,
8
,
7
,
4
,
2
\
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Пример.
Пусть
N
M
и
3
,
2
,
1
A
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
B
,тогда
1
\
B
A
,
5
,
4
\
A
B
.
Определение 4.
Разностью между множеством
М
и содержащемся в нем
подмножеством
А
обычно называют дополнением
А
в
М
и обозначают через
A
C
M
или
CA
Числовые множества. Числовая прямая.
Понятие числа является первичным и основным в математике. Рассмотрим основные
числовые множества.
Определение 1.
Множество
X
называется индуктивным, если с каждым
X
x
число
1
x
так же принадлежит
X
.
Если
R
n
R
n
n
R
R
R
)
1
(
,
1
)
1
(
,...,
3
1
2
,
2
1
1
,
1
Определённое
таким образом множество называется
множеством натуральных чисел
.
1.
1
,
,...,
2
,
1
n
n
N
- множество натуральных чисел.
Аксиома (Принцип минимального числа).
В любом непустом подмножестве
натуральных чисел
)
(
N
существует минимальное число
.
(Скажем, что
N
p
является минимальным для множества
N
A
, если
A
p
и
A
m
m
p
,
). Принцип минимума является одной из аксиом теории натуральных чисел.
p
- минимальный элемент множества
A
)
min
(
A
p
.
2.
),...
1
(
,
,...,
2
,
1
,
0
,
1
,...,
),
1
(
...
n
n
n
n
Z
-
множество целых чисел
.
3.
N
n
Z
m
n
m
Q
,
и
0
,
,
k
Z
k
q
p
kq
kp
, такое множество называется
множеством рациональных чисел
.
B
A
A
B
\
B
A
\
B
A
М
А
В
A
C
M
А
М
7
4.
Иррациональными числами
называется число, которое может быть
представлено в виде
бесконечной непериодической десятичной дроби
.
5.
–
множество действительных (вещественных) чисел
есть объединение
множеств рациональных и иррациональных чисел.
Аксиома полноты
.
Для любых 2-х непустых множеств действительных чисел X
и Y обладающих свойством, что каждый элемент
Х
х
, не превосходит каждого
элемента
Y
y
,
такое действительное с
R
с
, что неравенство
y
с
х
справедливо
для всех
Х
х
и
Y
y
.
y
x
Y
y
и
X
x
Y
X
,
,
,
y
c
x
с
:
6.
1
,
,
2
i
y
x
iy
x
С
–
множество комплексных чисел
. Тогда
C
Q
Z
N
Действительные числа принято изображать точками прямой оси, на которой выбраны
единица измерения отрезков, начальная точка и положительное направление между точками
числовой оси и числами существует взаимно однозначное соответствие.
Основные числовые множества на действительной оси
Определение 1.
b
x
a
R
x
/
- называется отрезком
R
b
a
,
и обозначается
b
a
,
.
- содержит свой минимальный -
a
)
min(
и свой максимальный -
b
)
max(
элементы.
Определение 2.
b
x
a
R
x
J
/
- называется интервалом
R
b
a
,
и
обозначается
)
,
(
b
a
J
J
- не имеет минимального и максимального элементов.
Определение
3.
}
/
{
},
/
{
2
1
b
x
a
R
x
K
b
x
a
R
x
K
-
называются
полуинтервалами для
R
b
a
,
и обозначаются
)
,
[
],
,
(
2
1
b
a
K
b
a
K
.
Y
X
C
C
C
X
Y
0
a
b
a
J
0
a
b
a
8
- имеет
b
k
)
max(
1
, не имеет
)
min(
1
k
.
- имеет
a
k
)
min(
2
, не имеет
)
max(
2
k
.
Определение 4.
Интервалы, отрезки и полуинтервалы называются числовыми
промежутками, или просто промежутками.
Эти промежутки есть ограниченные множества.
В математике рассматриваются также бесконечные промежутки, употребляя в их
записи символы:
,
, при этом
R
x
справедливо неравенство:
x
По определению:
a
x
R
x
a
/
:
a
x
R
x
a
/
:
)
[
Оба эти промежутка не ограниченны сверху.
b
x
R
x
b
b
x
R
x
b
/
:
]
,
(
,
/
:
,
Оба эти промежутка не ограниченны снизу.
Определение
5.
Любой интервал
J
, который содержит фиксированную точку
R
x
0
называется окрестностью этой точки.
0
0
/
x
x
x
R
x
J
J
- называется
- окрестностью точки
0
x
, причем
0
при этом также
справедлива запись:
|
|
/
0
x
x
R
x
J
. Обозначение
0
x
J
;
)
,
(
0
x
J
Принцип математической индукции
Теорема.
Пусть некоторое множество
А
натуральных чисел
)
(
N
A
удовлетворяет следующим 2-м условиям:
1.
A
1
.
2.
если
A
n
, то
A
n
)
1
(
,
тогда множество
А
содержит все натуральные числа, т.е.
N
A
.
Доказательство:
Допустим, что утверждение теоремы не имеет места, т.е.
N
A
.
A
N
A
C
CA
N
\
. Тогда
A
CA
и
A
. В силу принципа минимума
CA
p
0
такое, что
0
p
m
CA
m
,
A
p
0
.
В силу условия 1)
1
0
p
, но тогда
N
p
)
1
(
0
и, кроме того, поскольку
CA
p
)
1
(
0
,
то
A
p
)
1
(
0
. Но тогда в силу условия 2)
A
p
p
0
0
1
)
1
(
, что противоречит
отношению
A
p
0
.
0
x
0
0
x
0
x
a
1
K
b
0
a
1
K
b
0
0
х
0
а
0
х
0
а
9
Итак,
CA
, т.е.
N
A
(так как
0
0
)
1
(
p
p
, где
CA
p
0
).
На основании этой теоремы формулируется метод, который очень удобно
использовать при доказательстве некоторых теорем.
Метод математической индукции.
Чтобы доказать, что некоторое утверждение
n
A
справедливо для любого
)
(
N
n
, достаточно доказать, что:
1)
это утверждение справедливо при
1
n
2)
Из справедливости утверждения при
k
n
следует справедливость утверждения
при
1
k
n
Пример.
Докажем, что
N
n
имеет место равенство
n
k
n
n
n
k
1
2
)
1
2
)(
1
(
6
1
.
Пусть
n
k
n
n
n
k
N
n
A
1
2
)
1
2
)(
1
(
6
1
/
.
Заметим, что при
n=1
1
)
1
1
2
)(
1
1
(
1
6
1
1
2
, т.е.
A
1
.
Далее, если
A
n
, то
1
1
2
2
2
2
1
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
)
1
(
6
1
)
3
2
)(
2
)(
1
(
6
1
6
6
2
)
1
(
6
1
)
1
(
)
1
2
)(
1
(
6
1
)
1
(
n
k
n
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
k
откуда следует, что
A
n
)
1
(
. В силу принципа математической индукции имеем
N
A
, т.е. наша формула справедлива
N
n
.
Неравенство Якоби Бернулли
(1654-1705 г.г, швейцарский математик)
Теорема.
Для
,
R
N
n
и
1
справедливо неравенство
n
n
1
)
1
(
(1)
Доказательство.
Применим метод математической индукции
1.
A
1
, т.к.
1
)
1
(
1
- очевидно.
2.
Пусть
A
n
, тогда
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
n
n
n
,
0
)
1
(
.
)
1
(
1
)
1
(
1
2
n
n
n
, (т.к.
0
2
n
),
A
n
)
1
(
. Согласно принципу
математической индукции
N
A
. Наше утверждение доказано.
Неравенство Коши
Среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше их среднего
арифметического.
Теорема.
(неравенство Коши)
Для любого набора
,
0
,...
,
2
1
n
a
a
a
справедливо
неравенство
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
...
...
2
1
2
1
,
N
n
, (1)
Причем знак равенства возможен
, когда
n
a
a
a
...
2
1
.
Доказательство:
Прежде всего, отметим, что если хотя бы одно из
0
i
a
. Тогда
левая часть неравенства (1) равна нулю, а правая неотрицательна, т.е. неравенство Коши
выполняется. Поэтому будем далее предполагать, что все
0
i
a
. Докажем вначале
вспомогательное неравенство. Обозначим
10
k
k
k
a
a
G
1
Тогда
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
G
G
G
G
G
G
G
G
a
В соответствии с неравенством Бернулли имеем
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kG
G
k
G
G
k
G
G
G
G
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Таким образом
k
k
k
kG
G
k
a
1
1
1
(2)
Воспользуемся теперь методом математической индукции
1)
При
2
n
(1) принимает вид
2
2
1
2
1
a
a
a
a
, что легко доказать, исходя из
неравенства
0
)
(
2
2
1
a
a
.
2)
Предположим, что (1) справедливо при
k
n
. Докажем, что оно справедливо и
при
1
k
n
. Имеем по предположению индукции
k
k
k
k
kG
a
a
a
k
a
a
a
...
...
2
1
2
1
Далее
1
1
1
2
1
1
1
...
k
k
k
k
k
k
G
k
kG
G
k
kG
a
a
a
a
Последнее неравенство означает, что
1
1
2
1
1
2
1
...
1
...
k
k
k
a
a
a
k
a
a
a
Неравенство Коши доказано.
Бином Ньютона.
N
n
и
в
а
,
справедливо разложение
.
...
...
3
2
1
1
...
1
...
2
1
1
1
2
2
1
n
n
k
k
n
n
n
n
n
b
b
a
n
b
a
k
k
n
n
n
b
a
n
n
b
na
a
b
a
(*)
Обозначения.
1)
!
...
3
2
1
n
n
причем 0!
Df
1, 1!
Df
1.
2)
k
n
C
k
k
n
n
n
...
3
2
1
1
...
1
; или
!
!
!
k
n
k
n
С
k
n
;
1
,
1
0
n
n
n
C
C
k
n
C
- число сочетаний из “n” по “k”
С
– первая буква французского слова
combination
– сочетание.
Тогда
k
k
n
k
n
n
k
n
n
n
n
n
n
k
k
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
C
b
C
ab
C
b
a
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a
0
1
1
2
2
2
1
1
0
...
...
)
(
Где
k
k
n
k
n
b
a
C
- называют членами разложения (*), а числа
k
n
C
- коэффициентами
разложения
или
биноминальными коэффициентами
.
Доказательство:
Пусть
k
k
n
k
n
n
k
n
b
a
C
b
a
N
n
A
0
)
/(
. Тогда для этих чисел
выполняется формула бинома Ньютона. Проверим это с помощью метода математической
индукции