ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2020
Просмотров: 521
Скачиваний: 4
16
3
Максиминный критерий Вальда
. Оптимальной считается стратегия,
которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш
ij
j
i
a
opt
min
max
.
4
Критерий Севиджа
(критерий минимального риска). Оптимальной
считается стратегия минимального риска в наихудших условиях
ij
j
i
r
opt
max
min
.
Суть этого критерия заключается в выборе такого решения, чтобы не
допустить излишне больших потерь, к которым может привести принятие
ошибочного решения. Для этого строится «матрица рисков», элементы которой
показывают, какой убыток понесем, если для каждого состояния природы не
выберем наилучшего решения.
Риском
игрока при выборе некоторого решения (стратегии)
А
называется
разница между максимальным выигрышем, который можно получить в этих
условиях, и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя
стратегию
А
i
.
Обозначим эту величину через
r
ij
.
Если бы игрок знал заранее
будущее состояние природы
П
j
,
то выбрал бы стратегию, которая отвечала
максимальному элементу в указанном столбце:
mаха
ij
. Тогда, по определению,
риск равняется
R
ij
= maxa
ij
–a
ij
.
Матрица рисков строится так:
1)
определяется для каждого состояния природы (столбика) наибольший
элемент;
2)
элемент матрицы рисков получается вычитанием соответствующего
элемента платежной матрицы из максимального элемента этого столбика.
Критерий Севиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать
решение, которое обеспечивает минимальное значение максимального риска.
Критерии Вальда и Севиджа ориентируют статистика на самые
неблагоприятные состояния природы, т.е. выражают пессимистическую оценку
ситуации.
5
Критерий Гурвица
(критерий пессимизма–оптимизма). Оптимальной
считается стратегия, для которой выполняется следующее соотношение:
)
max
)
1
(
min
(
max
ij
j
ij
j
i
a
a
opt
, где – уровень риска,
1
0
.
Если
0
, то имеем критерий крайнего оптимизма
)
max
(
max
ij
j
i
a
opt
.
Если
1
, то имеем критерий умеренного пессимизма
)
min
(
max
ij
j
i
a
opt
.
В общем случае
выбирают исходя из опыта или субъективных
соображений
8
,
0
...
6
,
0
.
Пример
Предприятие
выпускает
определенную
продукцию
партиями
фиксированного размера. Из-за случайных сбоев в производственном процессе
возможен выпуск партий с недопустимо высоким процентом бракованной
продукции. Определяют состояния экономической среды:
1
– пригодная партия
изделий
2
– бракованная партия изделий. Пусть бракованные изделия в
пригодной партии составляют 4%
(
1
),
в непригодной – 15%
(
2
)
. Проведенные на
17
предприятии расчеты показывают, что вероятность производства бракованной
партии равняется
)
(
2
p
=0,2.
Предприятие отправляет партии товаров
m
=2 потребителям, для которых
контрактом обусловленный возможен предельный процент бракованных деталей:
5% и 8% соответственно. За один процент превышения установленных пределов
предусматривается штраф размером
P
=100 тыс. грн. С другой стороны,
производство партии товаров высшего качества увеличивает расходы
предприятия на
V
=80 тыс. грн. за каждый процент.
В результате проверки двух изделий из всей партии может быть
установлено, что: 1) оба изделия пригодны; 2) одно из изделий бракованное; 3)
оба изделия бракованные. Пусть
3
2
1
,
,
– три возможные события
соответственно. Принять оптимальное решение: 1) в условиях гарантированного
результата; 2) используя априорные вероятности; 3) используя апостериорные
вероятности событий.
Решение.
Функционал оценивания целесообразно представить в виде
матрицы затрат
)
,
(
j
k
x
f
F
. Решение допускает, что потребитель А примет
партию продукции (5% брака без штрафа). Если партия имеет 4% брака (
1
), то
производитель понесет убытки
80
80
)
4
5
(
тыс. грн. Но, если партия товаров
имеет 15% брака (
2
), то штраф составит
1000
100
)
5
15
(
тыс. грн. Аналогично
рассчитываются элементы матрицы затрат относительно второго покупателя – Б.
Матрица затрат примет вид:
700
320
1000
80
)
,
(
2
1
2
1
x
x
x
f
F
j
k
.
Если производитель принимает решение в условиях получения
гарантированного результата (критерий Вальда), то необходимо продукцию
отправить второму покупателю:
700
700
;
1000
min
f
max
min
f
~
X
x
k
X
x
ko
k
j
k
тыс.грн.
Если
производитель
принимает решение, используя
априорную
информацию относительно
)
(
2
p
=0,2, то, используя критерий Байеса, продукцию
необходимо отправить первому покупателю:
264
396
;
264
min
2
.
0
700
8
.
0
320
;
2
.
0
1000
8
.
0
80
min
~
min
~
1
X
x
X
x
n
j
j
kj
X
x
ko
k
k
k
p
f
f
тыс.грн.
Так как решение производителя должно зависеть от результата
эксперимента, то необходимо использовать апостериорные вероятности.
Учитывая, что детали могут выбираться как из качественной партии, так и из
бракованной, то определены условные вероятности
)
/
(
j
v
p
.
Апостериорные вероятности находятся по формуле:
n
j
j
j
v
j
j
v
v
v
j
v
j
p
p
p
p
p
p
p
1
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
,
(
)
/
(
,
18
де
)
(
)
,
(
)
(
)
/
(
1
1
v
n
j
v
j
n
j
j
j
v
p
p
p
p
– вероятность каждого отдельного
результата эксперимента;
)
/
(
j
v
p
– условные вероятности;
)
(
j
p
– априорные вероятности;
)
,
(
v
j
p
– общие вероятности.
Условные вероятности определяются на основе использования
биномиального закона распределения и условий проведения эксперимента:
)!
(
!
!
;
..
0
;
1
;
)
,
(
k
n
k
n
C
n
k
p
q
q
p
C
k
n
P
k
n
k
n
k
k
n
,
де
n
– объем выборки.
Условные вероятности в зависимости от качества партии деталей для
выборки из двух деталей составят:
;
922
.
0
)
04
.
0
(
)
96
.
0
(
)
/
(
0
2
2
2
1
1
C
p
;
0768
.
0
)
04
.
0
(
)
96
.
0
(
)
/
(
1
1
1
2
1
2
C
p
;
0016
.
0
)
04
.
0
(
)
96
.
0
(
)
/
(
2
0
0
2
1
3
C
p
;
7225
.
0
)
15
.
0
(
)
85
.
0
(
)
/
(
0
2
2
2
2
1
C
p
;
255
.
0
)
/
(
2
2
p
0225
.
0
)
/
(
2
3
p
.
Таблица условных вероятностей
)
/
(
j
v
p
:
1
2
3
1
0,922
0,0768 0,0016
2
0,7225 0,255
0,0225
Таблица общих вероятностей
)
,
(
v
j
p
:
1
2
3
1
0,73760 0,06144 0,00128
2
0,14450 0,05100 0,00450
Определяем вероятности каждого результата эксперимента:
8821
.
0
14450
.
0
73760
.
0
)
(
1
p
;
11244
.
0
)
(
2
p
;
00578
.
0
)
(
3
p
.
Таблица апостериорных вероятностей
)
/
(
v
j
p
:
1
2
3
1
0,83619 0,54642 0,22145
2
0,16381 0,45358 0,77855
Окончательный результат зависит от результатов контрольной проверки. По
критерию Байеса общая формула для расчета затрат имеет вид:
3
;
..
1
;
..
1
),
/
(
)
,
(
)
/
(
)
/
,
(
1
N
N
v
n
k
p
x
f
x
M
p
x
B
v
j
j
k
n
j
v
k
v
j
k
.
Ситуация 1.
Результат эксперимента показал, что два изделия
качественные:
7
.
230
16381
.
0
1000
83619
.
0
80
)
/
(
1
1
x
M
тыс. грн.
25
.
382
16381
.
0
700
83619
.
0
320
)
/
(
1
2
x
M
тыс. грн.
Минимум ожидаемых затрат достигается при реализации первой стратегии
– отправить продукцию необходимо первому покупателю.
19
Ситуация 2.
Результат эксперимента показал, что одно изделие
качественное:
29
.
497
45358
.
0
1000
54642
.
0
80
)
/
(
2
1
x
M
тыс. грн.
46
.
492
)
/
(
2
2
x
M
тыс. грн.
Минимум ожидаемых затрат достигается при реализации второй стратегии
– отправить продукцию необходимо второму покупателю.
Ситуация 3.
Результат эксперимента показал, что два изделия бракованные:
266
.
796
77855
.
0
1000
22145
.
0
80
)
/
(
3
1
x
M
тыс. грн.
85
.
615
)
/
(
3
2
x
M
тыс. грн.
Минимум ожидаемых затрат достигается при реализации второй
стратегии – отправить продукцию необходимо второму покупателю.
20
Лабораторная работа №4
Принятие многоцелевых решений
Цель:
научиться осуществлять выбор альтернативы в условиях наличия
множества целей, критериев и нескольких информационных ситуаций,
применять полученные знания при создании программных продуктов.
Задание.
Пусть субъект управления имеет
)
0
(
Q
Q
ситуаций принятия
решений
Q
F
X
F
X
F
X
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
, которые отличаются функционалом
оценивания в заданной информационной ситуации
I
. Необходимо определить
оптимальное решение для всех
Q
ситуаций принятия решений одновременно.
Использование основных факторов
w
u
v
,
,
принятия многоцелевых решений
позволяет получить ситуацию принятия решений с одним скалярным
функционалом оценивания для заданной информационной ситуации
I
и критерия
принятия решений.
Заданы множество решений органа управления –
k
x
x
X
..
1
, множество
возможных ситуаций –
q
...,
,
1
, тип функционала оценивания и
информационная ситуация.
Определить в соответствии с исходными данными (таблица 1) оптимальное
решение. Функционалы оценивания строятся таким образом, чтобы не было
идентичного повторения матриц, используя генератор случайных чисел в
пределах заданного диапазона.
Использовать при определенном типе информационной ситуации:
1)
1
I
– критерий Байеса (при
q
=2
45
.
0
1
p
; при
q
=3
35
.
0
,
25
.
0
1
2
p
p
;
при
q
=4
3
.
0
,
25
.
0
,
2
.
0
3
1
2
p
p
p
);
2)
4
I
– критерий Лапласа;
3)
5
I
– критерий Вальда;
4)
6
I
– критерий Гурвица (
6
.
0
).
Приоритет
задается
студентом
самостоятельно
с
помощью
соответствующих весовых коэффициентов.
Построить программный модуль для принятия многоцелевых решений,
предусмотреть
возможность
ввода
исходных
данных
пользователем,
информативность алгоритма, вывод по результатам оценки альтернатив по
критерию.