ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2020
Просмотров: 1184
Скачиваний: 2
70
Являє інтерес класифікація задач стохастичного програмування, що
виникають за умов ризику та невизначеності за показником якості
(ефективності) розв'язку.
Природно розглядати наступні показники якості розв'язку
стохастичних задач, зокрема лінійних:
•
математичне сподівання величини лінійної форми;
•
дисперсія лінійної форми;
•
лінійна комбінація математичного сподівання та дисперсії
лінійної форми;
•
ймовірність перевищення лінійною формою певної фіксованої
межи;
•
математичне сподівання корисності лінійної форми;
•
максимін лінійної форми (причому максимум береться з
множини планів
X
,
а мінімум – за допустимими значеннями
набору
параметрів, що визначають реалізацію випадкових елементів умов задачі
тощо.
1.7.2
Класифікація задач стохастичного програмування
Задачі стохастичного програмування розподіляють на статичні та
динамічні.
Для того, щоб задача стохастичного програмування мала сенс,
необхідно відповісти на наступні три запитання:
1
Як розуміти вектор
x
? Чи повинен він також бути
випадковим (тобто кожному
відповідає своє рішення
)
(
x
, що
визначається стандартними правилами лінійного програмування), чи
детермінованим, що не змінюється при випадкових варіаціях параметрів
моделі?
1
Як
розуміти
максимізацію
цільової
функції?
Як
максимізацію абсолютну, для усіх
, чи максимізацію її
математичного сподівання, чи максимізацію деякої іншої її
імовірнісної характеристики?
2
Як розуміти виконання обмежень: абсолютно для всіх
,
чи у середньому, чи допускати їх порушення з малою ймовірністю
тощо?
Під час вирішення цих питань доводиться виходити не лише з
математичних міркувань, а й з економічного змісту та евристичних
міркувань, котрими необхідно керуватися при дослідженні та
моделюванні систем з ризиком.
Постановки задач стохастичного програмування, що виникають
при моделюванні економічного ризику, суттєво залежать від того, чи є
можливість при виборі (прийнятті) рішень для уточнення стану
економічного середовища через певні спостереження чи ні. Так, коли
проводиться перспективне планування, рішення приймається перед тим,
як будуть зроблені спостереження за станом середовища (стануть
71
відомими потреби) й рішення (розв'язок) буде детермінованим. У задачах
оперативного чи поточного планування рішення приймаються після
певних спостережень (експериментів) над станом економічного
середовища залежно від результатів спостережень і тому бувають
стохастичними (варіантними).
Якщо в результаті спостереження стан економічного середовища
стає відомим, то вибір рішення (розв'язку)
)
(
x
при заданому
зводиться до звичайної задачі нелінійного програмування. Наприклад,
мінімізувати (максимізувати)
(max)
min
)
,
(
x
f
(97)
при врахуванні обмежень
m
i
x
q
i
...,
,
1
,
0
)
,
(
,
(98)
а також умов
X
x
.
(99)
Лінійну одноетапну модель стохастичного програмування можна
подати у матрично-векторній формі:
X
x
b
x
A
x
C
);
(
)
(
(max);
min
)
(
.
Відзначимо, що у загальному випадку спостереження не повністю
визначають стан економічного середовища, тому етапи вибору рішень
можуть чергуватися з етапами спостережень над станом економічного
середовища. Тобто, мають місце багатоетапні процеси вибору рішень,
кожне з яких може розвиватися за двома низками:
1)
рішення – спостереження – рішення –... – спостереження –
рішення;
2)
спостереження – рішення – спостереження – ... –
спостереження – рішення.
Низка рішень називається
N
-етапною, якщо слово «рішення»
зустрічається
N
разів.
Якщо рішення
х
детерміноване і приймається перед тим, як
спостерігається стан середовища
, то співвідношенням (97)...(99) треба
надати певний імовірнісний зміст, бо для фіксованого
х
для одних
співвідношення (98) можуть виконуватися, і
х
виявиться допустимим
розв'язком, а для інших
можуть не виконуватися. У більшості
випадків є сенс у максимізації (мінімізації) математичного сподівання
)
,
(
x
f
, тобто, необхідно відшукати такий вектор
х
, за якого досягається
екстремум функції
)
,
(
x
Mf
:
(max)
min
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
0
d
x
f
x
Mf
x
F
(100)
72
за умов
m
i
x
Mq
x
F
i
i
...,
,
1
,
0
)
,
(
)
(
;
(101)
X
x
.
(102)
Функцію
)
(
0
x
F
називають функцією ризику, а функціями
m
i
x
F
i
...,
,
1
),
(
–
регресії;
)
(
– щільність розподілу.
Як вже відзначалося, математичне сподівання функції
)
,
(
x
f
не
єдина імовірнісна характеристика. Розглядають також дисперсію функції
)
,
(
x
f
, чи моменти вищих порядків випадкової величини
)
,
(
x
f
, їх
алгебраїчні суми зважені за допомогою деяких коефіцієнтів, зокрема
)
,
(
)
,
(
)
(
0
x
kDf
x
Mf
x
F
,
(103)
ще
k
– ціна ризику
Приклад
. Вибір запасів. Потрібно зробити запас з
n
товарів у
кількості
)
...,
,
,
(
2
1
n
x
x
x
, на які є випадковий попит
)
...,
,
(
1
n
. Нестача
запасених товарів штрафується з коефіцієнтами
c
c
c
n
)
...,
,
(
1
,
а затрати на
зберігання одиниці продукції, яку не вдалося збути, задаються
вектором
d
d
d
n
)
...,
,
(
1
.
Розв'язання.
Функція збитків, що відповідає розв'язку
х,
має вид
n
j
j
j
j
j
j
j
x
d
x
c
x
f
1
,
0
max(
)
,
0
max(
)
,
(
.
(104)
1.7.3
Прийняття рішень за умов ризику. Зона невизначеності
Зоною невизначеності називається сукупність оптимальних планів,
залежних від випадкової ситуації
, тобто зона невизначеності – це
/
)
(
*
x
[9]. Вона може бути апроксимована скінченною кількістю
оптимальних планів
n
s
x
x
s
s
...
,
1
/
)
(
,
яку одержують на базі
статистичного моделювання за методом Монте-Карло та числового
розв'язку для кожного
s
задачі:
0
),
(
)
(
/
)
),
(
(
max
x
b
x
A
x
c
x
.
(105)
Розв'язок цієї задачі позначимо через
)
(
x
, тобто
0
),
(
)
(
/
),
(
max
arg
)
(
x
b
x
A
x
x
x
x
.
(106)
При цьому величина
п
повинна бути досить великою.
Використовуючи різні неформальні процедури, домагаються
звуження апроксимації зони невизначеності та більш чіткого визначення
73
множини, що містить у собі шуканий план. Позначають звужену
апроксимацію зони невизначеності через
S
s
x
s
/
, де
S
підмножина
n
...,
,
1
множини. З аналізу пристосованості кожного варіанта плану до
зміни умов відбувається остаточний вибір шуканого плану. Кожен план
s
x
коригується за допомогою наперед визначеної множини адаптивних
технологій
)
(
D
, шляхом вибору їх інтенсивностей, що описуються
вектором
у.
Адаптивність
—
це
здатність
економічної
системи
пристосовуватися до змін внутрішніх і зовнішніх умов.
Якщо
)
(
d
– вектори (стовпчики) питомих ефективних технологій
матриці
)
(
D
, то при фіксованих
х
та
доцільно обрати план
у
як
розв'язок задачі:
y
y
d
max
)
),
(
(
(107)
за умов
0
;
)
(
)
(
)
(
y
x
A
b
y
D
.
(108)
Розв'язок задачі (107-108) позначають через
)
,
(
x
y
. Звужена
апроксимація зони невизначеності разом з планами адаптивних
технологій записується у виді:
.
),
,
(
...,
),
,
(
),
,
(
,
.........,
..........
..........
..........
..........
..........
),
,
(
...,
),
,
(
),
,
(
,
),
,
(
...,
),
,
(
),
,
(
,
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
n
k
де
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
k
k
k
k
k
k
k
(109)
При
виборі найкращого (раціонального) плану береться до уваги не
лише ефективність основного плану
s
x
,
але й ефективність відповідної
адаптації при різних
.
Даний метод має такі особливості:
1) відбувається глибоке зондування за допомогою методу
статистичних випробувань Монте-Карло всієї множини випадкових
ситуацій з врахуванням імовірнісного розподілу випадкових параметрів;
2)
припускається можливість коригування (адаптації) раніше
обраного плану згідно з надходженням інформації щодо реалізації
випадкових ситуацій;
3)
здійснюється найбільш ефективна адаптація для кожної
реалізації випадкових ситуацій.
Прийняття адаптивних рішень за умов ризику
Прийняття рішень за умов ризику, що здійснюється за схемою:
«рішення — спостереження — рішення» є найбільш розповсюдженим у
науковій літературі стосовно стохастичного програмування. На базі цієї
схеми будуються двоетапні стохастичні моделі планування.
74
Програмна частина обирається з урахуванням того, що необхідно
створювати найкращі умови для майбутньої адаптації і розрахована на
ймовірні зміни випадкових ситуацій. Адаптивна частина реалізується
після спостереження, тобто враховується вплив реалізації випадкового
стану економічного середовища (ситуації). Використовуючи позначення:
х
- програмна частина плану,
– параметри випадкової ситуації,
у
–
адаптивна частина плану, схему можна подати у виді
)
,
(
x
y
x
.
(110)
Нехай
(х, у)
— план певної економічної системи, що обирається з
допустимої множини планів
)
(
X
),
де
– випадкова ситуація
(елементарна подія певного імовірнісного простору
)
,
,
(
P
A
).
Суб'єкт
керування (прийняття рішень), зацікавлений у певних результатах, які
залежать від невизначеної (випадкової) ситуації і можуть бути подані як
вектор-функція
))
,
,
(
...,
),
,
,
(
(
)
,
,
(
1
y
x
f
y
x
f
y
x
f
m
.
Припустимо, що для будь-якої пари планів
1
1
,
y
x
та
2
2
,
y
x
, суб'єкт
керування
може
надати
перевагу
одному
з
розподілів
)
,
,
,
,
(
),
,
,
,
,
(
2
2
1
1
P
y
x
f
L
P
y
x
f
L
, або визначити їх еквівалентність, тобто на
множині розподілів задано відношення пріоритетності (
– не гірше ніж).
Тут через
)
,
,
,
,
(
P
y
x
f
L
,
позначений розподіл
)
,
,
(
y
x
f
, який залежить від
х
,
у
на множині елементарних подій
та ймовірнісній мірі
Р.
Якщо обрана певним чином програма
х
і відбулося спостереження
над реалізацією випадкової ситуації
, то задача вибору
найефективнішої адаптації для даної ситуації
полягає в знаходженні
такого
у,
при якому
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
X
z
x
z
z
x
y
x
та
X
y
x
.
Введемо
позначення
розв'язку
задачі
знаходження
найефективнішої адаптації [59]:
)
(
)
,
(
,
)
,
(
X
y
x
pref
y
x
y
.
(111)
Розв'язок (111) залежить як від обраного раніше (на попередній
стадії)
х,
так і від
, тобто
)
,
(
x
y
y
.
У свою чергу, на першій стадії рішень двоетапної задачі, тобто при
виборі плану-програми
х,
необхідно серед допустимих розв'язків знайти
таке
х,
при якому розподіл
f
залежний від
х
і
найкращої адаптації
)
,
(
x
y
для кожної реалізації ситуації
, був би найбільш пріоритетним для
суб'єкта
управління.
Тобто,
необхідно
знайти
)
(
1
/
*
X
y
існує
ю
імовірніст
з
x
X
x
, при якому
X
x
P
x
y
x
f
L
P
x
y
x
f
L
)
,
),
,
(
,
,
(
)
,
),
,
(
,
,
(
*
*
.
(112)