.

Рассмотрим разные варианты расчёта.

1. Предположим, что мы располагаем только данными граф 1 и 2 табл. 2.5. Итоги этих граф содержат все необходимые величины для расчёта искомой средней. Воспользуемся формулой средней:

$ .

2. Если мы располагаем данными граф 1 и 3, то нам известен знаменатель ИСС, но не известен его числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность персонала. В этом случае общая средняя заработная плата рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

$.

3. Если в нашем распоряжении имеются только данные о фонде заработной платы и средней заработной платы персонала (графы 2 и 3), т. е. нам известен числитель исходного соотношения, но не известен его знаменатель. Численность работников можно получить делением фонда заработной платы на среднюю заработную плату. Тогда расчёт будет произведён по формуле средней гармонической взвешенной:

$.

Таким образом, полученные тремя способами значения средней заработной платы совпадают.

Кроме перечисленных видов средних величин рассчитывают структурные средние: моду и медиану.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

, (5)

где M_o – мода; х_Мо – нижняя граница модального интервала; h_Мо – величина модального интервала; f_Мо – частота модального интервала; f_Mo-1 – частота интервала, предшествующему модальному; f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называется варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда, делящая его на две равные части. Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

, (6)

где М_е – медиана; х_Ме – нижняя граница медианного интервала; h_Me – величина медианного интервала; – сумма всех частот; S_Me-1 – сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу; f_Me – частота медианного интервала.

Значение моды и медианы можно определить графически: моду – с помощью построения гистограммы, медиану – при помощи построения кумуляты.

Рассмотрим пример определения структурных средних моды и медианы на основании данных о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы (табл. 2.2). Определить модальный размер заработной платы, рассчитать медиану.

Таблица 2.2

Группировка работников предприятия по уровню заработной платы

Номер группы	Заработная плата, $	Число работников, чел.	Сумма накопленных частот
   V V V	500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 свыше 1000	10 30 70 60 25 5	10 40 110 170 195 200
	Итого	200	-

---

Решение. Первоначально определим модальный интервал. Наибольшее число работников – 70 человек имеют заработную плату в интервале 700-800 долл., который и является модальным:

$.

Таким образом, наибольшее число работников предприятия получают заработную плату в размере 780 руб.

Определим медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы (200 : 2 = 100). Для этого подсчитаем сумму накопленных частот. Значение 110 соответствует интервалу 700-800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

$.

Из расчёта следует, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 руб., а другая половина – выше этой величины.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение статистическому показателю.

2. Назовите основные функции, которые выполняет статистический показатель.

3. Дайте характеристику видов статистических показателей.

4. Что представляют собой абсолютные величины?

5. В каких единицах измерения их выражают?

6. Назовите примеры абсолютных величин.

7. Что такое относительная величина?

8. В каких единицах измерения выражают относительные величины?

9. Приведите примеры использования относительных величин в анализе экономических и социальных проблем перехода к рыночной экономике.

Тема 3. Статистическое изучение вариации

Вопросы

1. Понятие вариации. Задачи исследования вариации.

2. Показатели вариации и способы их расчета.

3. Расчет дисперсии сокращенными способами.

[1, с. 71–85; 2, с. 120–150; 3, с. 72–76; 5, с. 181–200, 6]

Методические указания к изучению темы

Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака от средней исчисляются основные показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия (²) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется:

– невзвешанная; (7)

– взвешенная. (8)

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

– невзвешенное; (9)

– взвешенное. (10)

Коэффициент вариации (γ) является относительным показателем вариации и представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

. (11)

При этом совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33–35 %.

Расчёт дисперсии можно упростить, используя «метод моментов». Дисперсия в этом случае определяется по формуле:

² = k²  (m₂ – m₁²), (12)

где – начальный момент первого порядка; (13)

– начальный момент второго порядка, (14)

где k – величина интервала;

А – условное число, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой.

---

Рассмотрим пример расчёта показателей вариации. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческого банка (табл. 3.1).

Определить средний стаж работы, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Таблица 3.1

Распределение работников банка по стажу работы

Стаж работы, лет	Среднемесячная численность работников, чел
До 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 Свыше 9	10 48 28 10 4
Итого	100

Для расчёта показателей сначала определим середины интервалов (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Расчёт дисперсии

Стаж работы, лет, хинт	Среднесписочная численность работников, чел. fi	Середина интервала, хi
До 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 Свыше 9	10 48 28 10 4	2 4 6 8 10	20 192 168 80 40	-3 -1 1 3 5	9 1 1 9 25	90 48 28 90 100
Итого	100	–	500	–	–	356

Решение:

1. средний стаж работы сотрудников определяется по формуле средней арифметической взвешенной и составляет:

(лет);

2) дисперсия стажа:

;

3. среднее квадратическое отклонение:

(года);

3. коэффициент вариации:

%.

Таким образом, средний стаж работы сотрудников коммерческого банка составляет 5 лет при среднем квадратическом отклонении 1,9 года. Поскольку коэффициент вариации – более 37 %, можно сделать вывод о том, что данная совокупность неоднородна, а средняя в ней нетипична.

Воспользуемся данными примера 4 и рассчитаем средний стаж и дисперсию по способу «моментов». Результаты расчётов содержаться в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Расчёт показателей способом отсчёта от условного нуля

Стаж работы, лет	Численность работников, чел. fi	Середина интервала, xi	xi – A (A=6)	xi – A к (к=2)	(xi– A)fi к	(xi–A)2 к	(xi–A)2fi к
До 3 3-5 5-7 7-9 свыше 9	10 48 28 10 4	2 4 6 8 10	-4 -2 0 2 4	-2 -1 0 1 2	-20 -48 0 10 8	4 1 0 1 4	40 48 0 10 16
Итого	100	–	–	–	-50	–	114

1. Средний стаж работы:

(лет).

2. Дисперсия по способу "моментов" получаем:

.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение вариации.

2. В чем заключается сущность показателей вариации?

3. Какие показатели вариации вы знаете?

4. По каким формулам можно рассчитать дисперсию?

5. Как исчисляется среднее квадратическое отклонение?

6. Чем оценивается однородность статистической совокупности?

Тема 4. Выборочный метод в статистике

Вопросы

1. Понятие о выборочном наблюдении, его специфические черты.

2. Способы формирования выборочной совокупности

3. Расчет ошибок репрезентативности.

[1, с. 87–103; 2, с. 214–250; 3, с. 97–102; 5 с. 230–262]

Методические указания к изучению темы

---

Выборочное наблюдение наиболее совершенный и научно обоснованный способ несплошного наблюдения. При строгом соблюдении условий случайности и достаточно большой численности отобранных единиц, выборочное наблюдение репрезентативно (представительно). По результатам изучения определенной части единиц с достаточной для практики степенью точности можно судить обо всей совокупности.

Оценить репрезентативность выборочной совокупности позволяет расчет предельной ошибки выборки:

• при повторном отборе

; (15)

• при бесповторном отборе:

, (16)

где Δx – предельная ошибка выборки;

t – коэффициент доверия, определенный в зависимости от уровня вероятности;

6² – дисперсии выборочной совокупности;

n – численность выборки;

N – численность генеральной совокупности.

Значения коэффициента доверия зависят от уровня выбранной вероятности:

t₁ = 1 – соответствует вероятности Р₁ = 0,683;

t₂ = 2 – соответствует вероятности Р₂ = 0,954;

t₃ = 3 – соответствует вероятности Р₃ = 0,997;

t₄ = 4 – соответствует вероятности Р₄ = 0,999.

Расчет предельной ошибки выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности:

, (17)

где и – генеральная и выборочная средние соответственно;

– ошибка выборочной средней.

Пример. Из 1000 рабочих завода в порядке механической выборки отобрано 100 человек в целях изучения их среднего стажа. Распределение произошло следующим образом (табл. 4.1):

Таблица 4.1

Стаж работы, лет	До 5	5-10	10-15	15-20	20-25	свыше 25
Число рабочих чел.	6	12	18	30	20	14

Группировка рабочих завода по стажу

Определить с вероятностью 0,954 пределы среднего стажа работы на заводе с вероятностью 0,997 доля рабочих со стажем свыше 20 лет в генеральной совокупности.

Решение.

Найдём средний стаж рабочего в выборочной совокупности по формуле средней арифметической взвешенной (5). Подставим данные из таблицы и получим:

(года).

Для установления предельной ошибки выборки необходим показатель дисперсии, расчет которого произведем по формуле 16:

.

Тогда при вероятности Р = 0,954 и коэффициенте доверия t=2 ошибка составит:

Пределы среднего стажа рабочего у всех рабочих завода составляют:

,

или

;

.

Общий вывод будет следующим: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний стаж одного рабочего в общем числе рабочих завода будет не более 18,2 и не менее 15,6 лет.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение выборочного наблюдения.

2. Чем отличается выборочное наблюдение от других видов несплошного наблюдения?

3. Что лежит в основе выборочного наблюдения?

4. Что называется выборочной и генеральной совокупностями?

5. Как называются показатели выборочной и генеральной совокупностей?

6. Дайте понятие ошибки репрезентативности.

7. Назовите и дайте характеристику способам отбора при выборочном наблюдении.

8. Как рассчитать ошибку репрезентативности?

---

Тема 5. Статистическое изучение динамики

социально-экономических явлений

Вопросы

1. Понятие о рядах динамики, правило их построения.

2. Показатели динамических рядов и способы их расчета.

3. Средние показатели рядов динамики.

4. Приемы анализа рядов динамики.

[1, с. 106–141; 2, с. 445–468; 3, с. 123–134; 4, с. 214–225; 5, с. 344–359, 6]

Методические указания к изучению темы

Рядом динамики называется совокупность статистических данных, характеризующих изменение социально-экономических явлений во времени. Если уровень ряда отражает состояние явления на определенный момент времени (дату), то такой ряд называется моментным рядом динамики. Интервальным рядом называется ряд, в котором каждый уровень отражает величину явления за определенный период времени.

Для оценки изменений в динамических рядах рассчитываются показатели абсолютный прирост, темп роста, темпы прироста (табл. 5.1) Важно помнить, если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными. Если же все уровни сравниваются с одним и тем же уровнем, являющимся постоянной базой сравнения, то полученные показатели называются базисными.

Таблица 5.1

Показатели динамики

Наименование показателя	Метод расчёта
	цепные	базисные
1. Абсолютный прирост (∆)	∆ц = уi-уi-1	∆б = уi-уо
2. Темпы роста (Тр), %
4. Темпы прироста (Тnр), %	;	;

При расчёте показателей приняты следующие условные обозначения:

y_i – уровень любого периода, называемый уровнем текущего периода (кроме первого);

у_{i – 1}– уровень периода, предшествующего текущему;

у₀ – уровень, принятый за базу сравнения (первый уровень ряда). Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитывают средние показатели динамики. Метод их расчёта представлен в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Средние показатели динамики

Наименование показателя	Метод расчёта
1. Средний уровень ряда (): а) для интервального ряда б) для моментального ряда с равными интервалами
2. Средний абсолютный прирост (∆)	;
3. Средний темп роста (Тр), %
4. Средний темп прироста (Тnр), %

При накоплении формул приняты следующие условные обозначения:

у1, у2,… уn – все уровни последовательных периодов (дат);

n – число уровней ряда;

t – продолжительность периода, в течении которого уровень не изменялся.

Одной из важных задач анализа рядов динамики является аналитическое выравнивание.

Уравнение выравнивание по прямой имеет вид:

, (18)

где – теоретические уровни; а₀ и а₁ – параметры прямой; t – показатель времени.

---