Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

50

Глава II. В мире чудес бесконечного

был создан математический анализ. Такие понятия, как «бесконечно
большая величина», «бесконечно малая величина», использовались
в математических рассуждениях на каждом шаге. Однако в это вре-
мя изучали не множества, содержащие бесконечно много элементов,
а величины, которые в процессе своего изменения становятся все
больше и больше, так что в конце концов они превосходят любое
фиксированное значение. Такие величины называли «потенциально
бесконечно большими» в том смысле, что они могут стать как угодно
большими (potentia — возможность).

Сколько ангелов помещается на конце иглы?

И лишь в середине XIX века началось изучение множеств, со-

стоящих из бесконечно большого количества элементов, приступили
к анализу понятия бесконечности. Творцами математической тео-
рии бесконечных множеств были чешский ученый Бернард Больцано

Необыкновенная гостиница

51

(основной труд которого был опубликован лишь много лет спустя
после его смерти) и немецкий математик Георг Кантор. Этим за-
мечательным ученым удалось преодолеть схоластику и превратить
теорию множеств в важную часть математики.

Основным достижением Больцано и Кантора было изучение

свойств бесконечных множеств, свойства конечных множеств были
известны ученым и до них. Оказалось, что свойства конечных и бес-
конечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие
вещи, невозможные для конечных множеств, легко выполняются
для бесконечных. Попробуйте, например, поместить в гостиницу,
каждый номер которой занят одним постояльцем, еще одного жиль-
ца, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек.
Не получается? Так это только потому, что число номеров в гости-
нице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров...
Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах наше-
го старого знакомого, межзвездного путешественника Йона Тихого.
Итак, предоставим ему слово.

Необыкновенная гостиница, или тысяча первое
путешествие Йона Тихого

Домой я вернулся довольно поздно — вечер воспоминаний в клубе

«Туманность Андромеды» затянулся далеко за полночь. Всю ночь
меня мучили кошмары. То мне снилось, что меня проглотил огром-
ный курдль, то грезилось, что я снова лечу на планету Дурдиотов
и не знаю, как избежать тамошней страшной машины, превраща-
ющей людей в шестиугольники, то... В общем, никому не советую
мешать старку с выдержанным медом. Неожиданный телефонный
звонок вернул меня в мир реальности. Звонил старый друг и колле-
га по межзвездным странствиям профессор Тарантога.

«Срочное задание, дорогой Йон, — услышал я. — Астрономы

обнаружили в космосе какой-то странный объект — от одной галак-
тики до другой тянется таинственная черная линия. Никто не по-
нимает, в чем дело. Самые лучшие радиотелескопы, нейтриноскопы
и гравитоскопы не могут помочь в раскрытии тайны. Осталась на-
дежда лишь на тебя. Срочно вылетай в направлении туманности
АЦД-1587».

На другой день я получил из ремонта свою старую фотонную

ракету, установил на нее ускоритель времени и электронного робота,

52

Глава II. В мире чудес бесконечного

знавшего все языки космоса и все рассказы о звездопроходцах (это
гарантировало от скуки), и вылетел по заданию.

Когда робот исчерпал весь свой запас рассказов и начал повто-

ряться (нет ничего хуже, чем электронный робот, десятый раз по-
вторяющий старую историю), вдали показалась цель моего путе-
шествия. Туманности, застилавшие таинственную линию, оказались
позади, и предо мною предстала... гостиница «Космос».

Выяснилось, что межзвездные скитальцы выгонты, которым я

когда-то соорудил небольшую планету, растащили и ее на мелкие
части и вновь остались без пристанища. Тогда, чтобы больше не ски-
таться по чужим галактикам, они решили построить грандиозное
сооружение — гостиницу для всех путешествующих по космосу. Эта
гостиница протянулась через почти все галактики. Говорю «почти
все», потому что выгонты демонтировали некоторые необитаемые
галактики, а из каждой оставшейся утащили по нескольку плохо ле-
жавших созвездий.

Но гостиницу они отстроили на славу. В каждом номере были

краны, из которых текла холодная и горячая плазма. При желании
можно было на ночь распылиться, а утром портье собирал постояль-
цев по их атомным схемам.

А самое главное,

в гостинице было бесконечно много номеров

.

Выгонты надеялись, что теперь никому больше не придется слы-
шать порядком надоевшую им за время скитаний фразу «свободных
номеров нет».

Тем не менее мне не повезло. Когда я вошел в вестибюль гости-

ницы, первое, что бросилось в глаза, был плакат: «Делегаты съезда
космозоологов регистрируются на 127-м этаже».

Так как космозоологи приехали из всех галактик, а их — беско-

нечное множество, то все номера оказались занятыми участниками
съезда. Для меня места уже не хватило.

Администратор пытался, правда, поселить меня с кем-нибудь

из космозоологов. Но когда я выяснил, что один предполагаемый
сосед дышит фтором, а другой считает нормальной для себя тем-
пературой окружающей среды

860

◦

, то вежливо отказался от столь

«приятного» соседства.

К счастью, директором гостиницы был выгонт, хорошо помнив-

ший услуги, которые я когда-то оказал этому племени. Он поста-
рался устроить меня в гостинице, — ведь, ночуя в межзвездном
пространстве, можно было схватить воспаление легких. После неко-
торых размышлений он обратился к администратору и сказал:

Необыкновенная гостиница

53

Строительство гостиницы «Космос»

54

Глава II. В мире чудес бесконечного

— Поселите его в № 1.
— Куда же я дену жильца этого номера? — удивленно спросил

администратор.

— А его переселите в № 2. Жильца же из № 2 отправьте в № 3,

из № 3— в № 4 и т. д.

Тут только я оценил необыкновенные свойства гостиницы. Ес-

ли бы в ней было лишь конечное число номеров, то жителю послед-
него номера пришлось бы перебраться в межзвездное пространство.
А из-за того, что гостиница имела бесконечно много номеров, всем
хватило места, и мне удалось вселиться, не лишив места никого
из космозоологов.

Я не удивился, когда на другое утро мне предложили переселить-

ся в № 1 000 000. Просто в гостиницу прибыли запоздавшие космо-
зоологи из галактики ВСК-3472, и надо было разместить еще 999 999
жильцов. Но когда на третий день пребывания в гостинице я зашел
к администратору заплатить за номер, у меня потемнело в глазах.
К окошку тянулась очередь, конец которой терялся где-то около
Магеллановых облаков. В очереди слышались голоса: «Меняю две
марки туманности Андромеды на марку Сириуса!» «У кого есть мар-
ка Кита 57-го года космической эры?» В недоумении я обратился
к администратору и спросил:

— А это кто такие?
— Межгалактический съезд филателистов.
— И много их?
— Бесконечное множество — по одному представителю от каждой

галактики.

— Но как же их разместят, ведь космозоологи выедут только

завтра?

— Не знаю, об этом сейчас будут говорить на пятиминутке у ди-

ректора.

Однако задача оказалась весьма сложной, и пятиминутка (как

это часто бывает и на Земле) затянулась на целый час. Наконец
администратор вышел от директора и приступил к расселению.
В первую очередь он приказал переселить жильца из № 1 в № 2.
Мне это показалось странным, так как по имевшемуся опыту я
знал, что такое переселение освобождало лишь один номер, а раз-
местить надо было ни много ни мало, а бесконечное множество
филателистов. Но администратор продолжал командовать:

— А жильца из № 2 переселите в № 4, из № 3 — в № 6, вообще

из номера

n

— в номер

2

n

.