ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2288
Скачиваний: 55
60
Глава II. В мире чудес бесконечного
самой разной природы всегда можно сказать, какое из них содержит
больше элементов, а какое меньше. Для бесконечных же множеств
этот вопрос становится гораздо более сложным. Например, чего
больше, натуральных чисел или рациональных, рациональных или
действительных? Где больше точек, на отрезке или на всей прямой,
на прямой или в квадрате?
На первый взгляд кажется, что ответить на эти вопросы совсем
просто. Ведь множество натуральных чисел является частью множе-
ства рациональных чисел, а отрезок — частью прямой. Не ясно ли,
что поэтому натуральных чисел меньше, чем рациональных, а то-
чек на отрезке меньше, чем точек на всей прямой? Оказывается,
не ясно. Ведь ниоткуда не следует, что при переходе к бесконечным
множествам сохранятся законы, выведенные из рассмотрения конеч-
ных множеств, например, закон о том, что «часть меньше целого».
А самое главное, попытка сравнения бесконечных множеств
по тому признаку, что одно является частью другого, заранее обре-
чена на неудачу. Например, где больше точек, в квадрате или на всей
бесконечной прямой? Ведь ни квадрат нельзя вложить в прямую
линию, ни прямую линию нельзя, не ломая ее, поместить в квадрат.
Разумеется, можно разломать прямую линию на отрезки, длина
которых равна стороне квадрата, и после этого каждый отрезок
поместить в квадрат так, чтобы они не пересекались друг с другом.
Но вдруг и квадрат можно как-то разбить на части, а потом эти
части положить на прямую, чтобы они не задевали друг друга?
А сколько есть бесконечных множеств, не являющихся частями
друг друга! Множество квадратов на плоскости и множество кругов
на той же плоскости не имеют ни одного общего элемента. Как же
сравнить их? Как узнать, чего больше во вселенной — атомов азота
или кислорода?
Итак, задача поставлена. В первую очередь мы выясним, в ка-
ком случае надо говорить, что одно множество содержит столько
же элементов, сколько и второе. Иными словами, выясним, в каких
случаях два бесконечных множества имеют «поровну» элементов.
На танцплощадке
Для конечных множеств задача сравнения решается просто. Что-
бы узнать, одинаково ли число элементов в двух множествах, доста-
точно пересчитать их. Если получатся одинаковые числа, то, значит,
На каждый прилив — по отливу
61
в обоих множествах поровну элементов. Но для бесконечных мно-
жеств такой способ не годится, ибо, начав пересчитывать элементы
бесконечного множества, мы рискуем посвятить этому делу всю свою
жизнь и все же не закончить начатого предприятия.
Но и для конечных множеств метод пересчета не всегда удо-
бен. Пойдем, например, на танцплощадку. Как узнать, поровну ли
здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отой-
ти в одну сторону, а девушек в другую, и заняться подсчетом как
тех, так и других. Но, во-первых, мы получим при этом избыточную
информацию, нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек,
а интересует лишь, поровну ли их. Во-вторых, не для того собралась
молодежь на танцплощадке, чтобы стоять и ждать конца пересчета,
а для того, чтобы потанцевать.
Ну что же. Удовлетворим их желание и попросим оркестр сыг-
рать какой-нибудь танец, который все умеют танцевать. Тогда юно-
ши пригласят девушек к танцу и... наша задача будет решена. Ведь
если окажется, что все юноши и все девушки танцуют, то есть если
вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на пло-
щадке ровно столько же юношей, сколько и девушек.
Совершенно тем же способом можно узнать, что число зрителей
в театре равно числу театральных кресел. Если во время спектакля
все места заняты, причем никто из зрителей не стоит в проходах
и на каждом месте сидит один зритель, то можно быть уверенным,
что зрителей ровно столько же, сколько и театральных кресел.
Когда в дождливую погоду по улице пробегают люди, то число
людей такое же, как и число их зонтов; у каждого человека — один
и только один зонт, и никто не рискнул выбежать на улицу без зонта.
На каждый прилив — по отливу
Мы познакомились с тем, как узнать, что два конечных множе-
ства имеют поровну элементов, не прибегая к пересчету этих мно-
жеств. Этот способ можно применить и для бесконечных множеств.
Только здесь уж не удастся прибегнуть к помощи оркестра, а при-
дется самим располагать элементы двух сравниваемых множеств
в «танцующие пары».
Итак, пусть у нас даны два множества
A
и
B
. Говорят, что между
ними установлено
взаимно однозначное соответствие
, если элемен-
ты этих множеств объединены в пары
(
a
;
b
)
так, что:
62
Глава II. В мире чудес бесконечного
1) элемент
a
принадлежит множеству
A
, а элемент
b
— множе-
ству
B
;
2) каждый элемент обоих множеств попал в одну и только од-
ну пару.
Например, если множество
A
состоит из юношей на танцплощад-
ке, а множество
B
— из девушек на той же площадке, то пары
(
a
;
b
)
образуются из танцующих друг с другом юноши и девушки. Если
множество
A
состоит из зрителей, а множество
B
— из театральных
кресел, то пара
(
a
;
b
)
образуется из зрителя и кресла, на котором он
сидит. Наконец, если
A
— множество людей на улице, а
B
— множе-
ство их зонтов, то пара
(
a
;
b
)
образуется из человека и его зонта.
Разумеется, не всякое соответствие между множествами является
взаимно однозначным. Если множество
A
состоит из всех деревьев
на Земле, а множество
B
— из растущих на них плодов, то между
этими множествами можно установить соответствие: каждому плоду
сопоставить дерево, на котором он растет. Но это соответствие не бу-
дет взаимно однозначным: на некоторых деревьях растет помногу
плодов, а другие сейчас не плодоносят. Поэтому одни элементы
a
(деревья) будут участвовать во многих парах, а другие элементы
a
не войдут ни в одну пару.
Существование взаимно однозначного соответствия для конеч-
ных множеств равносильно тому, что у них поровну элементов. Важ-
нейшим поворотным пунктом в теории множества был момент, когда
Кантор решил применить идею взаимно однозначного соответствия
для сравнения бесконечных множеств.
Иными словами, по Кантору два (быть может и бесконечных)
множества
A
и
B
имеют поровну элементов, если между этими мно-
жествами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Обычно математики не говорят, что «множества
A
и
B
имеют
поровну элементов», а говорят, что «
A
и
B
имеют одинаковую
мощ-
ность
» или «множества
A
и
B
эквивалентны
» и обозначают как
A
∼
B
.
Таким образом, для бесконечных множеств слово «мощность»
значит то же самое, что для конечных множеств «число элементов».
Еще до Кантора к понятию взаимно однозначного соответствия
пришел чешский ученый Б. Больцано. Но он отступил перед труд-
ностями, к которым вело это понятие. Как мы вскоре увидим, после
принятия принципа сравнения бесконечных множеств с помощью
взаимно однозначного соответствия пришлось расстаться со многи-
ми догмами.
Равна ли часть целому?
63
Равна ли часть целому?
Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положе-
ние, установленное на самой заре развития математики: «
часть
меньше целого
». Это положение безусловно верно для конечных
множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу.
Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы
космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец
из номера
n
переезжал в номер
2
n
. Иными словами, расселение шло
по следующей схеме:
1
2
3
. . . n . . .
↓
↓
↓
↓
2
4
6
. . .
2
n . . .
Но эта схема устанавливает взаимно однозначное соответствие меж-
ду множеством натуральных чисел
1
,
2
,
3
, . . . , n, . . .
и его частью — множеством четных чисел
2
,
4
,
6
, . . . ,
2
n, . . .
А мы договорились считать, что множества, между которыми
можно установить взаимно однозначное соответствие, содержат по-
ровну элементов. Значит, множество натуральных чисел содержит
столько же элементов, сколько и его часть — множество четных
чисел.
Точно так же можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие между множеством натуральных чисел и множеством
чисел вида
10
,
100
,
1000
,
10 000
, . . .
Для этого надо сопоставить каждому натуральному числу
n
чис-
ло
10
n
:
n
→
10
n
.
Этим желаемое взаимно однозначное соответствие и устанавливает-
ся. Точно так же устанавливается взаимно однозначное соответствие
между множеством натуральных чисел и множеством всех квадра-
тов натуральных чисел:
n
→
n
2
64
Глава II. В мире чудес бесконечного
или множеством всех кубов натуральных чисел:
n
→
n
3
и т. д.
Вообще, между множеством всех натуральных чисел и любой его
бесконечной частью всегда можно установить взаимно однозначное
соответствие. Для этого достаточно перенумеровать по порядку чис-
ла из этой части.
F
Впрочем, не зря говорят, что ничто не ново под Луной, а но-
вое — это только хорошо забытое старое. Еще в начале XVII века Га-
лилей размышлял о противоречиях бесконечного и обнаружил воз-
можность взаимно однозначного соответствия между множеством
натуральных чисел и множеством их квадратов. В его книге «Беседы
и математические доказательства, относящиеся к механике по мест-
ному движению» (1638 год) приведен диалог, в котором Сальвиати,
выражающий мысли самого Галилея, говорит:
«Сказанное нами относится к числу затруднений, происходящих
вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом
о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные
нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это непра-
вильно, так как такие свойства, как б´
ольшая и меньшая величина
и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого
нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой
или равна ей».
В подтверждение своей мысли Сальвиати отмечает, что, с од-
ной стороны, «квадратов столько же, сколько существует корней,
так как каждый квадрат имеет свой корень, и каждый корень —
свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня,
и ни один корень — более одного квадрата...
1
При этом число корней
равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа,
которое не могло бы быть корнем какого-нибудь квадрата; установив
это, приходится сказать, что число квадратов равно общему коли-
честву всех чисел...». С другой стороны, Сальвиати отмечает, что
«количество всех чисел вместе — квадратов и неквадратов — больше,
нежели одних только квадратов», причем «числа квадратов непре-
рывно и в весьма большой пропорции убывают по мере того, как мы
переходим к большим числам». В качестве единственного выхода
из обнаруженного противоречия Сальвиати предлагает следующее:
1
Здесь имеются в виду только натуральные числа.