ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2271
Скачиваний: 55
Пустое множество
15
Пустое множество
Само название «множество» наводит на мысль, что каждое мно-
жество должно содержать много (по крайней мере два) элементов.
Но это не так. В математике приходится рассматривать и множества,
содержащие только один элемент, и даже множество, не имеющее
ни одного элемента. Это множество называют
пустым
и обозна-
чают
∅
.
Примерами пустых множеств могут служить множество лоша-
дей, пасущихся на Луне, множество десятиногих млекопитающих,
множество трехлетних гроссмейстеров, множество действительных
корней уравнения
x
4
+ 16 = 0
, множество решений системы урав-
нений
(
2
x
−
5
y
= 1
,
4
x
−
10
y
= 6
.
Зачем же вводят пустое множество? Во-первых, отметим, что когда
множество задано своим характеристическим свойством, то не все-
гда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким
свойством. Например, пусть множество
A
состоит из всех четырех-
угольников таких, что
а) все их углы прямые,
б) диагонали имеют различную длину.
Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого
в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей
прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников
пусто. Пусто и множество треугольников, сумма углов которых от-
лична от
180
◦
. Множество квадратных трехчленов, имеющих более
двух корней, тоже пусто. Вообще многие математические утвержде-
ния можно сформулировать как утверждения о пустоте некоторого
множества (попробуйте сформулировать так теорему Пифагора).
Не решая уравнения
x
4
−
7
x
2
−
6
x
+ 26 = 0
, было бы трудно
установить, пусто или нет множество его действительных корней.
Впрочем, если переписать это уравнение в виде
(
x
2
−
4)
2
+ (
x
−
3)
2
+ 1 = 0
,
то станет ясно, что оно не имеет действительных корней.
Иногда бывает трудно сказать, пусты ли те или иные множества
нематематической природы. Если кто-нибудь плохо знает зоологию,
16
Глава I. Множества и действия над ними
он не сможет ответить на вопрос, пусто ли множество акул, живущих
в Байкале, или множество тигров, живущих на свободе в Австралии.
Долго было неизвестно, пусто ли множество всех натуральных
чисел
n
таких, что
n >
2
, а уравнение
x
n
+
y
n
=
z
n
имеет поло-
жительные целочисленные решения (в этом состояла знаменитая
проблема Ферма). Лишь в 1995 г. Э. Уайлс установил, что это мно-
жество пусто. До сих пор неизвестно, пусто ли множество цифр,
входящих лишь конечное число раз в десятичное разложение чис-
ла
π
(хотя это число и вычислено с точностью до многих тысяч
десятичных знаков, неизвестно, все ли цифры входят в его деся-
тичное разложение бесконечно много раз или какая-нибудь цифра
встречается лишь конечное число раз).
До сих пор не выяснено, пусто ли множество целых решений
уравнения
x
3
+
y
3
+
z
3
= 30
(при этом допускаются как положитель-
ные, так и отрицательные целые решения; то, что множество ре-
шений этого уравнения в натуральных числах пусто, совершенно
очевидно).
Неизвестно и то, пусто ли множество всех живых плезиозавров
на земном шаре, — если чудовище озера Лох-Несс действительно
окажется плезиозавром, то это множество не пусто.
Теория множеств и школьная математика
Множества могут состоять из самых различных элементов — рыб,
домов, квадратов, чисел, точек и т. д. Именно этим объясняется чрез-
вычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым
разным областям знания (математике, механике, физике, биологии,
лингвистике и т. д.). Для математики особо важную роль играют
множества, составленные из «математических» объектов — геомет-
рических фигур, чисел, алгебраических выражений, функций и т. д.
С некоторыми такими множествами имеют дело в школьной мате-
матике, но там обычно избегают самого слова «множество» (за ис-
ключением школ и классов с углублённым изучением математики).
На самом же деле школьная математика имеет дело с множества-
ми на каждом шагу. Особенно часто встречаются числовые множе-
ства, то есть множества, составленные из чисел. Примерами таких
множеств могут служить:
а) множество всех натуральных чисел,
б) множество всех целых чисел (положительных, отрицательных
и нуля),
Теория множеств и школьная математика
17
в) множество всех рациональных чисел,
г) множество всех действительных чисел,
д) множество всех комплексных чисел,
е) множество площадей правильных многоугольников, вписан-
ных в данный круг, и т. д.
F
С каждым уравнением связаны два числовых множества. Пер-
вым из них является множество чисел, при которых выражения,
входящие в уравнение, имеют смысл. Это числовое множество на-
зывается
областью допустимых значений
неизвестного. Например,
для уравнения
x
x
2
−
4
+
x
−
1
x
2
−
9
=
−
1
3
область допустимых значений состоит из всех чисел
x
, для кото-
рых
x
2
−
4
6
= 0
и
x
2
−
9
6
= 0
, то есть из всех чисел, кроме чисел мно-
жества
{
2
,
−
2
,
3
,
−
3
}
. А для уравнения
p
−
x
2
+
x
+ 12 +
x
= 2 +
√
10
область допустимых значений состоит из чисел, для которых
−
x
2
+
x
+ 12
>
0
. Это неравенство выполняется, если
−
3
6
x
6
4
.
Вторым множеством, связанным с данными уравнением или
неравенством, является множество его решений. Например, для
уравнения
x
2
−
7
x
+ 12 = 0
множество корней состоит из двух чисел
{
3
,
4
}
, а для уравнения
sin
πx
= 0
— из бесчисленного множества
чисел, а именно из всех целых чисел. Когда уравнение задано, мно-
жество
M
его корней определено характеристическим свойством —
тем, что числа
x
, входящие в
M
, удовлетворяют данному урав-
нению. После того, как уравнение решено, множество
M
задано
списком (если оно конечно) или более простым характеристическим
свойством (если оно бесконечно), например, свойством, что все его
элементы — целые числа.
В то время как множество решений уравнения состоит обычно
из нескольких чисел или (для большинства тригонометрических
уравнений) из нескольких последовательностей чисел, множество
решений неравенства, как правило, сплошь заполняет некоторые
участки множества действительных чисел. Например, неравенство
4
−
x
2
>
0
выполняется на отрезке
−
2
6
x
6
2
, обозначаемом
[
−
2; 2]
,
а неравенство
(4
−
x
2
)(
x
−
3)(
x
−
5)
>
0
18
Глава I. Множества и действия над ними
— на отрезках
−
2
6
x
6
2
и
3
6
x
6
5
. Если вместо нестрогих взять
строгие неравенства, то получатся отрезки с отброшенными конца-
ми, так называемые
числовые промежутки
. Например, множество
решений неравенства
(4
−
x
2
)(
x
−
3)(
x
−
5)
>
0
состоит из промежутков
−
2
< x <
2
и
3
< x <
5
, обозначаемых
(
−
2; 2)
и
(3; 5)
. Концы
−
2
, 2, 3, 5 этих промежутков не удовлетворяют нера-
венству. Встречаются в качестве решений неравенства и более слож-
ные множества. Например, решением неравенства
x
−
1
4
−
x
>
0
является
множество чисел
x
таких, что
1
6
x <
4
, обозначаемое
[1; 4)
. Здесь
один конец отрезка (а именно 1) принадлежит множеству решений,
а другой — число 4 — не принадлежит ему.
Так как каждое действительное число изображается точкой
на числовой оси, числовые множества можно изображать как неко-
торые множества точек на прямой. Например, на рис. 3
а
изображено
множество чисел
x
таких, что
−
4
6
x
6
1
, а на рис. 3
б
изображено
множество таких чисел
x
, что
−
2
< x <
3
.
а
)
б
)
Рис. 3
Особенно удобно геометрическое изображение множеств, состо-
ящих из пар или троек чисел. Например, уравнение
x
2
+
y
2
= 25
задает множество
M
пар чисел
(
x
;
y
)
, при подстановке которых урав-
Рис. 4
нение обращается в тождество. Пары чисел
(
−
5; 0)
,
(3;
−
4)
принадлежат множеству
M
,
так как
(
−
5)
2
+ 0
2
= 25
,
3
2
+ (
−
4)
2
= 25
, а па-
ра чисел
(1; 6)
не принадлежит множеству
M
,
так как
1
2
+ 6
2
= 37
6
= 25
. Однако такое описа-
ние множества
M
не очень наглядно. Чтобы
описать это множество нагляднее, воспользу-
емся методом координат. Выберем на плос-
кости систему декартовых координат (это те
самые координаты, которые изучаются в шко-
ле). Тогда каждой паре чисел
(
x
;
y
)
соответ-
ствует точка
A
на плоскости с координатами
x
и
y
, а каждой точке
плоскости — пара
x
и
y
ее координат (рис. 4).
Теория множеств и школьная математика
19
Если изобразить на плоскости все пары чисел
(
x
;
y
)
, для которых
x
2
+
y
2
= 25
, то легко заметить, что они ложатся на одну и ту же
линию, а именно на окружность радиуса 5 с центром в начале коор-
динат (рис. 5). Если вспомнить теорему Пифагора, то сразу станет
ясно, что множество всех точек
A
(
x
;
y
)
, для которых
x
2
+
y
2
= 25
,
совпадает с множеством точек этой окружности (рис. 6).
Рис. 5
Рис. 6
Неравенства, содержащие два неизвестных, обычно задают
не линии, а целые области на плоскости. Например, неравенство
x
2
+
y
2
6
25
задает на плоскости множество точек, расстояние
которых от начала координат не превосходит 5, то есть множе-
ство точек круга радиуса 5 с центром в начале координат. При
этом сама окружность входит в указанное множество. А неравен-
ство
x
2
+
y
2
<
25
задает тот же круг, но без граничной окруж-
ности.
F
В геометрии мы сталкиваемся с двумя типами множеств. Во-
первых, теоремы геометрии обычно говорят о свойствах некоторого
множества геометрических фигур. Например, теорема о том, что
диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, касается
множества всех параллелограммов. Во-вторых, сами геометриче-
ские фигуры являются множествами, состоящими из входящих
в них точек. Мы можем поэтому говорить о множестве всех точек
данного круга, о множестве всех точек данного конуса и т. д.
В алгебре мы встречаемся с такими множествами, как множество
всех многочленов от двух переменных, множество всех квадратных
уравнений, множество всех алгебраических уравнений и т. д. Одним
словом, почти каждый раздел школьной математики так или иначе
связан с теорией множеств.