ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2153
Скачиваний: 53
130
Глава III. Удивительные функции и линии
Но и среди канторовых линий есть такие, что их свойства совер-
шенно непохожи на свойства обычных линий. Сейчас мы расскажем
о некоторых таких линиях.
Всегда ли площадь линии равна нулю?
Конечно, после того, как читатель познакомился с линиями, про-
ходящими через все точки квадрата, он может ожидать чего угодно.
Но все же, может ли линия иметь площадь? Ведь еще Евклид гово-
рил, что линия — это длина без ширины. А там, где нет ширины,
откуда же взяться площади? Да и в определении канторовой линии
сказано, что она не содержит ни одного целого куска плоскости. От-
куда же в этом случае взяться площади? Но не торопитесь давать
безапелляционный ответ.
Прежде чем исследовать вопрос, надо договориться о точном
смысле употребляемых слов. Что значат слова «линия имеет ну-
левую площадь» или «линия имеет ненулевую площадь»? Возьмем
Рис. 60
самую обычную линию — прямо-
линейный отрезок. Так как его ши-
рина равна нулю, то отрезок мож-
но поместить внутрь прямоуголь-
ника сколь угодно малой площа-
ди, нужно лишь выбрать ширину
этого прямоугольника достаточно
малой. Точно так же и окруж-
ность можно поместить внутрь
многоугольника со сколь угодно
малой площадью. Для этого до-
статочно вписать в нее правиль-
ный многоугольник с очень боль-
шим числом сторон и описать
аналогичный многоугольник. Об-
ласть, заключенная между эти-
ми двумя многоугольниками, бу-
дет иметь малую площадь (тем меньшую, чем больше сторон у на-
ших многоугольников), а окружность целиком лежит в этой области
(рис. 60).
Теперь уже ясно, что означают слова «линия имеет нулевую пло-
щадь». Они значат, что, какое бы маленькое положительное число
ε
Всегда ли площадь линии равна нулю?
131
мы ни взяли, найдется многоугольная область, содержащая линию
и такая, что площадь области меньше чем
ε
. А если хоть для одного
положительного
ε
такой области не удастся найти, тогда площадь
линии не равна нулю.
Чтобы это определение стало яснее, применим его не к таким
простым линиям, как отрезок или окружность, а к более сложным.
Одной из таких линий является, конечно, ковер Серпинского. Най-
дем, чему равна его площадь. Для этого вспомним, что площадь
всего квадрата была равна 1. На первом шаге мы выбросили цен-
тральный квадрат, имевший площадь
1
9
. В результате получилась
многоугольная область с площадью
8
9
. На втором шаге мы выбро-
сили 8 квадратиков, каждый из которых имел площадь
1
81
. После
этого осталась многоугольная область с площадью
8
9
−
8
81
=
64
81
=
8
9
2
.
Теперь уже ясно, что после третьего шага останется многоугольная
область с площадью
8
9
3
, потом — с площадью
8
9
4
и т. д. Но ес-
ли взять любую правильную дробь и возводить ее во все большую
и большую степень, то в пределе получим нуль: если
0
< q <
1
, то
lim
n
→∞
q
n
= 0
.
В частности,
lim
n
→∞
8
9
n
= 0
. Но, по определению предела, это озна-
чает, что для любого
ε >
0
найдется такое
n
, для которого
8
9
n
< ε
.
Следовательно, после
n
шагов у нас получится многоугольная об-
ласть, площадь которой меньше чем
ε
. А эта область целиком на-
крывает ковер Серпинского. Выходит, площадь ковра Серпинского
равна нулю.
Казалось бы, полный триумф определения Евклида. Даже у та-
кой сложной линии, как ковер Серпинского, площадь равна нулю.
Но праздновать победу преждевременно. Ведь никто не заставлял
нас выбрасывать такие большие куски. Поступим более экономно
и разделим квадрат не на 9, а на 25 равных частей (то есть каждую
сторону разделим на 5 частей). Выбросим центральный квадратик,
площадь которого равна, очевидно,
1
25
. Теперь читателю, вероят-
но, хочется разделить каждый из оставшихся 24 квадратиков на 25
132
Глава III. Удивительные функции и линии
частей и выбросить центральную часть. Но это было бы опять неэко-
номно. Вместо этого возьмем отрезки, ограничивающие выброшен-
ный квадратик, и продолжим их до пересечения со сторонами боль-
шого квадрата. У нас получатся 4 квадрата (по углам) и 4 прямо-
угольника. В каждом квадрате и каждом прямоугольнике проведем
кресты с шириной перекладин
1
25
и выбросим центральные части
крестов (рис. 61). Так как площадь каждой центральной части рав-
на
1
625
, то площадь всех квадратиков, выброшенных на втором шаге,
равна
8
625
. На третьем шаге точно так же выбрасываем 64 квад-
ратика с общей площадью
64
25
3
=
64
15625
и т. д. Теперь уже площади
Рис. 61
выбрасываемых квадратиков обра-
зуют геометрическую прогрессию
1
25
+
8
25
2
+
64
25
3
+
. . .
со знаменателем
8
25
. Сумма этой
прогрессии равна лишь
1
17
. Но
что же это означает? А это озна-
чает, что на каждом шаге на до-
лю остатка приходится площадь
не меньше чем
16
17
. И никакой мно-
гоугольной областью, площадь ко-
торой меньше
16
17
, покрыть остаток
не удастся. А ведь этот остаток,
как и ковер Серпинского, является кривой (в смысле Кантора) —
при его построении мы дырявили каждый прямоугольник и ни од-
ного целого прямоугольника не оставили.
Выходит, таким образом, что кривая в смысле Кантора может
иметь ненулевую площадь!
Области без площади
Все же разобранный пример еще не слишком убедителен: полу-
ченная линия сплошь состоит из точек самопересечения и не огра-
ничивает никакой области. Поэтому возникает вопрос, а может ли
«хорошая» кривая, не имеющая точек самопересечения, то есть
Области без площади
133
замкнутая жорданова кривая без самопересечений, иметь ненуле-
вую площадь? Оказывается, может!
Чтобы построить такую кривую, изменим немного проводивше-
еся построение. Сначала построим множество, в котором не только
что целого куска плоскости, а и целого куска линии не найдешь,
но площадь которого не равна нулю. Для этого надо выбрасывать
не только центральные квадратики, а целые кресты, так, как изоб-
ражено на рис. 62. При этом размеры крестов подберем так, чтобы
площадь первого выброшенного креста была равна
8
25
, всех крестов,
выброшенных на втором шаге, —
64
625
=
8
25
2
, на третьем —
8
25
3
и т. д. Тогда общая площадь выброшенных крестов будет равна сум-
ме геометрической прогрессии
8
25
+
8
25
2
+
8
25
3
+
. . . ,
то есть
8
17
. А это меньше половины площади всего квадрата. Зна-
чит, на долю остатка приходится еще
9
17
площади всего квадрата.
Рис. 62
Но при построении остатка мы
выбрасывали целые кресты, без-
жалостно кромсая квадрат. Ника-
кие две точки этого остатка нель-
зя соединить линией, даже лини-
ей в смысле Кантора; всякая связь
между его точками отсутствует.
Как говорят математики, остаток
является вполне несвязным мно-
жеством. А площадь этого мно-
жества, не содержащего ни целого
куска плоскости, ни дуги кривой,
отлична от нуля; никакой много-
угольной областью, площадь ко-
торой меньше
9
17
, это множество
не накроешь.
Теперь уже легко построить пример несамопересекающейся зам-
кнутой кривой, имеющей ненулевую площадь. Для этого нужно со-
единить полученные точки точно так же, как мы проводили кри-
вую через все точки квадрата. Из-за того, что на каждом шаге мы
134
Глава III. Удивительные функции и линии
выбрасывали целые кресты, получающаяся линия не имеет самопе-
ресечений (этим она и отличается от кривой Пеано). Но так как она
проходит через все точки множества, площадь которого по крайней
мере равна
9
17
, то и площадь полученной линии по крайней мере
равна
9
17
.
Теперь уже ничего не стоит построить область, не имеющую пло-
щади. Для этого надо соединить точки
A
и
B
полученной кривой
какой угодно линией, например полуокружностью. Тогда получен-
ная линия Г ограничивает какую-то область
G
. Чему же равна ее
площадь? Ответ получится разный в зависимости от того, присо-
единим мы к этой области ее границу или нет — ведь сама граница
имеет площадь, по крайней мере равную
9
17
. Ясно, что обычной пло-
щади наша область не имеет. Такие области, не имеющие обычной
площади, в математике называют
неквадрируемыми
.
Неожиданные примеры
Вероятно, после появления кривой Пеано математики были уве-
рены, что знают уже все «чудовища» из мира необычайных функ-
ций и линий. Однако и потом их еще не раз подводила геометриче-
ская интуиция. Насколько отличаются свойства канторовых линий
от свойств обычных линий, лучше всего говорит следующая история.
Рис. 63
В начале XX века известный мате-
матик Шёнфлис опубликовал серию
работ, в которых говорилось о различ-
ных свойствах кривых, границ обла-
стей и т. д. При этом Шёнфлис часто
опирался на «геометрическую очевид-
ность». Но через несколько лет, в 1910
году, появилась короткая (всего 12
страниц) статья молодого голландско-
го математика Брауэра. Она содержа-
ла несколько удивительных примеров,
из которых следовало, что одни ре-
зультаты Шёнфлиса просто неверны,
а другие, хотя и верны, но нестрого доказаны. Поистине плохую шут-
ку сыграла с Шёнфлисом «геометрическая очевидность»!