Файл: Конспект лекций для студентов, обучающихся по программе прикладного бакалавриата по направлению подготовки 13. 03. 03 (141100) Энергетическое машиностроение.pdf

s=const
q
u
2
- u
1
=
h
2
- h
1
- v (p
2
- p
1
)
Δh= h
2
- h
1
T
1
(s
2
- s
1
)
0
l
0
p(v
2
- v
1
)
q - Δh+
+(p
2
v
2
- p
1
v
1
)
-Δu= u
1
- u
2
= h
1
– h
2
+
+(p
2
v
2
– p
1
v
1
)
l'
v(p
1
-p
2
)
0
q - Δh
-Δh =h
1
– h
2
Уравнение состояния для воды и водяного пара описываются весьма сложными аналитическими выражениями, пользоваться которыми в инже- нерных расчётах не представляется возможным, поэтому функции h, v, s оп- ределяются таблично или графически (по диаграмме h – s).
Изображения процессов на диаграммах состояния и
p
v
T
s


приво- дятся на рис. 4.3 и 4.4.

39
Рис.4.4. Диаграммы изотермического и адиабатного процессов
Рис.4.4. Диаграммы изотермического и адиабатного процессов
Диаграмма
h
s

В энергетическом оборудовании подвод и отвод теплоты в теплообмен- ных аппаратах происходит практически изобарно, а процессы совершения работы (полезной внешней работы) – практически адиабатно. И в том, и в другом случае для расчета процессов достаточно знать энтальпии в началь- ном и конечном состоянии. Поэтому диаграмма, по осям которой отклады- ваются удельные энтальпия и энтропия, а также наносятся линии изобар, изохор и изотерм с кон- кретными значениями па- раметров, оказывается удобной для практичес- ких расчётов. Такая h – s диаграмма, предложенная немецким инженером
Р.Молье в 1904 году, при- ведена на рис 4.5
Рис. 4.5. h – s диаграмма

40
Критическая точка в этой диаграмме расположена не в высшей точке пограничной кривой, а несколько левее. В области влажного пара изобары изображаются прямыми линиями, наклон которых увеличивается с ростом давления насыщения, в области перегретого пара изобары изображаются кривыми, близкими к экспонентам. Изохоры (пунктирные линии) – более крутые, чем изобары линии. Изотермы в области влажного пара совпадают с изобарами, а в области перегретого пара отклоняются (с изломом) вправо, выходя на горизонталь при удалении от верхней пограничной кривой.
Лекция 8 5. ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКА
Основные законы для потока
Будем рассматривать течение газов и паров в каналах, через стенки ко- торых может происходить массо – и теплообмен (рис.5.1).
Приближения, используемые при описании потока
Будем пренебрегать составляющими скорости, перпендикулярными оси канала, и считать течение одномерным. На самом деле вязкость потока при- водит к тому, что вблизи стенок канала возникает пограничный слой, ско- рость в котором изменяется, однако мы будем рассматривать течение только в ядре потока на достаточном удалении от границ. Кроме того, пренебрежем

41
изменением температуры в пограничном слое, вызываемом выделяющейся здесь теплотой трения.
Таким образом, при описании потока будут использоваться следующие допущения:
1. Течение стационарно, т.е. ни один из параметров течения не зависит от времени.
2. Каналы прямые, ось x направлена вдоль оси канала. Течение одно- мерно.
3. Каналы сравнительно короткие, что позволяет пренебречь изменени- ем потенциальной энергии потока, т.е.
0
g z
 
4. В канале отсутствуют движущиеся поверхности, т.е. газ (пар) не со- вершает технической работы: l
техн
=0.
Основные законы термодинамики для потока
Первый закон термодинамики
Выражения I закона термодинамики для потока будут различными для различных систем отсчета. Рассматривают две системы отсчета: система, связанная с выделенным в потоке объемом, движущимся в потоке – пред-
ставление Лагранжа, система центра масс – и система отсчета, относительно которой движется поток – представление Эйлера, лабораторная система ко- ординат.
В представлении Лагранжа термодинамическая система неподвижна и для такой системы I закон термодинамики был сформулирован ранее:
δ
d
δ
Q
U
L


δ
d d или δ
d d
Q
H
V p
q
h
v p




Если в явном виде учесть теплоту, выделяющуюся при трении, то I закон
термодинамики для потока с учетом трения в представлении Лагранжа
примет вид
  




r
q
q
du
pdv
dh
vdp
,

42
где
q
– обратимая теплота, подводимая или отводимая через поверхность,

r
q
– необратимая теплота, подводимая к потоку в результате трения.
В представлении Эйлера подведенная к выделенному элементарному объему теплота расходуется на изменение кинетической и потенциальной энергий потока, совершение работы над устройством, помещенным в поток
(или работы устройства над потоком), работы проталкивания и работы про- тив сил трения. Если не учитывать работы против сил трения, то
 

   

ò
ï ðî ò
q
du
dk
d
l
dl
, где
2 2
w
k 
,
  gz
– удельные кинетическая и потенциальная энергии (g – ускорение свободного падения, z – вертикальная координата);

ò
l
– техническая работа,
 
pv
d
l
d
прот

– работа проталкивания.
Подставляя эти выражения и учитывая, что
 
dh
pv
d
du


, получим
2
δ
2
 



ò
w
q
dh
d
gdz
l
С учетом трения I закон термодинамики для потока в представлении Эйлера
примет вид
2 2
  



 

r
ò
r
w
q
q
dh
d
gdz
l
dl
Поскольку работа против сил трения полностью превращается в теплоту,

 
r
r
q
l
, то учет трения не изменяет выражения для I закона в представлении Эйлера.
Второй закон термодинамики
Энтропия потока в обоих представлениях определяется одинаково: d
q
s
T


,

43
где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак > – к процессам необратимым. Если явно учитывать необратимую теплоту трения, то второй закон термодинамики будет иметь вид d
r
q
q
s
T
  

Уравнение баланса механической энергии в потоке
Поскольку количество теплоты инвариантно относительно системы от- счета, то можно приравнять правые части уравнений первого закона термо- динамики в представлениях Лагранжа и Эйлера с учетом трения и получить уравнение баланса механической энергии в потоке:
2 2

  


 

ò
r
w
l
vdp
d
gdz
l
dl
В этом уравнении величину




2 1
p
p
dp
v
l
Называют располагаемой работой. В соответствии с правой частью уравне- ния она расходуется на изменение кинетической и потенциальной энергии потока, совершение технической работы и работы против сил трения.
Массовый и объемный расходы. Уравнение неразрывности
Важными характеристиками потока являются массовый,
M
,и объем- ный,
V
, расходы – масса или объем вещества, протекающего через поверх- ность площадью f в единицу времени. В одномерном приближении объемный и массовый расходы равны
;
ρ
w f
V
w f
M
V
w f
v


 




где
1
ρ
v

– плотность вещества потока, кг/м
3

44
После логарифмического дифференцирования уравнение для расхода прини- мает вид d
d d
d
M
w
f
M
w
f







Если стенки канала непроницаемы для вещества, то в стационарном режиме массовый расход через любое сечение канала будет постоянной величиной, и
0.
d
d w
d f
w
f





Это уравнение неразрывности или сплошности.
Скорость звука
Скорость звука – это скорость распространения малых возмущений (в частности, изменения давления в потоке). Выражение для скорости звука a можно получить, решая систему уравнений сохранения импульса и массы для «возмущенной» и «невозмущенной» областей потока в системе коорди- нат, связанной с фронтом волны возмущения:
ρ
s
p
a



 




Процесс распространения звука адиабатный, тогда для идеального газа
kRT
kpv
a


Сопло и диффузор
Из уравнения баланса механической энергии в потоке при принятых выше допущениях для адиабатного потока следует
2 2

  
 

w
l
vdp
d h
d
или
2 2
d
0;
d
0 2
2
w
w
h
d
v p
d




Последнее соотношение позволяет связать изменение скорости с изменением давления: d
d
w w
v p
 

45
Из этого соотношения видно, что если давление уменьшается (
d
0
p 
), то скорость растет. Такие каналы называются соплами. Если давление увеличи- вается (
d
0
p 
), то скорость падает. Такие каналы называются диффузора-
ми.
Сопло – канал, предназначенный для ускорения потока за счёт уменьшения давления; диффузор – канал, предназначенный для увеличения давления) за счёт тор- можения потока.
Лекция 9
Истечение идеального газа из геометрического сопла
Геометрическое сопло – такое, в котором скорость изменяется за счет изменения сечения канала.
Проинтегрировав уравнения баланса механической энергии для адиа- батного потока, получим
2 2
2 2
1 1
2 2
ад
1
,
2 2
w
w
h
h
w
l
w






Скорость потока в выходном сечении канала равна


1 2
2 2
2 1
2 1
1 1
1 2
2 1
1
k
k
k
p
w
h
h
w
RT
w
k
p
























Обычно
1 2
w
w 
, тогда


1 2
2 1
2 1
1 2
2 1
1
k
k
k
p
w
h
h
RT
k
p










 










По определению массовый расход газа при известной скорости в выходном сечении равен
2 2
2
v
f
w
M 


46
где удельный объём в выходном сечении находится из условия адиабатично- сти процесса,
1 1
1 1
2 2
1 1
1 2
k
k
p
RT
p
v
v
p
p
p














Тогда
2 1
2 2
1 2
2 2
2 1
1 1
2 1
k
k
k
w f
k
p
p
p
M
f
v
k
v
p
p




























Обозначим отношения давлений за соплом p
2
и перед соплом p
1,
2 1
β
p
p

и по- строим графики зависимости безразмерных скорости истечения и массового расхода газа,
 
1 2
1
k
k
w

 
 
,
 
2 1
k
k
k
M

    

от β (рис. 5.2)
Рис.5.2. Зависимости безразмерных скорости истечения и массового расхода газа от
β
С уменьшением β скорость истечения увеличивается, достигая максимально- го значения при
0


. При этом расход увеличивается только при уменьше- нии β от 1 до некоторого критического значения β
кр
, уменьшаясь затем до 0 при дальнейшем уменьшении β.

47
Чтобы объяснить такое поведение расхода, вычислим скорость в критиче- ской точке, записав условие максимума для расхода: кр
2 1
1 2
1 2
1
d d
2
k
k
k
k
k
k
M
k
k















  

откуда
1
кр
2 1
k
k
k



  




Критическое отношение давлений при адиабатном течении идеального газа в соплах зависит только от показателя адиабаты, то есть, от числа атомов в мо- лекулах газа. Значения βкр представлены в табл.3. Здесь же приведено ори- ентировочное значение критического отношения давлений для перегретого водяного пара вблизи верхней пограничной кривой.
Таблица 5.1
Значения критического отношения давлений
Газ
1 – атомый
2 – атомный
3 – и более атомный
Водяной пар
Число степеней свободы f
3 5
6 6
Показатель адиабаты k
1.67 1.40 1.33
Критическое отношение давлений βкр
0.487 0.528 0.540 0.546
Подставив βкр в выражение для скорости истечения, получим:
1 1
2кр
1 1
2 2
1 2
1 1
1
k k
k
k
k
k
w
RT
RT
k
k
k






















Температура в критической точке равна
1 2кр
1 кр
1 2
1
k
k
T
T
T
k

 



48
и скорость истечения газа при критическом отношении давлений равна ско- рости звука в идеальном газе,
2кр
2кр
,
w
k RT

Таким образом, аномалия в поведении расхода в адиабатическом сопле свя- зана с достижением звуковой скорости.
Закон обращения геометрического воздействия
Запишем в дифференциальной форме уравнения I начала термодина- мики для потока, неразрывности и адиабатического процесса: d
dp ,
d d
d
,
d d .
w w
v
v
w
f
v
w
f
kp v
v p

 







 

Из первого и третьего уравнений находим d
d d
v
w w
w w
v
kpv
kRT


Подставив это отношение в уравнение неразрывности с учетом выражения для скорости звука получим
2 2
d d
1
w
w
f
a
w
f








или


2
d d
1
,
w
f
M
w
f



где отношение скорости потока в данном сечении канала к местной скорости звука,
a
w
M 

называется числом Маха.
Последнее уравнение и представляет собой закон обращения геомет-
рического воздействия.
Из закона обращения геометрического воздействия следует, что знак df
(расширение или сужение поперечного сечения сопла), будет определяться
числом Маха: для ускорения дозвукового потока сопло должно быть сужи-

49
вающимся; для ускорения сверхзвукового потока сопло должно быть расши-
ряющимся.
Если скорость потока на входе в сопло меньше скорости звука, то для достижения сверхзвуковых скоростей необходимо перейти от сужения к расширению – изменить знак df – обратить геометрическое воздействие.
Выбор типа сопла, то есть, изменение площади поперечного сечения, будет определяться сравнением заданного отношения давлений β с критиче- ским отношением давлений β
кр
, поскольку и конфигурация сопла и скорость потока на выходе зависят от отношения давлений β.
Рассмотрим три случая.
А) кр
β
β 1
 
. Сопло должно быть суживающимся; режим истечения дозвуко- вой.
Б) кр
0 β
β
 
. Сопло должно быть комбинированным: после достижения ско- рости звука в минимальном сечении суживающейся части сопла, необходимо переходить к расширению
– обращению воздействия.
Такое комбинированное сопло было предложено французским инженером
П. Лавалем и носит его имя. Конфигурация сопла
Лаваля приведена на рис.5.3.
Рис. 5.3. Конфигурация сопла Лаваля

50
Расчет сопел А и Б производится по вышеприведенным формулам.
В) кр
0 β
β
 
, но сопло суживающееся. В этом случае скорость потока на вы- ходе будет равна скорости звука,
2 2кр
2кр
1 2
1
k
w
w
a
RT
k




а массовый расход вычисляется по формуле
2кр min max
2кр

1   2   3   4   5   6   7   8   9