ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 262
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
5.4 Оценивание параметров системы одновременных уравнений
79
экзогенными переменными. Каждое уравнение системы точно идентифицировано.
Применим КМНК, используя следующую информацию (табл. 5.6).
Таблица 5.6 – Исходные данные для примера 5.2
Q
t
20 33 28 41 40 36 42 38 51
P
t
3 3
5 4
5 6
6 7
7
y
t
34 43 51 49 55 62 70 68 78
I
t
5 6
6 7
7 6
8 8
12
Запишем приведенную форму модели:
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪
⎩
Q
t
=
A
1
+ δ
11
y
t
+ δ
12
I
t
+ u
1
,
P
t
=
A
2
+ δ
21
y
t
+ δ
22
I
t
+ u
2
.
Оценку параметров каждого уравнения приведенной формы модели выполним,
используя обычный МНК. В результате получим:
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪
⎩
Q
t
=
6,022 + 0,234y
t
+ 2,393I
t
+ u
1
,
P
t
= −0,692 + 0,126y
t
− 0,189I
t
+ u
2
.
Выполним переход к структурной форме модели. Найдем уравнение спроса:
Q
d
t
=
a
0
+ a
1
P
t
+ a
2
y
t
+ U
t
.
Для этого из второго уравнения приведенной модели выразим I
t
и подставим его в первое уравнение:
I
t
=
−P
t
− 0,692 + 0,127y
t
0,189
;
Q
t
=
6,022 + 0,234y
t
+ 2,393 ⋅
−P
t
− 0,692 + 0,126y
t
0,189
= −2,743 − 12,667P
t
+ 1,829y
t
.
Получили первое уравнение структурной формы модели. Аналогично найдем и второе уравнение структурной формы модели, характеризующее функцию пред- ложения: Q
S
t
=
b
0
+b
1
P
t
+b
2
I
t
+V
t
. Для этого из первого уравнения приведенной фор- мы модели исключим y
t
, выразив его через второе уравнение и подставив в первое.
y
t
=
P
t
+ 0,692 + 0,189I
t
0,127
;
Q
t
=
6,022 + 0,234 ⋅
P
t
+ 0,692 + 0,189I
t
0,127
+ 2,393I
t
=
7,297 + 1,843P
t
+ 2,741I
t
.
В итоге модель спроса и предложения имеет вид:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
Q
d
t
= −2,743 − 12,667P
t
+ 1,829y
t
+ U
t
,
Q
S
t
=
7,297 + 1,843P
t
+ 2,741I
t
+ V
t
,
Q
S
t
=
Q
d
t
.
80
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Глава 5. Системы эконометрических уравнений
5.4.2 Двухшаговый метод наименьших квадратов
Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) применяется как к точно идентифицированной, так и к сверхидентифицированной системе.
Применение метода предусматривает следующие шаги:
1) построение приведенной формы модели (ПФМ);
2) для каждого уравнения структурной формы модели выполняются следую- щие действия:
находят эндогенные переменные, являющиеся факторными признака- ми (стоят в правой части уравнения);
для этих переменных определяют их выровненные значения
̂y
i
=
A
i
+
+ δ
i1
x
1
+ δ
i2
x
2
+ . . . + δ
im
x
m
, используя соответствующее уравнение
ПФМ;
находят параметры рассматриваемого уравнения структурной формы модели обычным МНК, заменяя исходные значения эндогенных пере- менных-факторов их выровненными значениями.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
1) все уравнения системы сверхидентифицируемы;
2) система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифи- цируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структур- ных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то вычисление структурных коэффициентов возможно из системы приведенных уравнений.
Пример 5.3
Имеются квартальные данные об объемах валового внутреннего продукта
(BBП
t
, трлн руб.), расходов на конечное потребление (КП
t
, трлн руб.), валового накопления (BH
t
, трлн руб.) и чистого экспорта (Э
t
, трлн руб.). Данные представ- лены в таблице 5.7.
Таблица 5.7 – Динамика внутреннего валового продукта по кварталам
Номер
наблюдения
Год, квартал
ВВП
t
КП
t
ВН
t
Э
t
1 2003, 1 квартал
330,10 260,15 43,40 26,55 2
2003, 2 квартал
341,60 248,27 73,10 20,22 3
2003, 3 квартал
395,70 266,59 124,23 4,89 4
2003, 4 квартал
361,10 251,42 105,49 4,19 5
2004, 1 квартал
322,80 257,22 55,71 9,87 6
2004, 2 квартал
330,10 254,48 64,34 11,28 7
2004, 3 квартал
374,00 244,54 116,24 13,22 8
2004, 4 квартал
350,10 240,90 86,66 22,55
продолжение на следующей странице
5.4 Оценивание параметров системы одновременных уравнений
81
Таблица 5.7 — Продолжение
Номер
наблюдения
Год, квартал
ВВП
t
КП
t
ВН
t
Э
t
9 2005, 1 квартал
321,40 255,54 52,31 13,55 10 2005, 2 квартал
327,30 257,72 63,56 6,01 11 2005, 3 квартал
384,70 266,72 112,83 5,16 12 2005, 4 квартал
362,60 278,34 77,86 6,39 13 2006, 1 квартал
316,70 247,37 73,12
−3,79 14 2006, 2 квартал
324,20 237,30 87,60
−0,70 15 2006, 3 квартал
350,80 270,15 62,16 18,49 16 2006, 4 квартал
329,70 275,55
−6,67 60,82 17 2007, 1 квартал
310,80 244,14 23,93 42,73 18 2007, 2 квартал
334,20 232,50 51,61 50,09 19 2007, 3 квартал
390,90 242,69 89,33 58,87 20 2007, 4 квартал
369,40 244,74 41,35 83,31 21 2008, 1 квартал
346,30 221,76 40,13 84,41 22 2008, 2 квартал
368,40 222,53 61,49 84,38 23 2008, 3 квартал
432,00 253,44 99,66 78,90 24 2008, 4 квартал
399,80 250,08 85,17 64,55 25 2009, 1 квартал
347,10 235,57 46,33 65,21 26 2009, 2 квартал
364,15 242,31 70,86 50,98 27 2009, 3 квартал
424,67 261,28 116,53 46,86 28 2009, 4 квартал
399,80 265,24 100,71 33,85 29 2010, 1 квартал
363,31 271,79 53,62 37,90 30 2010, 2 квартал
382,50 269,36 69,12 44,02 31 2010, 3 квартал
450,21 289,35 111,53 49,33 32 2010, 4 квартал
417,90 287,06 87,79 43,05 33 2011, 1 квартал
377,14 271,76 50,60 54,77 34 2011, 2 квартал
399,38 279,64 74,57 45,17 35 2011, 3 квартал
470,24 295,94 127,63 46,66 36 2011, 4 квартал
443,71 300,05 97,98 45,68 37 2012, 1 квартал
405,83 298,01 58,24 49,58 38 2012, 2 квартал
431,29 296,59 80,61 54,09 39 2012, 3 квартал
499,50 316,51 122,58 60,42 40 2012, 4 квартал
478,06 306,31 112,89 58,86 41 2013, 1 квартал
435,47 314,10 60,92 60,45 42 2013, 2 квартал
463,66 309,69 84,13 69,83 43 2013, 3 квартал
535,01 336,24 127,61 71,15 44 2013, 4 квартал
510,18 318,43 128,26 63,49
На основе данных была построена модель:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
КП
t
=
a
1
+ b
11
BBП
t
+ ε
1
,
BH
t
=
a
2
+ b
21
BBП
t−4
+ ε
2
,
BBП
t
=
КП
t
+ BH
t
+ Э
t
,
где BBП
t−4
— объем BBП за аналогичный квартал предыдущего года.
82
Глава 5. Системы эконометрических уравнений
Выполним проверку системы на идентификацию с помощью необходимого условия.
Для первого уравнения имеем:
количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение, равно двум (КП
t
и BBП
t
), H = 2;
количество предопределенных переменных, не входящих в это уравнение,
равно двум (Э
t
и BBП
t−4
), D = 2.
H < D + 1, следовательно, уравнение сверхидентифицировано.
Для второго уравнения имеем:
количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение, — одна
(BH
t
), H = 1;
количество предопределенных переменных, не входящих в это уравне- ние, — одна (Э
t
), D = 1.
H < D + 1, следовательно, уравнение сверхидентифицировано.
Третье уравнение является тождеством и на идентификацию не проверяется.
Поскольку оба уравнения системы сверхидентифицированы, то и система свер- хидентифицирована.
Выполним проверку системы на идентификацию с помощью достаточного ус- ловия.
Определим матрицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в первом уравнении (BH
t
, BBП
t−4
, Э
t
):
(−
1 b
21 0
1 0
1)
.
Определитель данной матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен двум, что на единицу меньше количества эндогенных переменных в системе. Таким образом,
достаточное условие соблюдается.
Определим матрицу коэффициентов при переменных, отсутствующих во вто- ром уравнении (КП
t
, BBП
t
, Э
t
):
(−
1 b
11 0
1
−1 1)
.
Ранг данной матрицы равен 2, следовательно, достаточное условие соблюдается.
Обобщая выводы относительно идентификации системы, получаем, что систе- ма имеет решение и является сверхидентифицированной.
Для нахождения ее коэффициентов применим двухшаговый метод наименьших квадратов.
1 шаг. Запишем приведенную форму модели:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
BBП
t
=
A
1
+ δ
11
⋅ BBП
t−4
+ δ
12
⋅ Э
t
+ u
1
,
КП
t
=
A
2
+ δ
21
⋅ BBП
t−4
+ δ
22
⋅ Э
t
+ u
2
,
BH
t
=
A
3
+ δ
31
⋅ BBП
t−4
+ δ
23
⋅ Э
t
+ u
3
.
Вычисление параметров каждого уравнения этой модели с помощью МНК про- ведем по укороченным рядам: все показатели, кроме BBП
t−4
, берутся с пятого по
44 наблюдение, а показатель BBП
t−4
— с первого по 40-е наблюдение (табл. 5.7).
5.4 Оценивание параметров системы одновременных уравнений
83
В результате система уравнений примет вид:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
BBП
t
= −31,53 + 1,06 ⋅ BBП
t−4
+ 0,51 ⋅ Э
t
+ u
1
,
КП
t
=
79,06 + 0,52 ⋅ BBП
t−4
− 0,11 ⋅ Э
t
+ u
2
,
BH
t
= −110,59 + 0,54 ⋅ BBП
t−4
− 0,38 ⋅ Э
t
+ u
3
.
2 шаг. Рассмотрим уравнения структурной формы модели (СФМ).
В первом уравнении СФМ эндогенной переменной-фактором является пере- менная BBП
t
. Найдем ее выровненные значения по первому уравнению ПФМ
(табл. 5.8).
Таблица 5.8 – Расчет выровненных значений BBП
t
Номер
наблюдения
ВВП
t−4
Э
t
Выровненные
значения
ВВП
t
5 330,10 9,87 323 6
341,60 11,28 336 7
395,70 13,22 395 8
361,10 22,55 363 9
322,80 13,55 318 10 330,10 6,01 321 11 374,00 5,16 368 12 350,10 6,39 343 13 321,40
−3,79 307 14 327,30
−0,70 315 15 384,70 18,49 386 16 362,60 60,82 384 17 316,70 42,73 326 18 324,20 50,09 338 19 350,80 58,87 370 20 329,70 83,31 360 21 310,80 84,41 341 22 334,20 84,38 366 23 390,90 78,90 423 24 369,40 64,55 393 25 346,30 65,21 369 26 368,40 50,98 385 27 432,00 46,86 450 28 399,80 33,85 410 29 347,10 37,90 356 30 364,15 44,02 377 31 424,67 49,33 444 32 399,80 43,05 414 33 363,31 54,77 382
продолжение на следующей странице
84
Глава 5. Системы эконометрических уравнений
Таблица 5.8 — Продолжение
Номер
наблюдения
ВВП
t−4
Э
t
Выровненные
значения
ВВП
t
34 382,50 45,17 397 35 450,21 46,66 469 36 417,90 45,68 435 37 377,14 49,58 394 38 399,38 54,09 419 39 470,24 60,42 498 40 443,71 58,86 469 41 405,83 60,45 429 42 431,29 69,83 461 43 499,50 71,15 534 44 478,06 63,49 508
После этого применим к первому уравнению СФМ метод наименьших квадра- тов, используя в качестве исходной информации значения эндогенной переменной- результата (КП
t
) и выровненные значения эндогенной переменной фактора (BBП
t
).
В результате получим:
КП
t
=
110,48 + 0,4 ⋅ BBП
t
+ ε
1
.
Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии в этом уравнении равно 7,95, табличное — 2,0244 (df = 40 − 2 = 38, α = 0,05),
следовательно коэффициент при переменной BBП
t
значим. Значимо и уравнение в целом (R
2
=
0,62; F = 63,19; F
тaбл
=
4,1).
Второе уравнение не содержит эндогенных переменных-факторов, поэтому его параметры можно найти, применяя к нему обычный МНК. В результате получим следующее уравнение регрессии:
BH
t
= −103,89 + 0,48 ⋅ BBП
t−4
+ ε
2
.
Это уравнение также имеет значимый коэффициент (t
фaкт
=
7,05) и значимо в целом (R
2
=
0,57; F = 49,73).
Третье уравнение СФМ не является уравнением регрессии и не имеет неиз- вестных параметров (все параметры равны единице).
Таким образом, получена следующая система уравнений:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
КП
t
=
110,48 + 0,4 ⋅ BBП
t
+ ε
1
,
BH
t
= −103,89 + 0,48 ⋅ BBП
t−4
+ ε
2
,
BBП
t
=
КП
t
+ BH
t
+ Э
t
.
Контрольные вопросы по главе 5
85
Контрольные вопросы по главе 5 1. В чем сходство и различие моделей систем эконометрических уравнений с простыми моделями множественной регрессий?
2. Приведите примеры экономических процессов и явлений, которые могут быть описаны системами независимых, рекурсивных и взаимозависимых уравнений.
3. Опишите систему эконометрических уравнений в общем виде.
4. Какие типы переменных принято выделять в системах эконометрических уравнений?
5. Основные виды систем эконометрических уравнений.
6. Что называется структурной формой модели?
7. Для чего необходима приведенная форма модели? Какой вид она имеет?
Что такое идентификация модели?
8. Какие классы моделей можно определить с точки зрения их идентификации?
9. В чем состоит необходимое и достаточное условия идентификации?
10. В каком случае вся модель является идентифицируемой и сверхидентифи- цируемой?
11. Дайте краткое описание методики косвенного метода наименьших квадратов.
Глава 6
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
6.1 Составляющие временного ряда
При построении эконометрической модели используются два типа данных:
1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определен- ный момент времени;
2) данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственны-
ми моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются
моделями временных рядов.
Временной ряд (ряд динамики) — это совокупность значений какого-либо пока- зателя (y
i
) за несколько последовательных моментов или периодов времени (t
i
).
Величины y
i
называются уровнями временного ряда, а t
i
— временными мет- ками (моменты или интервалы наблюдения). Обычно рассматриваются временные ряды с равными интервалами между наблюдениями, в качестве значений t
i
берутся порядковые номера наблюдений и временной ряд представляется в виде последо- вательности y
1
, y
2
, y
3
, . . ., y
n
, где n — количество наблюдений (табл. 6.1).
Таблица 6.1 – Динамика ВВП Российской Федерации
2009 г.
2010 г.
2011 г.
2012 г.
2013 г.
Номинальный ВВП,
млрд руб.
38 797,2 44 491,4 54 370,1 58 496,2 66 755,3
Целью исследования временного ряда является выявление закономерностей в изменении уровней ряда и построении его модели в целях прогнозирования и ис- следования взаимосвязей между явлениями [1]. Каждый уровень временного ряда