ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 263
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
36
Глава 2. Множественная линейная регрессия
Пример 2.2
Пусть имеются следующие данные (условные) о прибыли от реализации про- дукции y, постоянных затратах на производство продукции x
1
и объеме выпускае- мой продукции x
2
, представленные в таблице 2.3.
Таблица 2.3 – Исходные данные к примеру 2.2
№ 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10
x
1 100 120 90 94 91 80 93 95 103 101
x
2 12 8
7,5 7,9 13 7
7,7 6
5 8,3
y
20 30 21 25 23 18 22 24 29 27
Предполагая, что между переменными y, x
1
, x
2
существует линейная корреля- ционная зависимость, найдем уравнение регрессии y по x
1
и x
2
Для удобства дальнейших вычислений составляем вспомогательную таблицу 2.4.
Для нахождения параметров уравнения регрессии в данном случае необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
10 ⋅ a + 967 ⋅ b
1
+ 82,4 ⋅ b
2
=
239,
967 ⋅ a + 94 501 ⋅ b
1
+ 7960 ⋅ b
2
=
23 413,
82,4 ⋅ a + 7960 ⋅ b
1
+ 733,84 ⋅ b
2
=
1942,5.
Получаем: a = −1,487, b
1
=
0,3005, b
2
= −0,445. Запишем уравнение множест- венной регрессии:
̂y = −1,487 + 0,3005 ⋅ x
1
+
(−0,445) ⋅ x
2
.
Оно показывает, что при увеличении постоянных затрат на производство про- дукции x
1
(при неизменном x
2
) на 1 условную единицу затрат прибыль y увеличит- ся в среднем на 0,3005, а при увеличении объема выпускаемой продукции x
2
(при неизменном x
1
) на 1 условную единицу объема прибыль уменьшается в среднем на 0,445 условных единиц прибыли.
Найдем уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:
̂t
y
=
β
1
⋅ t
x
1
+ β
2
⋅ t
x
2
.
Вычисляем стандартизованные коэффициенты регрессии:
β
1
=
b
1
⋅
σ
x
1
σ
y
=
0,3005 ⋅
9,96 3,7
=
0,8089,
β
2
=
b
2
⋅
σ
x
2
σ
y
= −0,445 ⋅
2,34 3,7
= −0,2819.
В результате уравнение регрессии в стандартизованном масштабе будет выгля- деть следующим образом:
̂t
y
=
0,8089 ⋅ t
x
1
− 0,2819 ⋅ t
x
2
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что постоянные затраты оказывают большее влияние на рост цены на продукцию.
2.4
Р
егре
ссионная
м
о
дель
в
стандар
тиз
ов
анно
м
м
асштабе
37
Таблица 2.4 – Вспомогательная таблица
№
x
1
x
2
y
x
2 1
x
2 2
y
2
x
1
⋅ x
2
x
1
⋅ y
x
2
⋅ y
̂y
x
ε
2 1
100 12 20 10 000 144 400 1200 2000 240 23,22 10,35 2
120 8
30 14 400 64 900 960 3600 240 31,01 1,02 3
90 7,5 21 8100 56,25 441 675 1890 157,5 22,22 1,48 4
94 7,9 25 8836 62,41 625 742,6 2350 197,5 23,24 3,10 5
91 13 23 8281 169 529 1183 2093 299 20,07 8,60 6
80 7
18 6400 49 324 560 1440 126 19,43 2,06 7
93 7,7 22 8649 59,29 484 716,1 2046 169,4 23,03 1,06 8
95 6
24 9025 36 576 570 2280 144 24,39 0,15 9
103 5
29 10 609 25 841 515 2987 145 27,24 3,11 10 101 8,3 27 10 201 68,89 729 838,3 2727 224,1 25,17 3,37
Сумма
967 82,4 239 94 501 733,84 5849 7960 23 413 1942,5 239 34,29
Среднее значение
96,7 8,24 23,9 9450,1 73,38 584,9 796 2341,3 194,25 23,90 3,43
σ
2 99,21 5,49 13,69
—
—
—
—
—
—
—
—
σ
9,960 2,34 3,7
—
—
—
—
—
—
—
—
38
Глава 2. Множественная линейная регрессия
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
Э
i
=
b
i
⋅
x
i
y
x
,
(i = 1, 2,. . ., m).
Вычисляем:
Э
1
=
0,3005 ⋅
96,7 23,9
=
1,22,
Э
2
= −0,2819 ⋅
8,24 23,9
= −0,15.
То есть увеличение только постоянных затрат (от своего среднего значения)
на 1% увеличивает в среднем прибыль на 1,22%. В то же время увеличение объ- ема производства на 1% уменьшает в среднем прибыль на 0,15%. Таким образом,
подтверждается большее влияние на результат y фактора x
1
, чем фактора x
2 2.5 Частные уравнения регрессии
Частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние одного из факторов x
i
на результативную переменную y при исключении влияния осталь- ных факторов, включенных в уравнение регрессии. Частные уравнения регрессии получаются из общего уравнения линейной множественной регрессии при закреп- лении всех факторов, кроме фактора x
i
, на их среднем уровне:
̂y
x
i
⋅x
1
,. . ., x
i−1
, x
i+1
,. . ., x
m
=
a+b
1
⋅x
1
+. . .+b
i−1
⋅x
i−1
+b
i
⋅x
i
+b
i+1
⋅x
i+1
+. . .+b
m
⋅x
m
,
(i = 1, 2, . . ., m).
При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факто- ров они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т. е. имеем:
̂y
x
i
⋅x
1
,. . .,x
i−1
, x
i+1
,. . ., x
m
=
A
i
+ b
i
⋅ x
i
,
(i = 1, 2, . . ., m),
где A
i
=
a + b
1
⋅ x
1
+ . . . + b
i−1
⋅ x
i−1
+ b
i+1
⋅ x
i+1
+ . . . + b
m
⋅ x
m
На основе частных уравнений регрессии определяют частные коэффициенты эластичности:
Э
y
xi
=
b
i
⋅
x
i
̂y
x
i
⋅x
1
,. . ., x
i−1
, x
i+1
,. . ., x
m
,
(i = 1, 2, .. ., m),
где b
i
— коэффициент регрессии для фактора x
i
в уравнении множественной ре- грессии;
̂y
x
i
⋅x
1
,. . ., x
i−1
, x
i+1
,. . ., x
m
— частное уравнение регрессии.
Средние частные коэффициенты эластичности
Э
y
xi
=
b
i
⋅
x
i
̂y
x
i
⋅x
1
,. . ., x
i−1
, x
i+1
,. . ., x
m
,
(i = 1, 2, . . ., m)
показывают, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится резуль- тат y при изменении фактора x от своего среднего значения на 1% при неизменных значениях других факторов, и могут использоваться для выделения факторов, наи- более влияющих на результат.
2.5 Частные уравнения регрессии
39
Если факторы x
i
, x
j
, находятся в корреляционной связи, то с помощью частных коэффициентов корреляции r
yx
i
⋅x
1
x
2
. . .x
i−1
x
i+1
. . .x
m
можно оценить тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении вли- яния) других факторов, включенных в уравнение регрессии. Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной диспер- сии, имевшей место до введения его в модель.
В общем виде при наличии m факторов для уравнения:
y = a + b
1
⋅ x
1
+ b
2
⋅ x
2
+ . . . + b
m
⋅ x
m
+ ε
коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние фактора x
i
на результат
y при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:
r
yx
i
⋅x
1
x
2
. . .x
i−1
x
i+1
. . .x
m
=
¿
Á
Á
Á
À1 −
1 − R
2
yx
1
x
2
. . .x
i
. . .x
m
1 − R
2
yx
1
x
2
. . .x
i−1
x
i+1
. . .x
m
,
где R
2
yx
1
x
2
. . .x
i
. . .x
m
— множественный коэффициент детерминации всех m факторов с результатом y; R
2
yx
1
x
2
. . .x
i−1
x
i+1
. . .x
m
— тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора x
i
При двух факторах формулы частных коэффициентов корреляции принимают вид:
r
yx
1
⋅x
2
=
¿
Á
Á
À
1 −
1 − R
2
yx
1
x
2 1 − r
2
yx
2
;
r
yx
2
⋅x
1
=
¿
Á
Á
À
1 −
1 − R
2
yx
1
x
2 1 − r
2
yx
1
.
Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факто- ров, влияние которых исключается. Например, r
yx
1
⋅x
2
— коэффициент частной кор- реляции первого порядка. Соответственно коэффициенты парной корреляции на- зываются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреля- ции более низких порядков по рекуррентной формуле:
r
yx
i
⋅x
1
x
2
. . .x
p
=
r
yx
i
⋅x
1
x
2
. . .x
p−1
− r
yx
p
⋅x
1
x
2
. . .x
p−1
⋅ r
x
i
x
p
⋅x
1
x
2
. . .x
i−1
x
i+1
. . .x
p−1
√
(1 − r
2
yx
p
⋅x
1
x
2
. . .x
p−1
) ⋅ (1 − r
2
x
i
x
p
⋅x
1
x
2
. . .x
p−1
)
,
где x
i
— фактор, дополнительно включаемый в модель; x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
p
— факторы,
включенные в модель до фактора x
i
В случае двух факторов x
1
и x
2
формула принимает вид:
r
yx
1
⋅x
2
=
r
yx
1
− r
yx
2
⋅ r
x
1
x
2
√
(1 − r
2
yx
2
) ⋅ (1 − r
2
x
1
x
2
)
;
r
yx
2
⋅x
1
=
r
yx
2
− r
yx
1
⋅ r
x
1
x
2
√
(1 − r
2
yx
1
) ⋅ (1 − r
2
x
1
x
2
)
.
Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреля- ции второго порядка определяются на основе частных коэффициентов корреляции
40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Глава 2. Множественная линейная регрессия
первого порядка. Так, по уравнению
̂y
x
=
a + b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
возможно вычисление трех частных коэффициентов корреляции второго порядка:
r
yx
1
⋅x
2
x
3
, r
yx
2
⋅x
1
x
3
, r
yx
3
⋅x
1
x
2
.
r
yx
1
⋅x
2
x
3
=
r
yx
1
⋅x
2
− r
yx
3
⋅x
2
⋅ r
x
1
x
3
⋅x
2
√
(1 − r
2
yx
3
⋅x
2
) ⋅ (1 − r
2
x
1
x
3
⋅x
2
)
;
r
yx
2
⋅x
1
x
3
=
r
yx
2
⋅x
1
− r
yx
3
⋅x
1
⋅ r
x
2
x
3
⋅x
1
√
(1 − r
2
yx
3
⋅x
1
) ⋅ (1 − r
2
x
2
x
3
⋅x
1
)
;
r
yx
3
⋅x
1
x
2
=
r
yx
3
⋅x
1
− r
yx
2
⋅x
1
⋅ r
x
2
x
3
⋅x
1
√
(1 − r
2
yx
2
⋅x
1
) ⋅ (1 − r
2
x
2
x
3
⋅x
1
)
.
Частные коэффициенты корреляции позволяют ранжировать факторы по степе- ни влияния на результативный признак и находят применение в процедуре отбора факторов для включения их в уравнение регрессии (учитываются факторы, кото- рым соответствуют значимые коэффициенты частной корреляции).
2.6 Анализ качества эмпирического уравнения регрессии
Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа. Следующей важнейшей задачей является анализ каче- ства уравнения регрессии. Здесь можно выделить два направления:
оценка значимости параметров модели множественной регрессии;
оценка значимости модели множественной регрессии.
2.6.1 Оценка статистической значимости параметров модели множественной регрессии
Оценки коэффициентов регрессии зависят от используемой выборки значений переменных x, y и являются случайными величинами. Как и в парной регрессии,
статистическая значимость параметров оценивается двумя способами: с помощью сравнения фактического и табличного значений критерия Стьюдента (t-критерия)
и с помощью доверительных интервалов.
Фактическое значение критерия Стьюдента для параметров уравнения множе- ственной регрессии рассчитывается по формулам:
t
b