Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

òåíöèàëîâ äâóõ ñîñåäíèõ ëèíèé ðàâíà òîêó, ïðî-
òåêàþùåìó ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè äâóìÿ òî÷-
êàìè, ê êîòîðûì íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ýòè ëèíèè.
Ëèíèè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, òàê æå êàê è ëèíèè
íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, â ìåñòàõ, ãäå ïðîòåêàþò òîêè,
íàêëîííû ê êîíòóðó ïîëþñà (ñì. ðèñ. 27.15). Çà-
òåì ñòðîÿò âñå ïîëå, ñòðåìÿñü ê òîìó, ÷òîáû âñþ-
äó óäîâëåòâîðÿëèñü ïåðâîå è òðåòüå òðåáîâàíèÿ.
Êîãäà ýòî óäàåòñÿ, ïîëå ïîñòðîåíî ïðàâèëüíî. Íà
ðèñ. 27.16 ïðèâåäåí ïðèìåð ïîñòðîåííîãî òàêèì
ïóòåì ïîëÿ îêîëî ïîëþñà, îáòåêàåìîãî òîêîì.

Åñëè ïîëå ñîçäàåòñÿ íåñêîëüêèìè òîêàìè è ïðè ýòîì ëåãêî ìîæåò áûòü ïî-

ñòðîåíî ïîëå êàæäîãî òîêà â îòäåëüíîñòè, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåçóëüòèðóþùåãî
ïîëÿ ìîæíî ïðèìåíèòü ãðàôè÷åñêèé ìåòîä íàëîæåíèÿ ïîëåé, ïðåäëîæåííûé
Ìàêñâåëëîì.

Ïóñòü èìåþòñÿ äâà ïàðàëëåëüíûõ ïðîâîäà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ñ òîêàìè

i

1

è

i

2

â

îäíîðîäíîé ñðåäå. Êàðòèíû ïîëÿ êàæäîãî òîêà â îòäåëüíîñòè ñòðîÿòñÿ âåñüìà
ïðîñòî (ñì. § 27.8).

Ïîñòðîèì íà îäíîì ðèñóíêå êàðòèíó ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ òîêà

i

1

è

êàðòèíó ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ òîêà

i

2

ñ òàêîé ãóñòîòîé, ÷òîáû èìåëî ìåñòî

ðàâåíñòâî |

D

V

ì1

|

=

|

D

V

ì2

|. Ïðè ñîáëþäåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àþùàÿñÿ â èòî-

ãå íàëîæåíèÿ äâóõ ïîëåé ñåòêà ïîçâîëÿåò ëåãêî ïîñòðîèòü êàðòèíó ëèíèé íàïðÿ-
æåííîñòè ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ îáîèõ òîêîâ,

i

1

è

i

2

. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå

ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ èìååò âèä

V

ì1

+

V

ì2

=

const è, ñëå-

äîâàòåëüíî, äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê, ëåæàùèõ íà ýòîé ëèíèè, èìååì

D

V

ì1

+

D

V

ì2

=

0,

ò. å.

D

V

ì1

=

–

D

V

ì2

.

Åñëè ïðè ïîñòðîåíèè îòäåëüíûõ ïîëåé ñîáëþäåíî óñëîâèå |

D

V

ì1

|

=

|

D

V

ì2

|, òî

ðÿä òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè îòäåëüíûõ ïîëåé áóäåò ïðèíàäëå-
æàòü îäíîé è òîé æå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ. Äëÿ òîãî
÷òîáû ïåðåéòè îò îäíîé òàêîé òî÷êè ê äðóãîé, íåîáõîäèìî, ïåðåõîäÿ â îäíîì
ïîëå íà ñîñåäíþþ ëèíèþ, ïåðåõîäèòü è â äðóãîì ïîëå òàêæå íà ñîñåäíþþ ëè-
íèþ. Ïðè ýòîì, åñëè òîêè

i

1

è

i

2

îäèíàêîâî íàïðàâëåíû, òî, óäàëÿÿñü îò îäíîãî

òîêà, ñëåäóåò ïðèáëèæàòüñÿ ê äðóãîìó; åñëè æå òîêè

i

1

è

i

2

èìåþò ðàçíûå íàïðàâ-

ëåíèÿ, òî ñëåäóåò îäíîâðåìåííî óäàëÿòüñÿ îò îáîèõ òîêîâ èëè îäíîâðåìåííî
ïðèáëèæàòüñÿ ê íèì. Ïðàêòè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíèÿ íàïðÿæåííîñòè ðå-
çóëüòèðóþùåãî ïîëÿ ïåðåõîäèò ÷åðåç ÿ÷åéêó ñåòêè, ïîëó÷àþùåéñÿ îò íàëîæå-
íèÿ îòäåëüíûõ ïîëåé, ïî êðèâîëèíåéíîé äèàãîíàëè ýòîé ÿ÷åéêè, ïðè÷åì ñëåäóåò
èçáðàòü òó èëè èíóþ äèàãîíàëü â çàâèñèìîñòè îò çíàêîâ òîêîâ. Íà ðèñ. 27.17,

à

(âåðõíÿÿ ÷àñòü ðèñóíêà) ïîñòðîåíà êàðòèíà ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðè

i

2

=

–2

i

1

, à íà ðèñ. 27.18,

à

— ïðè

i

2

=

2

i

1

. Àíàëîãè÷íûé ïðèåì ìîæåò áûòü èñïîëü-

çîâàí äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàðòèíû ëèíèé ðàâíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà ðåçóëüòè-
ðóþùåãî ïîëÿ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì

U

ì1

+

U

ì1

=

const. Íà ðèñ. 27.17,

á

(íèæíÿÿ ÷àñòü ðèñóíêà) îñóùåñòâëåíî òàêîå ïîñòðîåíèå äëÿ ñëó÷àÿ

i

2

=

–2

i

1

, à íà

ðèñ. 27.18,

á

— äëÿ ñëó÷àÿ

i

2

=

2

i

1

.

156

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.16

Åñëè íàëîæèì êàðòèíû ëèíèé íàïðÿæåííîñòè íà êàðòèíû ëèíèé ðàâíîãî

ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àåâ,
òî ïîëó÷èì îðòîãîíàëüíóþ ñåòêó.

Ïîëüçóÿñü ïðèíöèïîì ñîîòâåòñòâèÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ ýëåêòðè÷åñêîãî è

ìàãíèòíîãî ïîëåé (ñì. § 27.8), ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ äâóõ çàðÿæåííûõ ëè-
íåéíûõ ïðîâîäîâ ðèñ. 27.17,

à

è 27.18,

à

äàþò êàðòèíû ëèíèé ðàâíîãî ýëåêòðè÷å-

ñêîãî ïîòåíöèàëà ïðè

t

2

=

–2

t

1

è ïðè

t

2

=

2

t

1

è ñîîòâåòñòâåííî ðèñ. 27.17,

á

è 27.18,

á

äàþò êàðòèíû ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòîò ìåòîä

ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí è â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ. Íàïðèìåð, åñëè ïîëå â
ýëåêòðîìàãíèòå ñîçäàåòñÿ òîêàìè â äâóõ êàòóøêàõ è ïîñòðîåíû ïîëÿ, ñîçäàâàå-
ìûå îòäåëüíî òîêîì â îäíîé è òîêîì â äðóãîé êàòóøêå, òî óêàçàííûì ìåòîäîì
ëåãêî ïîñòðîèòü ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå êàê ïðè

i

2

/

i

1

> 0, òàê è ïðè

i

2

/

i

1

< 0.

27.16. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ çàäà÷à. Ïîëå êðóãîâîãî êîíòóðà ñ òîêîì

Ðàñ÷åò ìàãíèòíûõ ïîëåé òîêîâ, ïðîòåêàþùèõ ïî êîíòóðàì, èìåþùèì âî âñåõ
íàïðàâëåíèÿõ êîíå÷íûå ðàçìåðû, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåñüìà ñëîæíóþ çàäà÷ó.
Ïðè ýòîì âñå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ïîëå, ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè òðåõ êî-
îðäèíàò. Îáùèé ìåòîä ðåøåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ äëÿ îäíîðîäíîé ñðåäû â íàõîæäå-
íèè ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ òîêîâ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ïî ôîðìóëàì,
óêàçàííûì â § 27.2. Âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ

B

=

rot

A

.

Ïðîñòåéøèé ïðèìåð ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è — ïîëå òîêîâ, ïðîòåêàþùèõ

ïî êðóãîâûì êîíòóðàì, ëåæàùèì â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ è èìåþùèì öåí-
òðû íà îáùåé îñè. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü êàðòèíó òàêîãî ïîëÿ â îäíîé ïëîñêî-
ñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó îñü, òàê êàê âñå ïîëå ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì íàéäåí-
íîé êàðòèíû âîêðóã îñè. Ñþäà îòíîñèòñÿ âàæíûé ñëó÷àé — ìàãíèòíîå ïîëå
êàòóøåê ñ òîêîì, ñîñòîÿùèõ èç êðóãîâûõ âèòêîâ.

Îïðåäåëèì ïîëå îäíîãî êðóãîâîãî êîíòóðà ñ òîêîì

i

(ðèñ. 27.19). Åñòåñòâåííî

ðàññìàòðèâàòü ïîëå â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ

z

,

r

,

a

. Íà÷àëî êîîðäèíàò

ïîìåñòèì â öåíòðå êîíòóðà ñ òîêîì. Îñü

OZ

íàïðàâèì ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêî-

ñòè êîíòóðà.

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

157

Ðèñ. 27.17

Ðèñ. 27.18

Ïóñòü ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû ñå÷åíèÿ

s

ïðîâîäíèêà

âåñüìà ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàäèóñîì

R

êîëüöà. Ðàñ-

ñìàòðèâàÿ ïîëå íà ðàññòîÿíèÿõ îò ïðîâîäíèêà, çíà-
÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèõ ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû åãî ñå-
÷åíèÿ, ìîæåì âû÷èñëÿòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïî
ôîðìóëå (ñì. § 27.2)

A

l

=

ò

m

p

4

i d

r

l

.

Èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ âäîëü âñåãî êîíòó-

ðà ñ òîêîì. Âñëåäñòâèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè

OZ

ëèíèè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äîëæíû áûòü îê-

ðóæíîñòÿìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòè êîíòóðà òîêà,
è èìåþùèìè öåíòðû íà îñè

OZ

. Ñëåäîâàòåëüíî,

A

èìååò åäèíñòâåííóþ ñîñòàâ-

ëÿþùóþ

A

a

. Îíà ðàâíà

A

A

i

dl

r

l

=

=

ò

a

m

p

a

4

cos

.

Òàê êàê

r

z

R

R

dl

R d

=

+

+

-

=

2

2

2

2

r

r

a

a

cos ,

,

òî

A

iR

d

z

R

R

=

+

+

-

ò

m

p

a a

r

r

a

p

4

2

2

2

2

0

2

cos

cos

.

Ïðèâåäåì ýòîò èíòåãðàë ê ýëëèïòè÷åñêèì èíòåãðàëàì, äëÿ êîòîðûõ èìåþòñÿ

òàáëèöû. Ïðèìåì

a = p

– 2

b

, d

a =

2d

b

,

4

2

2

2

R

z

R

k

r

r

+

+

=

(

)

.

×èñëî

k

ëåæèò â ïðåäåëàõ 0

£

k

£

1. Çíà÷åíèå

k

=

1 ïîëó÷àåòñÿ ïðè

z

=

0 è

r =

R

,

ò. å. íà îñè êîíòóðà ñ òîêîì, êîòîðûé ïðåäïîëàãàåì âåñüìà òîíêèì. Çäåñü

A

îáðà-

ùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, íî, êàê áûëî îòìå÷åíî, ïðèíÿòàÿ óïðîùåííàÿ ôîðìóëà
äëÿ

A

ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà òîëüêî íà äîñòàòî÷íîì ðàññòîÿíèè îò ïðîâîäíè-

êà. Èìååì cos

a =

–cos

b =

2 sin

2

b

–1,

r

z

R

R

R

R

k

k

=

+

+

-

+

=

-

2

2

2

2

2

2

4

2

2

1

r

r

b

r

r

b

sin

sin

.

Ñëåäîâàòåëüíî,

A

i

R

k

d

k

= -

-

-

ò

m

p r

b -1) b

b

p

p

8

2 2

1

2

2

2

2

2

( sin

sin

èëè

A

i

R

k

k

d

i

R

f k

=

-

=

ò

m

p r

b -1

b

b m

p r

p

2

2

1

2

2

2

2

0

2

sin

sin

( ).

158

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.19

Ïîëüçóÿñü òîæäåñòâîì

2

1

1

2

1

2 1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

sin

sin

sin

b -1

b

b

b

-

=

-

-

-

-

æ

è

ç

ç

ö

k

k

k

k

k

ø

÷

÷

,

ìîæåì íàïèñàòü

f k

k

k K

k

E

( )

,

=

-

æ
è

ç

ö
ø

÷ -

2

2

ãäå

K

d

k

=

-

ò

b

b

p

1

2

2

0

2

sin

è

E

k

d

=

-

ò

1

2

2

0

2

sin

b b

p

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëíûå ýëëèïòè÷åñêèå èí-
òåãðàëû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. Îíè ÿâëÿþòñÿ
ôóíêöèÿì ìîäóëÿ

k

. Íà ðèñ. 27.20 ïðèâåäåíû êðè-

âûå, âûðàæàþùèå ýòè ôóíêöèè, è êðèâûå, äàþ-
ùèå âåëè÷èíó

f

(

k

), âõîäÿùóþ â âûðàæåíèå äëÿ

âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà.

Ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè èññëåäóåìîãî ïî-

ëÿ ëåæàò â ïëîñêîñòÿõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç îñü

OZ

.

Âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè èìååò òîëüêî äâå
ñîñòàâëÿþùèå,

B

z

è

B

r

, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ èç

âûðàæåíèé:

B

B

z

z

=

=

rot

rot

A

A

;

.

r

r

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ íåîá-

õîäèìî èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ
âåêòîðà rot

A

÷åðåç ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà

A

â

öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.

27.17. Âûðàæåíèå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà ÷åðåç òåëåñíûé óãîë,

ïîä êîòîðûì âèäåí êîíòóð òîêà

Ïîêàæåì, ÷òî ñêàëÿðíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë

U

ì

â

íåêîòîðîé òî÷êå

M

ïîëÿ çàìêíóòîãî òîêà

i

ïðîïîð-

öèîíàëåí òåëåñíîìó óãëó

w

, ïîä êîòîðûì âèäíà èç

ýòîé òî÷êè ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì
òîêà (ðèñ. 27.21). Ïðè ïåðåìåùåíèè èç òî÷êè

M

â

òî÷êó

M

¢

íà ðàññòîÿíèå

dl

¢

ïîòåíöèàë ïîëó÷àåò ïðè-

ðàùåíèå

dU

H

dl

d

ì

= -

= -

cos

a

'

' .

H l

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

159

Ðèñ. 27.20

Ðèñ. 27.21

Òî÷íî òàêîå æå ïðèðàùåíèå ïîëó÷èë áû ïîòåíöèàë â

òî÷êå

M

, åñëè âåñü êîíòóð ïåðåìåñòèòü ïàðàëëåëüíî ñà-

ìîìó ñåáå íà ðàññòîÿíèå –

dl

¢

â ïðîòèâîïîëîæíîì íà-

ïðàâëåíèè.

Âûäåëèì ýëåìåíò äëèíû

dl

êîíòóðà òîêà è ðàññìîò-

ðèì ïðèðàùåíèå ïîòåíöèàëà

dU

¢

ì

â òî÷êå

M

, âûçâàííîå

ïåðåìåùåíèåì ýòîãî ýëåìåíòà ïî ïóòè –

dl

¢

(ðèñ. 27.22).

Èìååì

dU

d

d

¢ = -

ì

H l

'

,

ãäå

d

H

— íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â òî÷êå

M

îò òîêà

i

â ýëå-

ìåíòå

dl

. Ñîãëàñíî çàêîíó Áèî–Ñàâàðà–Ëàïëàñà,

d

i

r

d

r

H

l r

=

é
ëê

ù
ûú

1

4

2

p

.

Ñëåäîâàòåëüíî,

dU

i

r

d

d

r

i

r

d d

r

¢ = -

é
ëê

ù
ûú

=

-

ì

1

4

4

2

2

p

p

l

l r

l l r

'

'

.

[

]

Íî [–

d

l

¢

d

l

]

=

d

s

åñòü âåêòîð, íîðìàëüíûé ê ïëîùàäêå, îïèñûâàåìîé îòðåç-

êîì

dl

ïðè ïåðåìåùåíèè åãî íà ïóòè –

dl

¢

, è ðàâíûé ïî âåëè÷èíå ýòîé ïëîùàäêå.

Ñëåäîâàòåëüíî,

d

s r

r

=

cos

b

ds

åñòü ïðîåêöèÿ ýòîé ïëîùàäêè íà ñôåðó ðàäèóñà

r

ñ

öåíòðîì â òî÷êå

M

è

1

2

r

d

r

s r

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

d

w¢

åñòü òåëåñíûé óãîë, ïîä êîòîðûì âèäíà ïëî-

ùàäêà èç òî÷êè

M

. Èòàê,

dU

i

d

¢ =

¢

ì

4

p

w

.

×òîáû ïîëó÷èòü èçìåíåíèå

dU

ì

ïîòåíöèàëà, âûçâàííîãî â òî÷êå

M

òîêîì âî-

âñåì çàìêíóòîì êîíòóðå (ñì. ðèñ. 27.20), íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü âåëè÷èíû

dU

¢

ì

ïî âñåì ýëåìåíòàì

dl

êîíòóðà. Ïðè ýòîì, ñóììèðóÿ â ïðàâîé ÷àñòè âåëè÷è-

íû

d

w¢

, ïîëó÷èì òåëåñíûé óãîë

d

w

, ïîä êîòîðûì âèäíà èç òî÷êè ïîâåðõíîñòü,

îïèñûâàåìàÿ âñåì êîíòóðîì ïðè ïåðåìåùåíèè åãî íà ïóòè –

dl

¢

. Î÷åâèäíî,

d

w

åñòü ïðèðàùåíèå òåëåñíîãî óãëà

w

, ïîä êîòîðûì âèäíà èç òî÷êè

M

ïîâåðõíîñòü,

îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì òîêà. Òàêèì îáðàçîì,

dU

i

d

U

i

C

ì

ì

è

=

=

+

4

4

p

w

p

w

.

Åñëè ïðèíÿòü

U

ì

=

0 â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ îò êîíòóðà òîêà òî÷êàõ, äëÿ êî-

òîðûõ

w =

0, òî áóäåì èìåòü

C

=

0 è

U

i

ì

=

4

p

w

.

Òåëåñíûé óãîë

w

ïîëîæèòåëåí, åñëè èç òî÷êè

M

òîê â êîíòóðå êàæåòñÿ íà-

ïðàâëåííûì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ñì. ðèñ. 27.20).

160

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.22