Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

ïðèâîäèò ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ

j

j

r

dl

r

ds

l

s

+

= -

ò

ò

l

p

l

p

cos( , )

cos( , )

.

r n

r n

J'

Çäåñü

s

— ñå÷åíèå ïðîâîäîâ ñ òîêîì ïëîòíîñòüþ

J

¢

, çàäàþùèì âíåøíåå ìàãíèò-

íîå ïîëå.

Åñëè ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ñîçäàþùèé âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå, ïðîòåêàåò â

ñðåäå ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ

m

i

, òî ïîä âõîäÿùåé ïîä çíàê èíòåãðàëà ïëîò-

íîñòüþ òîêà ñëåäóåò ïîíèìàòü âåëè÷èíó, ðàâíóþ

J

¢ = m

m

i

J

. Â ñëó÷àÿõ, êîãäà ýëåê-

òðè÷åñêèé òîê ïðîòåêàåò â ñðåäå ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ

m

e

, èìååì

J

¢ = m

m

e

J

.

Êàê è ïîëó÷åííîå âûøå óðàâíåíèå (**), äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëü-

íûì óðàâíåíèåì îòíîñèòåëüíî ïëîòíîñòè âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ è õàðàêòåðèçó-
åòñÿ àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè. Åãî ðåøåíèå ìîæåò áûòü â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïî-
ëó÷åíî àíàëèòè÷åñêè, îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå îíî òðåáóåò ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ.

Íàéäåííîå âûøå ñîîòíîøåíèå

j

=

(

)

2

m l

B

t

ìîæåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà

ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà

i

, ïðîòåêàþùåãî ïî ïðÿ-

ìîëèíåéíîìó ïðîâîäó, ðàñïîëîæåííîìó â ñðåäå ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ

m

1

ïàðàëëåëüíî ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä ñ ìàãíèòíûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè

m

1

è

m

2

. Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäåííûå â § 24.23, íàéäåì çíà÷åíèÿ òîêîâ

i

i

i

i

i

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

=

=

-
+

=

+

l m

m

m

m

m

m

m

,

.

Ïîäîáíî çåðêàëüíîìó èçîáðàæåíèþ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, äëÿ ðàñ÷åòà ìàã-

íèòíîãî ïîëÿ â ñðåäå ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ

m

1

ñëåäóåò ââåñòè çåðêàëüíî

èçîáðàæåííûé òîê

i

1

è ïîñëå çàìåíû

m

2

íà

m

1

ó÷åñòü òîêè

i

è

i

1

(ðèñ. 27.27,

à

). Äëÿ

ðàñ÷åòà ïîëÿ â ñðåäå ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ

m

2

òîê

i

çàìåíÿåì íà

i

2

, à ìàã-

íèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü ïðèíèìàåì ðàâíîé

m

2

âî âñåì ïðîñòðàíñòâå (ðèñ. 27.27,

á

).

166

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.27

27.22. Êîýôôèöèåíòû ðàçìàãíè÷èâàíèÿ

Äëÿ ýëëèïñîèäîâ êàê

H

ÌÉ

, òàê è

M

ïðîïîðöèîíàëüíû íàïðÿæåííîñòè

H

0

âíåø-

íåãî ïîëÿ. Ñòàëî áûòü, ìîæíî íàïèñàòü

H

NM

ÌÉ

=

.

Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè

N

íàçûâàþò ê î ý ô ô è ö è å í ò î ì ð à ç -

ì à ã í è ÷ è â à í è ÿ. Îò íåãî çàâèñèò ïðè äàííîé íàìàãíè÷åííîñòè çíà÷åíèå íà-
ïðÿæåííîñòè ðàçìàãíè÷èâàþùåãî ïîëÿ. Êîýôôèöèåíò ðàçìàãíè÷èâàíèÿ çàâè-
ñèò òîëüêî îò ôîðìû íàìàãíè÷èâàåìîãî òåëà. Äëÿ øàðà ïîëó÷àåì

N

H

M

=

=

ÌÉ

1
3

.

Ðàñ÷åò äàåò äëÿ ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ ôîðìóëó

N

=

-

+

- -

-

=

-

-

-

l

l

l

l

l

l

l

l

l

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

ln(

)

arccos

,

ïðè÷åì

l

åñòü îòíîøåíèå îñè âðàùåíèÿ ýëëèïñîèäà, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ íà-

ïðàâëåííîé âäîëü ëèíèè âíåøíåãî ïîëÿ, ê îñè, åé ïåðïåíäèêóëÿðíîé. Ïåðâûì
âûðàæåíèåì äëÿ

N

óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè

l

> 1, âòîðûì — ïðè

l

< 1.

Äëÿ áåñêîíå÷íîé, ðàñïîëîæåííîé ïîïåðåê ïîëÿ ïëàñòèíû, êîòîðóþ ìîæíî

ðàññìàòðèâàòü êàê ñïëþùåííûé ýëëèïñîèä, íàõîäèì

N

=

1, ïðèíÿâ

l =

0. Ýòî —

íàèâûñøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå

N

. Äëÿ øàðà, ïîëàãàÿ

l =

1 è ðàñêðûâàÿ íåîïðå-

äåëåííîñòü, ïîëó÷àåì

N

=

1 3. Äëÿ áåñêîíå÷íî äëèííîãî ñòåðæíÿ, ðàñïîëîæåííî-

ãî âäîëü ïîëÿ, ïîëàãàÿ

l = ¥

è ðàñêðûâàÿ íåîïðåäåëåííîñòü, ïîëó÷àåì

N

=

0.

Ñâîéñòâî ýëëèïñîèäîâ îäíîðîäíî íàìàãíè÷èâàòüñÿ â îäíîðîäíîì âíåøíåì

ïîëå èñïîëüçóåòñÿ â ìàãíèòîìåòðèè. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ ôåð-
ðîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ ìîæíî èçãîòîâèòü èç ýòèõ ìàòåðèàëîâ îáðàçöû, èìåþ-
ùèå ôîðìó ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ èëè áëèçêóþ ê íåé ôîðìó. Îäíîðîäíîñòü
íàìàãíè÷èâàíèÿ îñîáåííî âàæíà èìåííî ïðè èñïûòàíèè ôåððîìàãíèòíûõ ìàòå-
ðèàëîâ, òàê êàê èõ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü

m

çàâèñèò îò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è

òîëüêî ïðè îäíîðîäíîì íàìàãíè÷èâàíèè çíà÷åíèå

m

âî âñåì îáúåìå îáðàçöà áó-

äåò îäèíàêîâûì.

Ââåñòè â ðàññìîòðåíèå êîýôôèöèåíò ðàçìàãíè÷èâàíèÿ,

çàâèñÿùèé òîëüêî îò

ôîðìû òåëà

, ñòðîãî ãîâîðÿ, âîçìîæíî òîëüêî äëÿ ýëëèïñîèäîâ è èõ ÷àñòíûõ ñëó-

÷àåâ: øàðà, ïëàñòèíû, áåñêîíå÷íî äëèííîãî öèëèíäðà ñ ýëëèïòè÷åñêèì èëè
êðóãëûì ñå÷åíèåì. Îäíàêî äëÿ ïðèáëèæåííûõ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ, êîòîðîå îáðàçóåòñÿ ïðè âíåñåíèè â îäíîðîäíîå âíåøíåå ïîëå òåë
èíîé ôîðìû, íàïðèìåð êîðîòêèõ öèëèíäðîâ, âñå æå ââîäÿò â ðàñ÷åò êîýôôèöè-
åíòû ðàçìàãíè÷èâàíèÿ òàêèõ òåë. Òàêîé ðàñ÷åò ÿâëÿåòñÿ òîëüêî îðèåíòèðîâî÷-
íûì, òàê êàê òåëà, îòëè÷íûå ïî ôîðìå îò ýëëèïñîèäîâ, íàìàãíè÷èâàþòñÿ íåîä-
íîðîäíî â îäíîðîäíîì âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå.

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

167

27.23. Ìàãíèòíîå ýêðàíèðîâàíèå

Äëÿ çàùèòû ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ îò âëèÿíèÿ
ïîñòîðîííèõ ìàãíèòíûõ ïîëåé èõ ñèñòåìû ïîìåùàþò â
ìàññèâíûå çàìêíóòûå èëè ïî÷òè çàìêíóòûå îáîëî÷êè èç
ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà. Òàêèå îáîëî÷êè íàçûâàþò
ì à ã í è ò í û ì è ý ê ð à í à ì è. Ïîëå âíóòðè ýêðàíà îêà-
çûâàåòñÿ îñëàáëåííûì ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíèì ïîëåì.

Äëÿ ýêðàíà â ôîðìå ïîëîãî øàðà ñ ðàäèóñàìè

R

1

è

R

2

(ðèñ. 27.28) è ñ àáñîëþòíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ
ñòåíîê

m

, ïîìåùåííîãî âî âíåøíåå îäíîðîäíîå ïîëå ñ èí-

äóêöèåé

B

0

, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

B

â ïîëîñòè ýêðàíà ìî-

æåò áûòü ðàññ÷èòàíà è îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé

B

B

R

R

=

+

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

+

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

0

1

3

2

3

0

0

1

1

2

9

1

2

m

m

m

m

.

Íàïðèìåð, åñëè

R

1

=

0,9

R

2

è

m =

500

m

0

, òî

B

=

0,031

B

0

, ò. å. íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ

âíóòðè ýêðàíà ñîñòàâëÿåò 3 % îò íàïðÿæåííîñòè âíåøíåãî ïîëÿ. Äëÿ ôåððîìàã-
íèòíîãî âåùåñòâà

m >> m

0

, è ýêðàíèðóþùåå äåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ëè-

íèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè âíåøíåãî ïîëÿ, ñòðåìÿñü ïðîéòè ïî ïóòè ñ íàèìåíü-
øèì ìàãíèòíûì ñîïðîòèâëåíèåì, ñãóùàþòñÿ âíóòðè ñòåíîê ýêðàíà, ïî÷òè íå ïðî-
íèêàÿ â åãî ïîëîñòü.

Íåðåäêî ïðèìåíÿþò ìíîãîñòóïåí÷àòûå ýêðàíû â âèäå íåñêîëüêèõ ïîëûõ

ôåððîìàãíèòíûõ òåë, ðàñïîëîæåííûõ îäíî âíóòðè äðóãîãî.

27.24. Ðàñ÷åò ìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåîäíîðîäíîé ñðåäå

ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé

×èñëåííûé ðàñ÷åò ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñòîÿííûõ òîêîâ â íåîäíîðîäíîé ñðåäå ìîæ-
íî âûïîëíèòü ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé àíàëîãè÷íî ðàñ÷åòó ýëåêòðîñòàòè÷å-
ñêîãî ïîëÿ. Àíàëîãèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ëàïëàñà è Ïóàññîíà áóäåò ïîëíîé,
åñëè âûïîëíèòü ýêâèâàëåíòíóþ çàìåíó ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ ìàãíèòíûìè çàðÿäà-
ìè ïëîòíîñòüþ

r

ì

. ×èñëåííûé ðàñ÷åò òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ öåëåñîîá-

ðàçíî âûïîëíÿòü, çàìåíÿÿ ýëåêòðè÷åñêèå òîêè ìàãíèò-
íûìè çàðÿäàìè, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå âìåñòî âåêòîð-
íîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåéòè ê ðåøåíèþ ñêàëÿðíîãî
óðàâíåíèÿ äëÿ ñêàëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà. Äëÿ
ôîðìèðîâàíèÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé âîñ-
ïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì

m

m

grad

U d

U

n

ds

m

s

s

s

ò

ò

=

¶

¶

= -

(

m

— ìàãíèòíûé çàðÿä).

Ðàçîáüåì ðàññìàòðèâàåìûé îáúåì

V

íà ñîâîêóï-

íîñòü îäèíàêîâûõ êóáîâ ñ äëèíîé ðåáðà

h

(ðèñ. 27.29).

168

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 27.28

Ðèñ. 27.29

Ðàçìåñòèì ìàãíèòíûé çàðÿä

m

â öåíòðå 0 êóáà è ïðåäñòàâèì èíòåãðàë

m ¶

¶

ò

U

n

ds

s

ïî ïîâåðõíîñòè

s

êóáà â âèäå ñóììû øåñòè èíòåãðàëîâ ïî ïîâåðõíî-

ñòÿì

s

1

, s

2

,

…

,

s

6

è âû÷èñëèì èõ ïðèáëèæåííî:

m

m

m

( , , )

(

)

(

x y z

U ds

h

h

U

U

h

k U

U

x

s

grad

ñð

ñð

1

1

2

0

2

1

0

1

1

0

ò

@

+

-

=

-

),

( , , )

(

)

(

m

m

m

x y z

U ds

h

h

U

U

h

k U

y

s

grad

ñð

ñð

2

2

2

0

2

2

0

2

2

ò

@

+

-

=

-

U

x y z

U ds

h

h

U

U

h

k

z

s

0

6

2

0

2

6

0

6

6

),

( , , )

(

)

(

M

m

m

m

grad

ñð

ñð

ò

@

+

-

=

U

U

6

0

-

).

Çäåñü âåëè÷èíû

m

1ñð

,

m

2ñð

, …,

m

6ñð

ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèìè ôóíêöèé

m

(

x

,

y

,

z

) â ñîîò-

âåòñòâóþùèõ êóáàõ.

Êîíå÷íî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå

k

1

U

1

+ k

2

U

2

+ … +

k

6

U

6

– U

0

k

i

i

i

=

=

å

1

6

=

–

r

ìñð

h

3

,

(*)

â êîòîðîì

r

ìñð

=

m/h

3

,

âûðàæàåò ïîòåíöèàë

U

0

óçëà 0 ÷åðåç ïîòåíöèàëû ñîñåäíèõ

øåñòè óçëîâ. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ óðàâíåíèé îáðàçóåò ñèñòåìó, êîòîðàÿ ìîæåò
áûòü ðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ ïîòåíöèàëîâ óçëîâ.

Ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåîäíîðîä-

íîé ñðåäå ïîëó÷èì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî âåêòîðíîãî ìàãíèòíîãî
ïîòåíöèàëà, ïðèíèìàÿ çà èñõîäíîå ñîîòíîøåíèå

H l

d

l

ò

=

i

. Ïðè ýòîì èñêëþ÷àåò-

ñÿ íåîáõîäèìîñòü ïåðåõîäà îò òîêîâ ê ýêâèâàëåíòíûì èì
ìàãíèòíûì çàðÿäàì.

Ðàçîáüåì îáëàñòü íà ñîâîêóïíîñòü êâàäðàòîâ ñ äëèíîé

ñòîðîíû

h

.

Íà ðèñ. 27.30 èçîáðàæåíû ÷åòûðå ñìåæíûõ êâàäðàòà,

â êàæäîì èç êîòîðûõ ìàãíèòíûå ïðîíèöàåìîñòè

m

1

, …,

m

4

è ïëîòíîñòè

J

1

, …,

J

4

òîêà èìåþò â îáùåì ñëó÷àå ðàçëè÷-

íûå çíà÷åíèÿ.

Âû÷èñëèì èíòåãðàë

B

l

m

d

l

ò

âäîëü êîíòóðà

abcd

, äëÿ

÷åãî ðàçîáüåì åãî íà ÷åòûðå èíòåãðàëà ïî ñòîðîíàì

ab

,

bc

,

cd

,

da

êîíòóðà:

B l

B l

m

m

m

m

d

h

h

A

A

h

k A

A

d

ab

bc

ò

ò

@

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

=

-

@

2

2

4

1

0

1

1

0

1

(

),

h

h

A

A

h

k A

A

2

2

1

2

0

2

2

0

2

m

m

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

=

-

(

),

Ãëàâà 27. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîñòîÿííûõ òîêîâ

169

Ðèñ. 27.30

B l

B l

m

m

m

m

d

h

h

A

A

h

k A

A

d

cd

da

ò

ò

@

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

=

-

@

2

2

2

3

0

3

3

0

3

(

),

h

h

A

A

h

k A

A

2

2

4

3

0

4

4

0

4

m

m

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

-

=

-

(

).

Âõîäÿùèé â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (

A

0

– A

1

)

k

1

+ (

A

0

–

A

2

)

k

2

+ (

A

0

–

A

3

)

k

3

+

+ (

A

0

–

A

4

)

k

4

=

i

òîê

i

ñêâîçü ïëîùàäêó, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì

abcda

, âûðàçèì

÷åðåç ïëîòíîñòè

J

1

, …,

J

4

òîêà â êâàäðàòàõ

i

@

J

ñð

h

2

=

0,25 (

J

1

+

J

2

+

J

3

+

J

4

)

h

2

è ïî-

ëó÷èì îêîí÷àòåëüíî:

k A

A

k

h

i

i

i

i

i

=

=

å

å

-

= -

1

4

0

1

4

2

J

ñð

.

(**)

Ïî àíàëîãèè ñ ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè (*) óðàâíåíèÿ (**), çàïèñàííûå äëÿ

ñîâîêóïíîñòè ÿ÷ååê ñåòêè, îáðàçóþò ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøå-
íèå êîòîðîé ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë â ñîâîêóïíîñòè òî÷åê
îáëàñòè.

170

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ