Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.01.2021
Просмотров: 5564
Скачиваний: 4
A
i
R
R
f k
2
0 1
1
2
2
= m
p
( ).
Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòûì â § 27.15 îáîçíà÷åíèåì ïîëó÷àåì
k
R R
h
R
R
2
1
2
2
1
2
2
4
=
+
+
(
)
.
Çäåñü
R
1
è
R
2
— ðàäèóñû êîíòóðîâ è
h
— ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ öåíòðàìè. Ïðèíÿ-
òî
m = m
0
, òàê êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êîíòóðû íàõîäÿòñÿ â âîçäóõå.
Ôóíêöèÿ
f
(
k
) èçîáðàæåíà â âèäå êðèâîé íà ðèñ. 27.20. Îíà ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíà ÷åðåç ïîëíûå ýëëèïòè÷åñêèå èíòåãðàëû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîãëàñ-
íî âûðàæåíèÿì, ïðèâåäåííûì â § 27.16. Âåêòîð
A
2
êàñàòåëåí ê îñè ïðîâîäíèêà
âòîðîãî êîíòóðà è âñëåäñòâèå ñèììåòðèè èìååò îäèíàêîâóþ âåëè÷èíó âäîëü
âñåãî âòîðîãî êîíòóðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîêîñöåïëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè ñî
âòîðûì êîíòóðîì, îáóñëîâëåííîå òîêîì
i
1
â ïåðâîì êîíòóðå, ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì
Y
21
2
2
2
2
2
2
2
2
0 1
1
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
ò
ò
ò
A l
d
A dl
A
dl
A
R
i
R R f k
l
l
l
p
m
( ).
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
M
i
R R f k
=
=
Y
21
1
0
1
2
m
( ).
28.3. Èíäóêòèâíîñòü êðóãîâîãî êîíòóðà
Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ èíäóêòèâíîñòè êðóãëîãî êîëüöà èç òîíêîãî ïðîâîäíèêà
êðóãëîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 28.6). Âíåøíÿÿ èíäóêòèâíîñòü
L
âíåø
, îïðåäåëÿåìàÿ ïîòî-
êîì
F
âíåø
, ëèíèè êîòîðîãî îõâàòûâàþò âñå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà, ðàâíà âçàèìíîé
èíäóêòèâíîñòè ìåæäó áåñêîíå÷íî òîíêèìè êðóãîâûìè
êîíòóðàìè, îäèí èç êîòîðûõ,
l
1
, ñîâïàäàåò ñ îñüþ ïðîâîä-
íèêà è äðóãîé,
l
2
, ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé, ò. å. íàèìåíüøåé,
îêðóæíîñòüþ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà. Ñëåäîâàòåëüíî,
ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè § 28.2
R
1
=
R
è
R
2
=
R
–
a
,
ìîæåì íàïèñàòü
L
R R
a f k
R f k
âíåø
=
-
»
m
m
0
0
(
) ( )
( ),
ãäå
a
— ðàäèóñ ñå÷åíèÿ ïðîâîäíèêà è
R
— ðàäèóñ êîëüöà,
ïðè÷åì
a
<<
R
. Òàê êàê êîíòóðû
l
1
è
l
2
ëåæàò â îäíîé ïëîñ-
êîñòè, òî â âûðàæåíèè äëÿ
k
2
ñëåäóåò ïðèíÿòü
h
=
0. Èìååì
k
R
a R
R
a R
a
R
Ra a
a
R
2
2
2
2
2
2
4
1
4
4
1
2
=
-
- +
= -
-
+
» - æ
è
ç
ö
ø
÷
(
)
(
)
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
176
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 28.6
k
a
R
a
R
»
- æ
è
ç
ö
ø
÷ » -
1
2
1
8
2
2
2
.
Âåëè÷èíà
f
(
k
), âõîäÿùàÿ â âûðàæåíèå äëÿ
L
âíåø
, ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç
êðèâîé íà ðèñ. 27.20. Îäíàêî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ
a
<<
R
ìîæíî ïîëó-
÷èòü ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ
f
(
k
). Òàê êàê
k
»
1, òî ïðèáëèæåííî èìååì
f k
k
k K
k
E
K
E
( )
.
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
»
-
2
2
2
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè
k
»
1 ýëëèïòè÷åñêèå èíòåãðàëû
K
(
k
) è
E
(
k
) èìåþò
ñëåäóþùèå ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ:
K
k
R
a
E
»
-
»
»
ln
ln
.
4
1
8
1
2
è
Ñëåäîâàòåëüíî,
L
R f k
R
R
a
âíåø
=
»
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
m
m
0
0
8
2
( )
ln
.
Òàê êàê
l
1
=
2
p
R
, òî âíóòðåííÿÿ èíäóêòèâíîñòü âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
L
l
R
âíóòð
=
=
m
p
m
1
8
4
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
L
R
R
a
R
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
m
m
0
8
2
4
ln
.
Åñëè ïðîâîä èç íåôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà, òî
m » m
0
è
L
R
R
a
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
m
0
8
175
ln
,
.
Âûðàæåíèå äëÿ âíóòðåííåé èíäóêòèâíîñòè ïîëó÷åíî â ïðåäïîëîæåíèè ðàâ-
íîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òîêà ïî ñå÷åíèþ ïðîâîäíèêà, ÷òî ñîáëþäàåòñÿ ïðè ïî-
ñòîÿííîì òîêå. Ïðè ïåðåìåííîì òîêå âûñîêîé ÷àñòîòû â ñëó÷àå ðåçêîãî ïðîÿâ-
ëåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà âíóòðåííèé ïîòîê ïðè
m = m
0
áóäåò ìàë, è òî÷íåå
âû÷èñëÿòü èíäóêòèâíîñòü ïî ôîðìóëå
L
R
R
a
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
m
0
8
2
ln
,
ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíîé
L
âíóòð
.
28.4. Ìåòîä ó÷àñòêîâ
Ïîëó÷åííûå â § 28.1 âûðàæåíèÿ äëÿ èíäóêòèâíîñòåé êîíòóðîâ èç òîíêèõ ïðî-
âîäíèêîâ äàþò îñíîâàíèå ââåñòè ìåòîä ðàñ÷åòà, îñíîâàííûé íà óñëîâíûõ ïîíÿ-
òèÿõ î âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè ìåæäó ó÷àñòêàìè ïðîâîäíèêîâ è îá èíäóêòèâ-
íîñòÿõ ó÷àñòêîâ ïðîâîäíèêîâ.
Ãëàâà 28. Ðàñ÷åò èíäóêòèâíîñòåé
177
Ïóñòü èìåþòñÿ äâà êîíòóðà. Ðàçîáüåì ïåðâûé
êîíòóð íà
m
ó÷àñòêîâ è âòîðîé êîíòóð — íà
n
ó÷àñò-
êîâ (ðèñ. 28.7). Äëèíó
k
-ãî ó÷àñòêà ïåðâîãî êîíòóðà
îáîçíà÷èì ÷åðåç
l
1
k
è äëèíó
p
-ãî ó÷àñòêà âòîðîãî êîí-
òóðà — ÷åðåç
l
2
p
. Ðàçáèâàÿ â âûðàæåíèè äëÿ
M
21
èí-
òåãðàëû ïî çàìêíóòûì êîíòóðàì
l
1
è
l
2
íà ñóììû
èíòåãðàëîâ, âçÿòûõ âäîëü ó÷àñòêîâ êîíòóðîâ, áóäåì
èìåòü
M
d d
r
l
l
p
p n
k
k m
p
k
21
0
1
2
1
1
4
2
1
=
m
p
l l
ò
ò
å
å
=
=
=
=
.
Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïîä çíàêîì äâîéíîé ñóììû, ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê
âçàèìíóþ èíäóêòèâíîñòü
M
1
k
,2
p
ìåæäó
k
-ì ó÷àñòêîì ïåðâîãî êîíòóðà è
p
-ì ó÷à-
ñòêîì âòîðîãî êîíòóðà. Òàêèì îáðàçîì,
M
M
k
p
p
p n
k
k m
21
1 2
1
1
=
,
.
=
=
=
=
å
å
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñòóïèòü ïðè âû÷èñëåíèè èíäóêòèâ-
íîñòè êîíòóðà. Ðàçîáüåì âåñü êîíòóð íà
m
ó÷àñòêîâ (ðèñ. 28.8).
Ïðè ýòîì ïóñòü
l
1
k
åñòü îòðåçîê
k
-ãî ó÷àñòêà ïî îñè ïðîâîä-
íèêà, à
l
2
p
— îòðåçîê
p
-ãî ó÷àñòêà ïî âíóòðåííåìó êîíòóðó,
ëåæàùåìó íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà. Õîòÿ äëÿ òîíêîãî
ïðîâîäíèêà
l
1
k
=
l
2
k
, íî íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü ýòè äâà ó÷àñò-
êà, òàê êàê â ôîðìóëå äëÿ
L
èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ
îäèí ðàç ïî îñè ïðîâîäíèêà, äðóãîé ðàç — ïî óêàçàííîìó âíóòðåííåìó êîíòóðó.
Ôîðìóëà äëÿ
L
ïðèíèìàåò âèä
L
d d
r
L
l
l
p
p m
k
k m
p
k
=
m
p
0
1
2
1
1
4
2
1
l l
+
ò
ò
å
å
=
=
=
=
âíóòð
.
Âûðàæåíèå ïîä çíàêîì äâîéíîé ñóììû ìîæíî óñëîâíî ðàññìàòðèâàòü ïðè
k
=
p
êàê âíåøíþþ èíäóêòèâíîñòü
L
âíåø
k
-ãî ó÷àñòêà êîíòóðà è ïðè
k
¹
p
— êàê
âçàèìíóþ èíäóêòèâíîñòü
M
kp
ìåæäó
k
-ì è
p
-ì ó÷àñòêàìè êîíòóðà. Ïðè âû÷èñëå-
íèè
M
kp
ìîæíî èíòåãðèðîâàíèå ïî îòðåçêó âíóòðåííåãî êîíòóðà
l
2
p
çàìåíèòü èí-
òåãðèðîâàíèåì ïî îòðåçêó îñè
l
1
p
òîãî æå
p
-ãî ó÷àñòêà. Òîãäà áóäåì èìåòü
M
M
M
M
M
M
k
p
k p
kp
p
k
p k
pk
1 2
1 1
1
2
1 1
,
,
,
,
.
»
=
»
=
è
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
M
kp
=
M
pk
, ïîëó÷àåì
L
L
M
L
k
k
k m
kp
p
p m
k
k m
=
âíåø
âíóòð
=
=
=
=
=
=
å
å
å
+
+
1
1
1
2
,
ãäå
L
d d
r
M
d d
r
k
l
l
kp
l
l
k
k
p
k
âíåø
= m
p
m
p
0
1
2
0
1
1
4
4
2
1
1
1
l l
l l
ò
ò
ò
=
¢
;
ò
,
ïðè÷åì
dl
1
— ýëåìåíò íà îñè
k
-ãî ó÷àñòêà,
d
¢
l
1
— ýëåìåíò íà îñè
p
-ãî ó÷àñòêà.
178
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 28.7
Ðèñ. 28.8
 âûðàæåíèè äëÿ
L
âî âòîðîì ÷ëåíå
p
¹
k
è îïðåäåëåííîå ñî÷åòàíèå èíäåêñîâ
k
è
p
âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç íåçàâèñèìî îò ïîðÿäêà, â êîòîðîì îíè ñòîÿò.
Ðàññìîòðåííûé ìåòîä îáëåã÷àåò ðàñ÷åò èíäóêòèâíîñòåé â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
êîíòóðû ìîæíî ðàçáèòü íà ó÷àñòêè, èìåþùèå ïðîñòóþ ôîðìó, íàïðèìåð íà ïðÿ-
ìîëèíåéíûå îòðåçêè èëè íà äóãè îêðóæíîñòåé.
28.5. Èíäóêòèâíîñòè êîíòóðîâ, ñîñòàâëåííûõ
èç ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ
Ôîðìóëû äëÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè
M
1
k
, 2
p
è èíäóêòèâíîñòè
L
âíåø
k
ó÷àñòêîâ
ïðîâîäîâ ñõîäíû ñ ôîðìóëàìè äëÿ ïîòåíöèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ îòðåçêîâ
ïðîâîäîâ, ïîëó÷åííûìè â § 25.6 ïî ìåòîäó ñðåäíèõ ïîòåíöèàëîâ. Ðàçëè÷èå çà-
êëþ÷àåòñÿ â ìíîæèòåëÿõ, ñòîÿùèõ ïåðåä çíàêàìè èíòåãðàëîâ, è â òîì, ÷òî â ôîð-
ìóëû äëÿ èíäóêòèâíîñòåé âõîäèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
d
l
1
è
d
l
2
, ò. å.
âåëè÷èíà
d
l
1
d
l
2
=
cos
q
dl
1
dl
2
, ãäå
q
— óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè ýëåìåíòàðíûõ
îòðåçêîâ
dl
1
è
dl
2
, à â ôîðìóëû äëÿ ïîòåíöèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ âõîäèò ïðî-
èçâåäåíèå
dl
1
dl
2
äëèí îòðåçêîâ.
 ñëó÷àå êîãäà îòðåçêè
l
1
è
l
2
ïðÿìîëèíåéíû, âåëè÷èíà cos
q
îäèíàêîâà äëÿ
âñåõ ýëåìåíòîâ
dl
1
è
dl
2
è ìîæåò áûòü âûíåñåíà çà çíàê èíòåãðàëà. Ïðè ýòîì ôîð-
ìóëà äëÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè ìåæäó ýòèìè îòðåçêàìè ïðèîáðåòàåò âèä
M
dl dl
r
l
l
12
0
1
2
4
2
1
=
ò
ò
m
p
q
cos
.
 ôîðìóëå äëÿ ñîáñòâåííîé èíäóêòèâíîñòè
L
âíåø
ïðÿìîëèíåéíîãî îòðåçêà
íåîáõîäèìî ïðèíÿòü cos
q =
1, è, ñëåäîâàòåëüíî,
L
dl dl
r
l
l
âíåø
=
ò
ò
m
p
0
1
2
4
.
Ýòè ôîðìóëû îòëè÷àþòñÿ îò ôîðìóë äëÿ ïîòåíöèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
a
12
è
a
11
òîëüêî ìíîæèòåëÿìè. Èìååì
M
l l
L
l
12
12
0
0 1 2
11
0
0
2
a
m e
q
a
m e
=
=
cos ;
.
âíåø
Íà ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îáðàòèë âíèìàíèå â îäíîé èç ñâîèõ ðàáîò Ë. À. Öåéò-
ëèí. Îíî èìååò âàæíîå çíà÷åíèå, òàê êàê äàåò âîçìîæíîñòü èìåþùèåñÿ â ëèòå-
ðàòóðå ôîðìóëû äëÿ èíäóêòèâíîñòåé èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöè-
àëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ è îáðàòíî.
 § 25.6 áûëà âûâåäåíà ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòîâ
a
12
äâóõ ïàðàëëåëüíûõ
îòðåçêîâ ïðÿìûõ ïðîâîäîâ îäèíàêîâîé äëèíû
l
, ðàñïîëîæåííûõ òàê, ÷òî íà÷àëà
îòðåçêîâ íàõîäÿòñÿ íà îäíîì ê íèì ïåðïåíäèêóëÿðå. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè
ïðîâîäîâ ðàâíî
D
.
Åñëè íàïðàâëåíèÿ îáõîäà, êîòîðûå ñ÷èòàåì ïîëîæèòåëüíûìè, äëÿ îáîèõ îò-
ðåçêîâ ñîâïàäàþò, òî
q =
0 è cos
q =
1. Åñëè ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ îáîèõ
îòðåçêîâ ïðîòèâîïîëîæíû, òî
q = p
è cos
q =
–1. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ äëÿ îòíî-
øåíèÿ
M
12
/
a
12
, ïîëó÷àåì
Ãëàâà 28. Ðàñ÷åò èíäóêòèâíîñòåé
179
M
l
l
l
D
D
l
D
l
= ±
-
+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
m e
pe
0
0
2
0
2
2
1
2
1
Arsh
.
Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî
Arsh
l
D
l
D
l
D
=
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ln
,
2
2
1
ìîæåì íàïèñàòü
M
l
l
l
D
D
l
D
D
l
= ±
+
+
-
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
m
p
0
2
2
2
2
2
ln
.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè
l
>>
D
ïîëó÷àåì
M
l
l
D
= ±
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
m
p
0
2
2
1
ln
.
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò âûðàæåíèå äëÿ âíåøíåé
èíäóêòèâíîñòè ïðÿìîëèíåéíîãî îòðåçêà ïðîâîäíèêà äëèíîé
l
, èìåþùåãî êðóã-
ëîå ñå÷åíèå ðàäèóñà
r
0
, ïðè÷åì
r
0
<<
l
. Â ýòîé ôîðìóëå íåîáõîäèìî çàìåíèòü
D
íà
r
0
è âçÿòü çíàê ïëþñ. Èìååì
L
l
l
r
âíåø
=
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
m
p
0
0
2
2
1
ln
.
Îáðàòèì îñîáîå âíèìàíèå íà òî, ÷òî êîýôôèöèåíòû
a
12
áûëè âû÷èñëåíû â
§ 25.6 ïðèáëèæåííûì ìåòîäîì ñðåäíèõ ïîòåíöèàëîâ, îñíîâàííûì íà äîïóùå-
íèè, ÷òî çàðÿä ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî ïî äëèíå ïðîâîäà, ò. å. ÷òî ëèíåéíàÿ
ïëîòíîñòü çàðÿäà îäèíàêîâà ïî âñåé äëèíå ïðîâîäà. Îäíàêî ôîðìóëû äëÿ
M
è
L
â ýòîì îòíîøåíèè âïîëíå òî÷íû, òàê êàê ïîñòîÿííûé òîê èìååò îäíî è òî æå çíà-
÷åíèå íà âñåé äëèíå ïðîâîäà.
28.6. Èíäóêòèâíîñòü ïðÿìîóãîëüíîé ðàìêè
Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ó÷àñòêîâ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíäóêòèâíîñòè ïðÿìîóãîëü-
íîé ðàìêè èç ïðîâîäà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 28.9). Äëèíû ñòîðîí ðàìêè îáîçíà-
÷èì ÷åðåç
a
è
b
, ðàäèóñ ñå÷åíèÿ — ÷åðåç
r
0
. Ïóñòü
a
>>
r
0
è
b
>>
r
0
.
Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü ìåæäó âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè
ðàìêè ðàâíà íóëþ, òàê êàê çäåñü cos
q =
0. Ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî ó÷åñòü
òîëüêî âçàèìíûå èíäóêòèâíîñòè ìåæäó ïàðàìè ïðîòèâîïîëîæ-
íûõ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí ðàìêè. Äëÿ ýòèõ ñòîðîí cos
q =
–1, òàê
êàê, ïåðåìåùàÿñü âäîëü êîíòóðà ðàìêè, ìû îáõîäèì ïðîòèâîëå-
æàùèå ñòîðîíû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Äëÿ ñòîðîí ðàìêè, èìåþùèõ äëèíó
l
=
a
è ðàññòîÿíèå ìåæäó
îñÿìè ïðîâîäíèêîâ
D
=
b
, îáîçíà÷èâ ÷åðåç
d
=
a
b
2
2
+
äèàãîíàëü
ðàìêè, ïîëó÷àåì
180
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 28.9