Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

Ãëàâà äâàäöàòü âîñüìàÿ

Ðàñ÷åò èíäóêòèâíîñòåé

28.1. Îáùèå âûðàæåíèÿ äëÿ âçàèìíîé è ñîáñòâåííîé

èíäóêòèâíîñòåé

 íàñòîÿùåé ãëàâå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñòàòè÷åñêèå èíäóêòèâíîñòè. Ñîîòâåòñò-
âåííî ìàãíèòíûå ïîòîêè, îïðåäåëÿþùèå ýòè èíäóêòèâíîñòè, áóäåì íàõîäèòü
ïðè ïîñòîÿííîì òîêå. Ñòàòè÷åñêèå èíäóêòèâíîñòè çàâèñÿò îò ãåîìåòðè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ôîðìó, ðàçìåðû è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîíòóðîâ,
è îò ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû, îêðóæàþùåé êîíòóðû, à òàêæå îò ìàãíèò-
íîé ïðîíèöàåìîñòè âåùåñòâà ñàìèõ ïðîâîäÿùèõ êîíòóðîâ. Åñëè

m =

const, òî èí-

äóêòèâíîñòè êîíòóðîâ íå çàâèñÿò îò òîêîâ â íèõ.

Îáðàòèì îñîáîå âíèìàíèå íà òî, ÷òî

èíäóêòèâíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ïîòîêîñöå-
ïëåíèåì, ò. å. äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíäóêòèâ-
íîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî êîíòóðà íåîáõîäè-
ìî îïðåäåëèòü ïîëíîå ÷èñëî ñöåïëåíèé
åäèíè÷íûõ ëèíèé ìàãíèòíîé èíäóêöèè ñ
êîíòóðîì.

Ïîëó÷èì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ âçàèì-

íîé èíäóêòèâíîñòè äâóõ êîíòóðîâ ïðîèç-
âîëüíî çàäàííîé ôîðìû (ðèñ. 28.1).

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíòóðû íàõîäÿò-

ñÿ â âîçäóõå è ìàòåðèàë ïðîâîäíèêîâ íåôåððîìàãíèòíûé. Ïðèìåì âñþäó

m = m

0

.

Óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü ïîòîêîñöåïëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè áóêâîé ñ äâóìÿ èí-
äåêñàìè: ïåðâûé èíäåêñ áóäåò óêàçûâàòü, ñ êàêèì êîíòóðîì ñöåïëÿåòñÿ ïîòîê,
âòîðîé — êàêèì òîêîì îáóñëîâëèâàåòñÿ ïîòîê. Áóäåì èñêàòü ïîòîêîñöåïëåíèå

Y

21

ñî âòîðûì êîíòóðîì, îáóñëîâëåííîå òîêîì

i

1

â ïåðâîì êîíòóðå.

Ïðåäñòàâèì ñåáå âåñü ïðîâîäíèê âòîðîãî êîíòóðà ïîäðàçäåëåííûì íà ýëå-

ìåíòàðíûå òðóáêè òîêà

i

2

(ðèñ. 28.1). Ïîòîê, ñöåïëÿþùèéñÿ ñ îäíîé èç òàêèõ

òðóáîê, ðàâåí ëèíåéíîìó èíòåãðàëó âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà âäîëü îñè ýòîé
òðóáêè

F

21

2

2

2

=

ò

A l

d

l

.

Íà ðèñ. 28.1 çàøòðèõîâàíà ïîâåðõíîñòü, ñêâîçü êîòîðóþ ïðîõîäèò ïîòîê

F

21

.

Ýòîò ïîòîê ñöåïëÿåòñÿ ñ òîêîì

di

2

, ïðîòåêàþùèì â ðàññìàòðèâàåìîé òðóáêå

òîêà è ñîñòàâëÿþùèì äîëþ

di

2

/

i

2

âñåãî òîêà

i

2

âî âòîðîì êîíòóðå. Ñëåäîâàòåëü-

íî, îí âíîñèò â âåëè÷èíó

Y

21

äîëþ, ðàâíóþ

d

d i

i

d

l

Y

21

2

2

2

2

2

=

ò

A l

.

Ðèñ. 28.1

Òàê êàê òîê

di

2

èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå âäîëü âñåé òðóáêè òîêà, òî åãî

ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëà. Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç

ds

2

ñå÷åíèå òðóáêè òîêà è ÷å-

ðåç

J

2

ïëîòíîñòü òîêà â ýòîì ñå÷åíèè, ìîæåì íàïèñàòü

di

2

=

J

2

ds

2

. Ïîñëåäíåå ðà-

âåíñòâî ïðèîáðåòàåò âèä

d

i

d

d

l

Y

21

2

2

2

2

2

1

2

=

ò

(

)(

).

J

s

A l

Òàê êàê âåêòîðû

J

2

è

d

l

2

èìåþò îäíî è òî æå íàïðàâëåíèå, òî (

J

2

d

s

2

) (

A

2

d

l

2

)

=

=

(

d

l

2

d

s

2

) (

A

2

J

2

) è, ñëåäîâàòåëüíî,

d

i

d

d

l

Y

21

2

2

2

2

2

1

2

=

ò

(

)(

).

J

A

s l

Èíòåãðèðóÿ ïî âñåìó ñå÷åíèþ

s

2

âòîðîãî ïðîâîäíèêà, ïîëó÷èì

Y

21

2

2

2

2

2

1

2

2

=

ò

ò

i

d

d

l

s

(

)(

).

J

A

s l

Ïðîèçâåäåíèå

d

s

2

d

l

2

åñòü ýëåìåíò îáúåìà

dV

2

âòîðîãî ïðîâîäíèêà. Ïîýòîìó

ïîòîêîñöåïëåíèå

Y

21

ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå

Y

21

2

2

2

2

1

2

=

ò

i

dV

V

J

A

.

Òàê êàê ìû æåëàåì îïðåäåëèòü âåëè÷èíó

Y

21

êàê ïîòîêîñöåïëåíèå âçàèìíîé

èíäóêöèè, îáóñëîâëåííîå òîêîì

i

1

, òî ñîîòâåòñòâåííî è âåêòîðíûé ïîòåíöèàë

A

2

íåîáõîäèìî âûðàçèòü ÷åðåç òîê

i

1

. Ñîãëàñíî èçëîæåííîìó â § 27.2, èìååì

A

2

0

1

1

4

1

=

ò

m

p

J

dV

r

V

,

ãäå

V

1

— îáúåì ïðîñòðàíñòâà, çàíèìàåìîãî ïåðâûì êîíòóðîì;

r

— ðàññòîÿíèå îò

ýëåìåíòà îáúåìà

dV

1

äî òî÷êè, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë,

è

J

1

— âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà â òî÷êàõ ýëåìåíòà îáúåìà

dV

1

. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæå-

íèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå äëÿ

Y

21

, ïîëó÷àåì

Y

21

0

2

1

2

1

2

4

2

1

=

ò

ò

m

p

i

dV dV

r

V

V

J J

.

Îòñþäà íàõîäèì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè:

M

i

i i

dV dV

r

V

V

21

21

1

0

1 2

1

2

1

2

4

2

1

=

=

ò

ò

Y

m

p

J J

.

Èíòåãðèðîâàíèå äîëæíî áûòü ïðîèçâåäåíî îäèí ðàç ïî âñåìó îáúåìó ïåðâîãî

ïðîâîäíèêà è äðóãîé ðàç — ïî âñåìó îáúåìó âòîðîãî ïðîâîäíèêà, ïðè÷åì

r

åñòü

ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè îáúåìîâ

dV

1

è

dV

2

. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà âåðíà

òîëüêî äëÿ îäíîðîäíîé â ìàãíèòíîì îòíîøåíèè ñðåäû, òàê êàê èñïîëüçîâàííîå
ïðè åå âûâîäå âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ñïðàâåäëèâî òîëüêî â ýòîì
ñëó÷àå. Â ÷àñòíîñòè, è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàòåðèàëà ñàìèõ ïðîâîäíèêîâ

172

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

äîëæíà áûòü òàêîé æå, êàê è ïðîíèöàåìîñòü îêðóæàþùåé ñðåäû. Êàê áûëî ðàíåå
îòìå÷åíî, ïðè

m =

const âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü íå çàâèñèò îò òîêîâ â êîíòóðàõ.

Íàëè÷èå òîêîâ

i

1

è

i

2

â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè íå ïðîòèâîðå÷èò ýòîìó ïîëîæå-

íèþ. Äåéñòâèòåëüíî, âíåñÿ òîêè ïîä çíàêè èíòåãðàëîâ, ïîëó÷èì â ïîäûíòåãðàëü-
íîì âûðàæåíèè îòíîøåíèÿ

J

1

/

i

1

è

J

2

/

i

2

, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò ðàñïðåäåëåíèå

òîêîâ â ïðîâîäíèêàõ. Íî ïðè ïîñòîÿííîì òîêå ðàñïðåäåëåíèå òîêà çàâèñèò òîëü-
êî îò ôîðìû ïðîâîäíèêà è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè òîêà. Ïîýòîìó îòíîøå-
íèå ïëîòíîñòè òîêà â êàæäîé òî÷êå ïðîâîäíèêà êî âñåìó òîêó ïîëíîñòüþ îïðå-
äåëÿåòñÿ ôîðìîé ïðîâîäíèêà.

Åñëè áû ìû ñòàëè îïðåäåëÿòü ïîòîêîñöåïëåíèå âçàèìíîé èíäóêöèè

Y

12

ñ

ïåðâûì êîíòóðîì, îáóñëîâëåííîå òîêîì âî âòîðîì êîíòóðå, òî, î÷åâèäíî, ïîëó-
÷èëè áû

Y

12

0

1

1

2

1

2

4

2

1

=

ò

ò

m

p

i

dV dV

r

V

V

J J

.

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè

M

12

= Y

12

/

i

2

ìû èìåëè áû òî æå

ñàìîå âûðàæåíèå, ÷òî è äëÿ

M

21

. Òåì ñàìûì ïîäòâåðæäàåòñÿ âàæíûé âûâîä, ïî-

ëó÷åííûé â ïåðâîé ÷àñòè èç óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
òîêîâ îò ïîðÿäêà óñòàíîâëåíèÿ òîêîâ, à èìåííî: ïðè

m =

const èìååò ìåñòî ðàâåí-

ñòâî

M

M

k p

p k

=

.

Ïîëó÷èì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ñîáñòâåííîé èíäóêòèâíîñòè

L

êîíòóðà, ïîëü-

çóÿñü íàéäåííûì îáùèì âûðàæåíèåì äëÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè

M

21

äâóõ

êîíòóðîâ. Ïðåäñòàâèì ñåáå äâà ñîâåðøåííî îäèíàêîâûõ êîíòóðà, ñáëèæàþùèõ-
ñÿ äî ïîëíîãî ñëèÿíèÿ òàê, ÷òî îäèí èç íèõ çàíèìàåò îáúåì äðóãîãî. Ïîñëå òàêî-
ãî ñëèÿíèÿ, ïî ñóùåñòâó, óæå îñòàåòñÿ òîëüêî îäèí êîíòóð. Èç âûðàæåíèÿ äëÿ

M

21

íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ

L

òàêîãî êîíòóðà, ïðèíÿâ

i

1

=

i

2

=

i

è

V

1

=

V

2

=

V

. Èìååì

L

i

dV dV

r

V

V

=

¢

ò

ò

m

p

0

2

4

J J

'

,

ïðè÷åì

J

— ïëîòíîñòü òîêà â ýëåìåíòå îáúåìà

dV

;

J

¢

—

ïëîòíîñòü òîêà â ýëåìåíòå

dV

¢

è

r

— ðàññòîÿíèå ìåæäó

ýëåìåíòàìè îáúåìà

dV

è

dV

¢

. Èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâî-

äèòñÿ äâàæäû ïî îáúåìó âñåãî ïðîâîäíèêà (ðèñ. 28.2).

Ïðèâåäåííîå âûøå âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà èíäóêòèâ-

íîñòè

L

ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ òàêæå ñîîòíîøåíèå

W

dV

V

=

ò

1

2

A

J

J

J

(ñì. § 27.4), ñâÿçûâàþùåå âåëè÷èíû

W

,

J

è

A

. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

A

=

ò

m

p

0

4

J

dV

r

V

J

J

, äëÿ èíäóêòèâíîñòè

L

=

2

W

ì

/

i

2

íàõîäèì

âûðàæåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ íàéäåííûì âûøå ïðè

V

J

=

V

è

¢ =

V

V

J

J

.

Ãëàâà 28. Ðàñ÷åò èíäóêòèâíîñòåé

173

Ðèñ. 28.2

Âûðàæåíèå äëÿ

M

21

âåñüìà óïðîùàåòñÿ äëÿ êîíòóðîâ

èç ëèíåéíûõ ïðîâîäíèêîâ, ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû ñå÷åíèé
êîòîðûõ âåñüìà ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé êîíòóðîâ è
ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè (ðèñ. 28.3). Â òà-
êîì ñëó÷àå íåò íåîáõîäèìîñòè äåëèòü ïðîâîäíèêè íà
òðóáêè òîêà. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë â öåíòðå ýëåìåíòà

dl

2

ïðîâîäíèêà âòîðîãî êîíòóðà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìó-
ëå (ñì. § 27.2)

A

l

2

0

1

1

4

1

=

ò

m

p

i d

r

l

.

Ïîòîêîñöåïëåíèå

Y

21

ïðè ýòîì ìîæåò áûòü ïðèíÿòî ðàâíûì ïîòîêó

F

21

ñêâîçü

ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ îñüþ ïðîâîäíèêà âòîðîãî êîíòóðà, ò. å.

Y = F

21

21

2

2

0

1

1

2

2

2

1

4

=

=

ò

ò

ò

A l

l l

d

i d d

r

l

l

l

m

p

.

Ðàçäåëèâ

Y

21

íà

i

1

, ïîëó÷àåì

M

d d

r

l

l

21

0

1

2

4

2

1

= m

p

l l

ò

ò

.

Ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì óïðîñòèòü è âûðàæåíèå äëÿ

L

êîíòóðà, îáðàçî-

âàííîãî èç òîíêîãî ïðîâîäíèêà. Îäíàêî óïðîùåííóþ ôîðìóëó íåëüçÿ ïðè ýòîì
ïðèâåñòè â òî÷íîñòè ê òîìó âèäó, ê êîòîðîìó áûëî ïðèâåäåíî âûðàæåíèå äëÿ

M

21

, ò. å. íåëüçÿ ñâåñòè â ôîðìóëå äëÿ

L

äâóêðàòíîå èíòåãðèðîâàíèå ïî îáúåìó

ïðîâîäíèêà ê äâóêðàòíîìó èíòåãðèðîâàíèþ ïî îñè ïðîâîäíèêà, òàê êàê òàêîé
èíòåãðàë îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü.

Óïðîùåíèå ôîðìóëû äëÿ

L

êîíòóðà èç òîíêîãî ïðîâîäíèêà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ

ìîæíî âûïîëíèòü ñëåäóþùèì ïóòåì. Ðàçäåëèì ïîòîêîñöåïëåíèå

Y

íà äâå ÷àñòè:

Y = Y

âíåø

+

Y

âíóòð

, ïðè÷åì

Y

âíåø

îïðåäåëÿåòñÿ ëèíèÿìè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, îõ-

âàòûâàþùèìè âåñü ïðîâîäíèê, ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïîëîæåííû-
ìè öåëèêîì âî âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê ïðîâîäíèêó ñðåäå,
è

Y

âíóòð

îïðåäåëÿåòñÿ ëèíèÿìè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïðîõî-

äÿùèìè âíóòðè òåëà ïðîâîäíèêà. Ëèíèè, îïðåäåëÿþùèå âå-
ëè÷èíó

Y

âíåø

, ïðîõîäÿò ñêâîçü çàøòðèõîâàííóþ íà ðèñ. 28.4

ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì

l

2

, ëåæàùèì íà âíóòðåí-

íåé ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà. Â ñëó÷àå åñëè ïðîâîäíèê îáðà-
çóåò îäèí âèòîê, òî êàæäàÿ òàêàÿ ëèíèÿ ñöåïëÿåòñÿ îäèí ðàç ñ
ïðîâîäíèêîì è, ñëåäîâàòåëüíî,

Y

F

âíåø

âíåø

=

=

ò

A l

2

2

2

d

l

,

ãäå

A

2

— çíà÷åíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà íà êîíòóðå

l

2

. Âåëè÷èíó

A

2

ìîæåì ïðè-

áëèæåííî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå

174

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 28.3

Ðèñ. 28.4

A

l

2

0

1

1

4

1

=

ò

m

p

i d

r

l

.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåñü òîê

i

òå÷åò ïî îñè ïðîâîäíèêà. Ïðè ýòîì èíòåãðèðîâà-

íèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåé îñè

l

1

ïðîâîäíèêà. Èíòåãðàë èìååò êîíå÷íîå çíà÷åíèå,

òàê êàê âñå òî÷êè êîíòóðà

l

2

, â êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ

A

2

, ëåæàò íà êîíå÷íîì ðàñ-

ñòîÿíèè

r

îò òî÷åê êîíòóðà

l

1

.

Òàêèì îáðàçîì,

Y

âíåø

=

ò

ò

m

p

0

1

2

4

2

1

i

d d

r

l

l

l l

.

Âåëè÷èíó

Y

âíóòð

ïðèáëèæåííî ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíîé âíóòðåííåìó ïîòîêî-

ñöåïëåíèþ â îòðåçêå äëèíîé

l

1

áåñêîíå÷íî äëèííîãî ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäà

êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, ïîñêîëüêó ðàäèóñ êðèâèçíû êîíòóðà ïðîâîäíèêà âåëèê ïî
ñðàâíåíèþ ñ ïîïåðå÷íûìè ðàçìåðàìè ñå÷åíèÿ. Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ, ïîëó÷åí-
íîìó â ÷. I, èìååì

Y

âíóòð

= m

p

0

1

8

il

,

ãäå

m

— àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàòåðèàëà ïðîâîäà. Èíäóêòèâ-

íîñòü

L

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

L

i

i

L

L

=

+

=

+

Y

Y

âíåø

âíóòð

âíåø

âíóòð

,

ïðè÷åì

L

âíåø

íàçûâàþò â í å ø í å é, à

L

âíóòð

— â í ó ò ð å í í å é èíäóêòèâíîñòüþ.

Èòàê, ìîæåì íàïèñàòü ñëåäóþùåå óïðîùåííîå âûðàæåíèå äëÿ èíäóêòèâíîñòè
êîíòóðà èç òîíêîãî ïðîâîäíèêà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ:

L

L

L

d d

r

l

l

l

=

+

=

+

ò

ò

âíåø

âíóòð

m

p

m

p

0

1

2

1

4

8

2

1

l l

.

28.2. Âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü äâóõ êðóãîâûõ êîíòóðîâ

Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè êðóãîâûõ êîíòóðîâ, ðàñïîëî-
æåííûõ â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ òàê, ÷òî èõ öåíòðû ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé,
íîðìàëüíîé ê ýòèì ïëîñêîñòÿì (ðèñ. 28.5).

Èñêîìóþ ôîðìóëó ïîëó÷èì, âûïîëíèâ äâóêðàòíîå èíòåãðèðîâàíèå âäîëü

îáîèõ êîíòóðîâ ñîãëàñíî âûðàæåíèþ

M

d d

r

l

l

=

ò

ò

m

p

0

1

2

4

2

1

l l

.

Îäíàêî èíòåãðèðîâàíèå óæå áûëî âûïîëíåíî â § 27.16

ïðè îòûñêàíèè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â ïîëå êðóãîâîãî
òîêà. Èìåííî äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà

A

2

íà îñè âòîðî-

ãî ïðîâîäíèêà, îïðåäåëÿåìîãî òîêîì

i

1

, ïðîòåêàþùèì â

ïåðâîì êîíòóðå, èìååì âûðàæåíèå

Ãëàâà 28. Ðàñ÷åò èíäóêòèâíîñòåé

175

Ðèñ. 28.5